AMC 10 · 2010 · #12

학년 8 geometry-3d
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Multiplicative Rate or Series
similar-figuresvolume-sphereratio-proportion dimensional-analysis ↑ 선수 지식: ratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
실제 급수탑은 높이가 40미터이고, 꼭대기의 구 모양 물탱크에는 100,000리터의 물이 들어간다. 같은 모양의 축소 모형은 대응하는 구에 0.1리터만 담긴다. 모형의 높이를 미터 단위로 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0.04
(B)
$\frac{0.4}{\pi}$
(C)
0.4
(D)
$\frac{4}{\pi}$
(E)
4

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 단위 살펴보기

도구 #8(단위 살펴보기): 주어진 두 값은 부피(리터)인데, 답은 길이(미터)이다. 부피는 세 방향으로 공간을 재는 양이므로 길이의 세제곱처럼 커진다. 이 한 가지 사실이 부피의 비와 길이의 비를 이어주는 핵심이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 풀이는 세 개의 작은 일로 깔끔하게 나뉜다 — 부피의 비 구하기, 세제곱근을 취해 길이의 비 구하기, 그다음 높이 줄이기. 도구 #3(가능성 지우기): 100³이 정말 백만인지 거꾸로 확인하면 한 선택지를 확정하고 π로 만든 함정을 지울 수 있다.

1STEP 1

두 부피를 비교하기

실제 부피를 모형 부피로 나눈다. 실제 구는 1,000,000배를 담는다.

100,000/0.1 = 1,000,000
2STEP 2

부피는 길이의 세제곱으로 커진다

리터는 세 방향의 공간을 한꺼번에 재므로, 모든 길이를 k배 하면 부피는 k³배가 된다.

k³ = 1,000,000
3STEP 3

세제곱을 되돌리기

백만의 세제곱근을 구한다. 100 × 100 × 100 = 1,000,000이므로 실제 길이는 모형의 100배이다.

k = ∛(1,000,000) = 100
4STEP 4

높이 줄이기

높이도 길이이므로 같은 100으로 줄어든다. 40 ÷ 100 = 0.4미터, 곧 선택지 (C)이다.

40/100 = 0.4 m → (C)
5STEP 5

확인하고 나머지 지우기

거꾸로 키워 검산하면 0.1 × 100³ = 100,000리터다. 공식의 π는 두 탑에 모두 있어 약분되니 (B), (D)는 탈락이다.

0.1 × 100³ = 0.1 × 1,000,000 = 100,000 ✓
정답
0.4
100³ = 1,000,000이 부피의 비와 일치하므로 길이 배율 100이 맞고, 거꾸로 되돌리면 100,000리터가 나오므로 배율이 옳다. 책상 위에 놓일 모형이 40 m 탑 옆에서 약 0.4 m 높이인 것도 합리적이다. 선택지 (A) 0.04는 백만을 잘못된 10³으로 보고 1000으로 나눈 실수, (E) 4는 10으로만 나눈 실수, (B)와 (D)는 비에서 약분되는 π를 잘못 남긴 것이다. 오직 (C) 0.4만 살아남는다.
💡핵심 정리

부피는 길이의 세제곱으로 커지므로, 부피가 백만 배면 길이는 겨우 백 배다: 40 ÷ 100 = 0.4 m.

  • 두 부피를 비교하기
  • 부피는 길이의 세제곱으로 커진다
  • 세제곱을 되돌리기
  • 높이 줄이기
  • 확인하고 나머지 지우기

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