AMC 10 · 2005 · #17

학년 8 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps
exponents pattern-recognitionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
네 개의 수 a, b, c, d가 네 개의 식 4^a=5, 5^b=6, 6^c=7, 7^d=8 안에 숨어 있습니다. 곱 a·b·c·d의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
$\frac{3}{2}$
(C)
2
(D)
$\frac{5}{2}$
(E)
3

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

a,b,c,d를 따로따로 쫓는 것은 어느 것도 깔끔한 수가 아니라서 소용없습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 핵심 수순입니다: 각 지수를 구하는 대신, 하나의 거듭제곱 4^a b c d이 얼마인지를 묻습니다. (x^a)^b=x^ab 법칙 덕분에 네 지수를 쌓는 것은 그것들을 곱하는 것과 같기 때문입니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사슬을 한 고리씩 올라가며 6, 7, 마지막으로 8을 4의 거듭제곱으로 바꿔 씁니다. 도구 #4(변수 도입하기)가 마무리합니다: 4^abcd=8이 되면 곱 abcd를 하나의 미지수로 두고, 양변을 2의 거듭제곱으로 맞춘 뒤 튀어나오는 작은 방정식을 풉니다.

1STEP 1

하나의 합쳐진 거듭제곱을 노리기

a, b, c, d를 하나씩 쫓는 대신 하나의 거듭제곱 4^abcd를 노립니다. 지수는 쌓으면 곱해지기 때문입니다.

(x^a)^b = x^ab
2STEP 2

4에서 8까지 사슬 올라가기

4^a=5를 차례로 b, c, d제곱하면 각 결과가 다음 밑이 되어 사슬이 4^abcd=8로 줄어듭니다.

4^a=5, 4^ab=6, 4^abc=7, 4^abcd=8
3STEP 3

4와 8을 2의 거듭제곱으로 쓰기

양변을 밑 2로 다시 씁니다. 4=2², 8=2³이므로 4^abcd=8은 2^(2abcd)=2³이 됩니다.

4=2², 8=2³ → 2²abcd=2³
4STEP 4

지수를 맞추고 풀기

같은 밑의 거듭제곱이 같으면 지수도 같으므로 2abcd=3, 곧 abcd=3/2입니다. 답은 (B).

2 abcd=3 → abcd=3/2=(B)
정답
3/2
크기로 점검하면: a,b,c,d 각각은 1보다 조금 클 뿐이므로(예를 들어 4^a=5이면 a는 1보다 약간 큼), 그 곱은 1보다 조금 큰 적당한 수여야 합니다. 3/2이 딱 맞고, 3(E)은 너무 크고 1(A)은 너무 작습니다. 더 깊은 점검은 사슬 자체입니다: 밑 4에서 8까지 올라가는 것은 4를 3/2제곱하는 것입니다. 4의 제곱근이 2이고 2의 세제곱이 8이기 때문입니다. abcd=3/2을 되돌려 넣으면 4^(3/2)=2³=8이 되어 7^d=8과 정확히 일치합니다.
💡핵심 정리

식들이 사슬로 이어져 각 답이 다음 밑이 될 때는, 각 조각을 따로 풀지 말고 하나의 거듭제곱으로 쌓으세요. 거듭제곱을 거듭제곱하면 지수끼리 곱해지기 때문입니다.

  • 하나의 합쳐진 거듭제곱을 노리기
  • 4에서 8까지 사슬 올라가기
  • 4와 8을 2의 거듭제곱으로 쓰기
  • 지수를 맞추고 풀기

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