AMC 10 · 2005 · #18

학년 7 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

combinations-basic systematic-enumerationcomplementary-counting ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

David의 전화번호는 모두 $555-abc-defg$ 꼴이고, 여기서 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ , $g$ 는 서로 다른 숫자이며 커지는 순서로 놓이고, 그중 어느 것도 $0$ 이나 $1$ 이 아닙니다. David가 가질 수 있는 서로 다른 전화번호는 몇 개입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 전화번호는 $555\text{-}abc\text{-}defg$ 꼴이고, 일곱 개의 숫자 $a,b,c,d,e,f,g$ 는 모두 서로 다르며, 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 커지는 순서로 적혀 있고, 그중 어느 것도 $0$ 이나 $1$ 이 아니다. 이런 전화번호가 몇 개 가능한지 세어라.

주어진 것: 변하는 숫자는 $a,b,c,d,e,f,g$ 일곱 개이다 (앞의 $555$ 는 고정이라 변하지 않는다); 일곱 숫자는 모두 서로 다르다; 일곱 숫자는 왼쪽에서 오른쪽으로 엄격히 커지는 순서로 놓인다; 어떤 숫자도 $0$ 이나 $1$ 이 아니다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: 이 꼴의 서로 다른 전화번호의 개수

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #2 빠짐없이 나열하기

'커지는 순서' 규칙이 핵심 열쇠이다. 이 규칙 때문에 숫자를 배열하는 것은 전혀 선택의 대상이 아니고, 오직 어떤 일곱 숫자를 쓸지만 결정하면 된다. 그러면 무섭게 보이는 전화번호 세기가 그냥 '숫자 집합 고르기' 세기로 바뀐다. 도구 #3 (가능성 지우기) 으로 먼저 $0$ 과 $1$ 을 버려 숫자 후보를 줄인다. 그다음 도구 #16 (관점 바꾸기) 이 진짜 계산을 한다. 남길 일곱 숫자를 고르는 대신, 빼낼 한 숫자를 고른다 — 훨씬 작은 결정이다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 는 같은 총합을 직접 나열로 확인해 주는 보조 수단이다.

실행 — 정답: D

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 1

쓸 수 있는 숫자 나열하기

'어느 것도 $0$ 이나 $1$ 이 아니다' 라는 규칙은 $0$ 부터 $9$ 까지 열 개의 숫자에서 두 개를 없앤다.
남는 것은 $2,3,4,5,6,7,8,9$ 이다.
세어 보면 쓸 수 있는 숫자는 $8$ 개이고, 일곱 자리 각각은 반드시 이 후보 중에서 채워져야 한다.

$$\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\quad\Rightarrow\quad 8\text{개의 쓸 수 있는 숫자}$$

💡 $0$ 과 $1$ 을 금지하는 것은 숫자 알파벳을 열 개에서 여덟 개로 줄이는 것일 뿐이다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

커지는 순서가 배열을 고정한다

어떤 일곱 숫자를 쓸지 이미 정했다고 하자.
숫자가 엄격히 커지는 순서로 놓여야 하므로, 그것들을 적는 올바른 방법은 정확히 하나뿐이다 — 가장 작은 것을 왼쪽에, 가장 큰 것을 오른쪽에.
그래서 서로 다른 두 전화번호가 같은 일곱 숫자 집합을 쓸 수 없고, 어떤 일곱 숫자 집합도 전화번호를 두 개 이상 만들지 못한다.
따라서 전화번호를 세는 것은 여덟 숫자 중 어떤 일곱을 쓸지 고르는 방법을 세는 것과 같다.

$$\text{고른 }7\text{개 숫자 집합 하나}\ \longleftrightarrow\ \text{정확히 전화번호 하나}$$

💡 커지는 순서가 배열의 자유를 모두 없애므로, 남는 것은 숫자를 고르는 선택뿐이다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 3

숫자 하나를 빼내며 세기

여덟 숫자 중 어떤 $7$ 개를 남길지 고르는 것은 어떤 $1$ 개를 빼낼지 고르는 것과 같다 — 일곱을 남기는 결정 하나하나가 하나를 빼내는 결정 하나와 정확히 짝을 이룬다.
숫자는 $8$ 개이므로 빼낼 수 있는 숫자도 $8$ 가지이고, 이는 $8$ 개의 집합, 따라서 $8$ 개의 전화번호를 준다.
이것이 선택지 (D) 이다.

$$8\text{개 중 }7\text{개 남기기} = 8\text{개 중 }1\text{개 빼내기} = 8\quad\Rightarrow\quad\textbf{(D)}$$

💡 하나만 빼고 다 남기는 것은 버릴 하나를 고르는 것과 같은 결정이고, 그 선택지는 여덟 개뿐이다.

[1] #3 4.OA.A.3 '어느 것도 $0$ 이나 $1$ 이 아니다' 라는 규칙은 $0$ 부터 $9$ 까지 열 개의 숫자에서 두 개를 없앤다. 남는 것은 $2,3,4,5

[2] #2 7.SP.C.8 어떤 일곱 숫자를 쓸지 이미 정했다고 하자. 숫자가 엄격히 커지는 순서로 놓여야 하므로, 그것들을 적는 올바른 방법은 정확히 하나뿐이다 — 가장

[3] #16 7.SP.C.8 여덟 숫자 중 어떤 $7$ 개를 남길지 고르는 것은 어떤 $1$ 개를 빼낼지 고르는 것과 같다 — 일곱을 남기는 결정 하나하나가 하나를 빼내는

검토

합리성 확인: 답 $8$ 은 선택지 목록 안에 정확히 들어 있고 작은 값인데, 배열이 강제되고 숫자 집합이 몇 개 안 되는 문제에는 이 정도가 어울린다. 간단히 나열해 보면 확인된다. $2$ 를 빼면 $3456789$, $3$ 을 빼면 $2456789$, 이렇게 계속해서 $9$ 를 빼면 $2345678$ — 빼낸 숫자마다 하나씩 정확히 $8$ 개의 번호가 나온다. 선택지 (C) $7$ 은 '숫자를 고르는 여덟 가지 방법' 대신 '일곱 개의 숫자' 를 세어 버린 사람을 위한 함정이고, (E) $9$ 는 $1$ 이 금지된 것을 잊고 $1$ 부터 $9$ 까지 아홉 숫자를 그대로 센 사람을 위한 함정이다.

대안 접근: 여집합 대신 조합 공식으로 직접 세어도 된다. 여덟 숫자 중 일곱을 고르는 것은 $\binom{8}{7}=\frac{8!}{7!\,1!}=8$ 로 같은 결과이다. 어느 쪽이든 배열의 가짓수는 전혀 끼어들지 않는데, 커지는 순서 규칙이 고른 집합 하나를 전화번호 하나에 못 박기 때문이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.OA.A.3 Solve multistep word problems posed with whole numbers (조건을 읽고 열 개의 숫자를 쓸 수 있는 여덟 숫자 $2$ 부터 $9$ 까지로 줄이는 데 사용.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (경우의 수를 체계적으로 세는 데 사용: 각 전화번호를 고른 일곱 숫자 집합 하나에 대응시킨 뒤, 여집합(어떤 한 숫자를 빼낼지)으로 그 집합들을 세기.)

⭐ 순서가 강제되면 어떤 숫자를 고를지만 세면 된다 — 여덟 숫자 중 일곱을 남기는 것은 버릴 하나를 고르는 것과 같으므로 전화번호는 $8$ 개이다.