AMC 10 · 2005 · #17
학년 8 arithmetic4a=5, 5b=6, 6c=7, 7d=8 이라고 합시다. a⋅b⋅c⋅d 의 값은 얼마입니까?
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 개의 수 $a,b,c,d$가 네 개의 식 $4^a=5$, $5^b=6$, $6^c=7$, $7^d=8$ 안에 숨어 있습니다. 곱 $a\cdot b\cdot c\cdot d$의 값을 구하세요.
주어진 것: $4^a=5$; $5^b=6$; $6^c=7$; $7^d=8$; 선택지: (A) $1$, (B) $\frac{3}{2}$, (C) $2$, (D) $\frac{5}{2}$, (E) $3$
구하는 것: 곱 $a\cdot b\cdot c\cdot d$의 값
이해
문제 재정리: 네 개의 수 $a,b,c,d$가 네 개의 식 $4^a=5$, $5^b=6$, $6^c=7$, $7^d=8$ 안에 숨어 있습니다. 곱 $a\cdot b\cdot c\cdot d$의 값을 구하세요.
주어진 것: $4^a=5$; $5^b=6$; $6^c=7$; $7^d=8$; 선택지: (A) $1$, (B) $\frac{3}{2}$, (C) $2$, (D) $\frac{5}{2}$, (E) $3$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기
$a,b,c,d$를 따로따로 쫓는 것은 어느 것도 깔끔한 수가 아니라서 소용없습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 핵심 수순입니다: 각 지수를 구하는 대신, 하나의 거듭제곱 $4^{a b c d}$이 얼마인지를 묻습니다. $(x^a)^b=x^{ab}$ 법칙 덕분에 네 지수를 쌓는 것은 그것들을 곱하는 것과 같기 때문입니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사슬을 한 고리씩 올라가며 $6$, $7$, 마지막으로 $8$을 $4$의 거듭제곱으로 바꿔 씁니다. 도구 #4(변수 도입하기)가 마무리합니다: $4^{abcd}=8$이 되면 곱 $abcd$를 하나의 미지수로 두고, 양변을 $2$의 거듭제곱으로 맞춘 뒤 튀어나오는 작은 방정식을 풉니다.
실행 — 정답: B
8.EE.A.1 단계 1 하나의 합쳐진 거듭제곱을 노리기
- $a,b,c,d$를 하나씩 구하는 대신, 하나의 양 $4^{a b c d}$에 집중합니다.
- 거듭제곱의 거듭제곱 법칙에 따르면 $(x^a)^b=x^{ab}$입니다: 어떤 지수로 올린 뒤 또 다른 지수로 올리는 것은 지수를 곱하는 것과 같습니다.
- 그래서 $4$를 곱 $a b c d$로 올린 것을 만들어 그것이 어떤 수인지 알 수 있다면, 곱을 바로 읽어낼 수 있습니다.
💡 네 지수를 곱하는 것은 네 거듭제곱을 서로 위에 쌓을 때 바로 일어나는 일입니다.
8.EE.A.1 단계 2 4에서 8까지 사슬 올라가기
- $4^a=5$에서 시작합니다.
- 이제 양변을 $b$제곱합니다: $5^b=(4^a)^b=4^{ab}$이고, 주어진 조건에서 $5^b=6$이므로 $4^{ab}=6$입니다.
- $c$제곱하면: $6^c=(4^{ab})^c=4^{abc}=7$.
- $d$제곱하면: $7^d=(4^{abc})^d=4^{abcd}=8$.
- 각 고리는 앞의 결과를 밑으로 다시 쓰고, 지수는 곱셈으로 쌓이므로, 사슬 전체가 $4^{abcd}=8$로 무너집니다.
💡 각 식의 결과가 다음 식의 밑이 되므로, 네 단계가 곱에 대한 하나의 깔끔한 식으로 접힙니다.
6.EE.A.1 단계 3 4와 8을 2의 거듭제곱으로 쓰기
- $4^{abcd}=8$의 양변 모두 밑을 $2$로 쓸 수 있습니다.
- $4=2^2$이고 $8=2^3$이므로, 좌변은 $(2^2)^{abcd}=2^{2abcd}$가 되고 우변은 $2^3$이 됩니다.
- 이제 식은 $2^{2abcd}=2^{3}$이 됩니다.
💡 양변을 같은 밑 $2$로 맞추면 두 탑을 지수만 보고 비교할 수 있습니다.
8.EE.A.1 단계 4 지수를 맞추고 풀기
- 같은 밑의 두 거듭제곱이 같으면 그 지수들도 같아야 하므로 $2\,abcd = 3$입니다.
- 곱 $abcd$를 하나의 미지수로 두고 양변을 $2$로 나누면 $abcd=\frac{3}{2}$입니다.
- 따라서 답은 $\textbf{(B)}\ \frac{3}{2}$입니다.
💡 같은 밑의 거듭제곱이 같으면 지수도 같아야 하므로, 문제 전체가 한 단계 방정식으로 바뀝니다.
8.EE.A.1 $a,b,c,d$를 하나씩 구하는 대신, 하나의 양 $4^{a b c d}$에 집중합니다. 거듭제곱의 거듭제곱 법칙에 따르면 $(x^a)^b=x 8.EE.A.1 $4^a=5$에서 시작합니다. 이제 양변을 $b$제곱합니다: $5^b=(4^a)^b=4^{ab}$이고, 주어진 조건에서 $5^b=6$이므로 $4 6.EE.A.1 $4^{abcd}=8$의 양변 모두 밑을 $2$로 쓸 수 있습니다. $4=2^2$이고 $8=2^3$이므로, 좌변은 $(2^2)^{abcd}=2^ 8.EE.A.1 같은 밑의 두 거듭제곱이 같으면 그 지수들도 같아야 하므로 $2\,abcd = 3$입니다. 곱 $abcd$를 하나의 미지수로 두고 양변을 $2$ 검토
합리성 확인: 크기로 점검하면: $a,b,c,d$ 각각은 $1$보다 조금 클 뿐이므로(예를 들어 $4^a=5$이면 $a$는 $1$보다 약간 큼), 그 곱은 $1$보다 조금 큰 적당한 수여야 합니다. $\frac{3}{2}$이 딱 맞고, $3$(E)은 너무 크고 $1$(A)은 너무 작습니다. 더 깊은 점검은 사슬 자체입니다: 밑 $4$에서 $8$까지 올라가는 것은 밑 $4$를 기준으로 $2$를 정확히 $\frac{3}{2}$번 곱하는 것과 같습니다. $4^{3/2}=8$이기 때문입니다. $abcd=\frac{3}{2}$을 되돌려 넣으면 $4^{3/2}=(\sqrt{4})^3=2^3=8$이 되어 $7^d=8$과 정확히 일치합니다.
대안 접근: 각 지수를 밑변환 비로 읽습니다: $a=\dfrac{\ln 5}{\ln 4}$, $b=\dfrac{\ln 6}{\ln 5}$, $c=\dfrac{\ln 7}{\ln 6}$, $d=\dfrac{\ln 8}{\ln 7}$. 곱하면 각 분자가 다음 분모와 약분되어 곱이 $\dfrac{\ln 8}{\ln 4}=\dfrac{3\ln 2}{2\ln 2}=\dfrac{3}{2}$으로 접힙니다 — 같은 답 (B)입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.A.1Know and apply the properties of integer exponents (거듭제곱의 거듭제곱 법칙 $(x^a)^b=x^{ab}$을 써서 네 식을 $4^{abcd}=8$로 연결하고, 양변이 밑 $2$를 공유하게 되면 지수를 맞춰 $2\,abcd=3$을 얻는 데 사용.)6.EE.A.1Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents ($4=2^2$과 $8=2^3$을 알아보아 $4^{abcd}=8$의 양변을 공통 밑 $2$로 다시 쓸 수 있게 하는 데 사용.)
⭐ 식들이 사슬로 이어져 각 답이 다음 밑이 될 때는, 각 조각을 따로 풀지 말고 하나의 거듭제곱으로 쌓으세요. 거듭제곱을 거듭제곱하면 지수끼리 곱해지기 때문입니다.
⭐ 식들이 사슬로 이어져 각 답이 다음 밑이 될 때는, 각 조각을 따로 풀지 말고 하나의 거듭제곱으로 쌓으세요. 거듭제곱을 거듭제곱하면 지수끼리 곱해지기 때문입니다.
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