AMC 10 · 2007 · #15

학년 8 geometry-2d

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Chained Ratio Linking

angle-sum-polygonratio-proportionlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

사각형 ABCD에서 네 각이 ∠ A=2∠ B=3∠ C=4∠ D의 관계로 연결되어 있다. 즉 ∠ A는 ∠ B의 2배, ∠ C의 3배, ∠ D의 4배이다. ∠ A를 도 단위로 구하고, 가장 가까운 정수로 반올림하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

125

(B)

144

(C)

153

(D)

173

(E)

180

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

∠ A=2∠ B=3∠ C=4∠ D 사슬이 모든 각을 ∠ A에 묶으므로, ∠ A=x로 이름 붙이면(도구 #4) 네 각을 하나의 미지수로 나타낼 수 있다. 사각형 내각의 합이 360°라는 사실이 이 그림을 하나의 방정식으로 바꾼다(도구 #13). 방정식을 풀면 소수가 나오고, 반올림하여 다섯 선택지 중 하나에 맞춘다(도구 #3).

1STEP 1

∠ A를 이름 붙이고 나머지 각 나타내기

∠ A=x라 하면 사슬에서 ∠ B=x/2, ∠ C=x/3, ∠ D=x/4가 나온다. 네 각이 미지수 하나로 묶인다.

∠ A=x, ∠ B=x/2, ∠ C=x/3, ∠ D=x/4

2STEP 2

사각형 내각의 합 이용하기

사각형은 대각선으로 두 삼각형이 되므로 내각의 합은 360°이다. 즉 x+x/2+x/3+x/4=360이다.

x+x/2+x/3+x/4=360

3STEP 3

분수 합치기

분모를 12로 통일하면 분자의 합이 12+6+4+3=25이므로 25x/12=360이 된다.

(12x+6x+4x+3x)/12=25x/12=360

4STEP 4

풀고 반올림하기

양변에 12를 곱하고 25로 나누면 x=4320/25=172.8이고, 반올림하면 173°로 선택지 (D)이다.

x=4320/25=172.8≈ 173°

정답

173

x=172.8에서 나머지 각을 복원하면 ∠ B=86.4, ∠ C=57.6, ∠ D=43.2이다. 합은 172.8+86.4+57.6+43.2=360으로 정확히 맞아 유효한 사각형임을 확인한다. ∠ A는 평균이 90°인 네 각 중 가장 크므로 90°보다 훨씬 크되 360°보다는 작아야 한다. 173°가 이에 맞고, 더 작은 125, 144, 153을 넘어서면서 퇴화되는 180° 아래에 머문다.

💡핵심 정리

각들이 등호 사슬로 이어져 있으면 가장 큰 각에 이름을 붙이고 나머지를 그 각의 분수로 쓴 뒤, 고정된 360° 합이 풀도록 두면 된다.

∠ A를 이름 붙이고 나머지 각 나타내기
사각형 내각의 합 이용하기
분수 합치기
풀고 반올림하기

∠ A를 이름 붙이고 나머지 각 나타내기

사각형 내각의 합 이용하기

분수 합치기

풀고 반올림하기

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