AMC 10 · 2005 · #16
학년 8 algebra이차식 x2+mx+n 의 근은 x2+px+m 의 근의 두 배입니다. m,n, p 중 어느 것도 0 이 아닙니다. n/p 의 값은 얼마입니까?
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 이차식 $x^2+mx+n$의 근은 $x^2+px+m$의 근의 정확히 두 배입니다. $m$, $n$, $p$ 중 어느 것도 $0$이 아닙니다. $n/p$의 값을 구하세요.
주어진 것: 첫 번째 이차식: $x^2+px+m$; 두 번째 이차식: $x^2+mx+n$; $x^2+mx+n$의 근은 $x^2+px+m$의 근의 두 배; $m$, $n$, $p$ 중 어느 것도 $0$이 아님; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $8$, (E) $16$
구하는 것: 비 $n/p$의 값
이해
문제 재정리: 이차식 $x^2+mx+n$의 근은 $x^2+px+m$의 근의 정확히 두 배입니다. $m$, $n$, $p$ 중 어느 것도 $0$이 아닙니다. $n/p$의 값을 구하세요.
주어진 것: 첫 번째 이차식: $x^2+px+m$; 두 번째 이차식: $x^2+mx+n$; $x^2+mx+n$의 근은 $x^2+px+m$의 근의 두 배; $m$, $n$, $p$ 중 어느 것도 $0$이 아님; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $8$, (E) $16$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기
근이 두 이차식을 잇는 숨은 연결 고리이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 근을 $r$, $s$라 이름 붙입니다. 근 $r,s$로 만들어진 이차식은 $(x-r)(x-s)=x^2-(r+s)x+rs$로 인수분해되므로, 각 계수는 근의 합 또는 곱일 뿐입니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 '근의 두 배'를 계수 비교를 통해 방정식으로 바꿉니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)으로 작업을 두 갈래로 깔끔하게 나눕니다: 근의 합이 말해 주는 것과, 따로 근의 곱이 말해 주는 것. 각 갈래가 연결 하나씩($m=2p$와 $n=4m$)을 주고, 이를 이어 붙이면 $n/p$가 나옵니다.
실행 — 정답: D
7.EE.A.1 단계 1 첫 번째 이차식의 근에 이름 붙이기
- $x^2+px+m$의 근을 $r$과 $s$라 합시다.
- 근이 $r$, $s$인 이차식은 $(x-r)(x-s)$로 인수분해되고, 전개하면 $x^2-(r+s)x+rs$가 됩니다.
- 이를 $x^2+px+m$과 항별로 비교하면, 가운데 계수에서 $r+s=-p$, 상수항에서 $rs=m$을 얻습니다.
💡 이차식은 그 근으로부터 만들어지므로, 계수는 그 근의 합과 곱이 변장한 모습입니다.
7.EE.A.1 단계 2 두 번째 이차식의 근에 이름 붙이기
- $x^2+mx+n$의 근은 첫 번째 식의 두 배, 즉 $2r$과 $2s$입니다.
- 같은 인수분해 규칙으로 $(x-2r)(x-2s)=x^2-(2r+2s)x+(2r)(2s)$가 됩니다.
- $x^2+mx+n$과 비교하면, 가운데 계수에서 $2r+2s=-m$, 상수항에서 $(2r)(2s)=4rs=n$을 얻습니다.
💡 각 근을 두 배로 하면 합은 두 배, 곱은 네 배가 되며, 그 두 변화가 바로 새 계수에 그대로 기록됩니다.
8.EE.C.8 단계 3 공유하는 근으로 두 식을 잇기
- 근 $r,s$가 다리이므로, 첫 번째 식의 사실을 두 번째 식에 대입합니다.
- 합에 대해: $2r+2s=2(r+s)=2(-p)=-2p$이고, 이것이 $-m$과 같으므로 $-m=-2p$, 즉 $m=2p$입니다.
- 곱에 대해: $n=4rs$이고 $rs=m$이므로 $n=4m$입니다.
💡 합의 관계와 곱의 관계를 따로 다루면, 두 움직이는 부분이 한 덩어리 지저분한 방정식으로 엉키지 않습니다.
8.EE.C.7 단계 4 연결을 이어 n/p 구하기
- 두 연결을 결합합니다.
- $n=4m$과 $m=2p$에서 대입하면 $n=4(2p)=8p$입니다.
- $p\neq 0$이므로 양변을 $p$로 나누면 $n/p=8$입니다.
- 이것이 선택지 (D)입니다.
💡 $m$이 $p$에 묶이고 $n$이 $m$에 묶이면, 한 번의 대입으로 $n$이 곧장 $p$에 묶입니다.
7.EE.A.1 $x^2+px+m$의 근을 $r$과 $s$라 합시다. 근이 $r$, $s$인 이차식은 $(x-r)(x-s)$로 인수분해되고, 전개하면 $x^2- 7.EE.A.1 $x^2+mx+n$의 근은 첫 번째 식의 두 배, 즉 $2r$과 $2s$입니다. 같은 인수분해 규칙으로 $(x-2r)(x-2s)=x^2-(2r+ 8.EE.C.8 근 $r,s$가 다리이므로, 첫 번째 식의 사실을 두 번째 식에 대입합니다. 합에 대해: $2r+2s=2(r+s)=2(-p)=-2p$이고, 이것 8.EE.C.7 두 연결을 결합합니다. $n=4m$과 $m=2p$에서 대입하면 $n=4(2p)=8p$입니다. $p\neq 0$이므로 양변을 $p$로 나누면 $n 검토
합리성 확인: 개별 근 $r,s$는 최종 답에 전혀 나타나지 않으므로, 비 $n/p=8$은 유효한 어떤 이차식 쌍에 대해서도 성립해야 합니다 — 대수 계산이 깔끔하다는 좋은 신호입니다. 구체적 예로 확인해 봅시다: $p=8$로 두면 $m=2p=16$, $n=8p=64$입니다. 첫 번째 이차식은 $x^2+8x+16=(x+4)^2$로 $-4$에서 중근을 가집니다. 그 근을 두 배로 하면 $-8,-8$이고, $(x+8)^2=x^2+16x+64$는 실제로 $m=16,\,n=64$인 $x^2+mx+n$과 같습니다. 그리고 $n/p=64/8=8$로 (D)와 일치합니다. 함정 선택지 (E) $16$은 (합에서 한 번, 곱에서 또 한 번) 두 번 두 배를 한 데서 나오며, 선택지 (C) $4$는 $m=2p$에 숨은 $2$배를 잊은 데서 나옵니다.
대안 접근: 근에 이름을 붙이는 대신 다항식 전체를 배율 조정합니다. $g(x)=x^2+px+m$의 근이 $r,s$이면, 근이 $2r,2s$인 다항식은 $4\,g(x/2)=4\left(\tfrac{x^2}{4}+p\cdot\tfrac{x}{2}+m\right)=x^2+2px+4m$입니다. 이것이 $x^2+mx+n$이어야 하므로 계수를 비교하면 $m=2p$, $n=4m=8p$, 따라서 $n/p=8$입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
7.EE.A.1Apply properties of operations to add, subtract, factor, and expand linear expressions with rational coefficients ($(x-r)(x-s)=x^2-(r+s)x+rs$(및 근을 두 배로 한 형태)를 전개하여 각 이차식의 계수에서 근의 합과 곱을 곧바로 읽어내는 데 사용.)8.EE.C.8Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations (공유하는 근으로 두 이차식의 계수 방정식을 연결하고 $r,s$를 소거하여 $m=2p$와 $n=4m$을 얻는 데 사용.)8.EE.C.7Solve linear equations in one variable ($n=4m$과 $m=2p$를 이어 붙이고 $0$이 아닌 $p$로 나누어 $n/p=8$을 푸는 데 사용.)
⭐ 이차식의 계수는 그 근의 합과 곱이 변장한 모습일 뿐이므로, 근에 이름을 붙이면 '근의 두 배'가 이어 붙일 수 있는 간단한 방정식으로 바뀝니다.
⭐ 이차식의 계수는 그 근의 합과 곱이 변장한 모습일 뿐이므로, 근에 이름을 붙이면 '근의 두 배'가 이어 붙일 수 있는 간단한 방정식으로 바뀝니다.
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