AMC 10 · 2005 · #19
학년 6 arithmetic어느 수학 시험에서 학생의 10% 가 70 점, 25% 가 80 점, 20% 가 85 점, 15% 가 90 점을 받았고, 나머지는 모두 95 점을 받았습니다. 이 시험의 평균 점수와 중앙값 점수의 차는 얼마입니까?
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 어느 수학 시험에서 학생의 $10\%$ 가 $70$ 점, $25\%$ 가 $80$ 점, $20\%$ 가 $85$ 점, $15\%$ 가 $90$ 점을 받았고, 나머지는 모두 $95$ 점을 받았습니다. 평균 점수와 중앙값 점수의 차를 구하세요.
주어진 것: $10\%$ 가 $70$ 점; $25\%$ 가 $80$ 점; $20\%$ 가 $85$ 점; $15\%$ 가 $90$ 점; 나머지는 모두 $95$ 점; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $4$, (E) $5$
구하는 것: 평균 점수와 중앙값 점수의 차
이해
문제 재정리: 어느 수학 시험에서 학생의 $10\%$ 가 $70$ 점, $25\%$ 가 $80$ 점, $20\%$ 가 $85$ 점, $15\%$ 가 $90$ 점을 받았고, 나머지는 모두 $95$ 점을 받았습니다. 평균 점수와 중앙값 점수의 차를 구하세요.
주어진 것: $10\%$ 가 $70$ 점; $25\%$ 가 $80$ 점; $20\%$ 가 $85$ 점; $15\%$ 가 $90$ 점; 나머지는 모두 $95$ 점; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $4$, (E) $5$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
문제는 백분율만 주고 인원수를 주지 않으므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 인원을 편리하게 $100$ 명으로 고정합니다. 그러면 각 백분율이 그대로 학생 수가 되고, 추상적인 질문이 실제 점수를 세는 문제로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 작업을 서로 독립적인 두 조각 — 중앙값 구하기, 평균 구하기 — 으로 나누고, 마지막에만 둘을 뺍니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 틀을 안전망으로 씁니다: 차는 작은 자연수이므로, 간단한 어림으로 멀리 떨어진 선택지를 걸러낼 수 있습니다.
실행 — 정답: B
6.RP.A.3 단계 1 백분율을 학생 수로 바꾸기
- 나열된 네 그룹의 합은 $10+25+20+15=70$ 퍼센트이므로, 나머지는 $100-70=30$ 퍼센트가 $95$ 점입니다.
- 전체 학생 수가 주어지지 않았으니 편한 값을 고릅니다: $100$ 명.
- 그러면 백분율이 곧바로 인원수가 됩니다 — $70$ 점 $10$ 명, $80$ 점 $25$ 명, $85$ 점 $20$ 명, $90$ 점 $15$ 명, $95$ 점 $30$ 명.
💡 인원수가 주어지지 않으면 $100$ 명으로 잡아 각 퍼센트를 실제 학생 수로 만듭니다.
6.SP.B.5 단계 2 중앙값 찾기
- $100$ 개의 점수를 낮은 값부터 높은 값까지 순서대로 늘어놓습니다.
- $1$ 번부터 $10$ 번 자리는 $70$ 점, $11$ 번부터 $35$ 번 자리는 $80$ 점($10+25$), $36$ 번부터 $55$ 번 자리는 $85$ 점($35+20$)입니다.
- $100$ 개 값의 중앙값은 $50$ 번째와 $51$ 번째 점수 사이에 있습니다.
- 두 자리 모두 $85$ 점 구간 안에 들어가므로 중앙값은 $85$ 입니다.
💡 점수를 순서대로 쌓으면 그 더미의 한가운데가 중앙값입니다.
6.SP.B.5 단계 3 평균 계산하기
- 모든 학생의 점수를 더한 뒤 $100$ 으로 나눕니다.
- 각 점수에 받은 학생 수를 곱합니다: $70\times10=700$, $80\times25=2000$, $85\times20=1700$, $90\times15=1350$, $95\times30=2850$.
- 총합은 $700+2000+1700+1350+2850=8600$ 이므로, 평균은 $8600\div100=86$ 입니다.
💡 가중평균은 각 점수를 받은 학생 수만큼 값을 매긴 뒤 전체를 고르게 나눕니다.
6.SP.A.3 단계 4 빼서 차 구하기
- 평균은 $86$, 중앙값은 $85$ 이므로 차는 $86-85=1$ 입니다.
- 두 중심이 거의 겹쳐 있으므로 더 큰 선택지 $2$, $4$, $5$ 는 배제되고, 평균이 중앙값보다 위에 있으므로 $0$ 도 아닙니다.
- 따라서 차는 $1$, 선택지 (B)입니다.
💡 같은 자료의 두 중심 척도는 가까우므로 그 간격은 아주 작은 자연수입니다.
6.RP.A.3 나열된 네 그룹의 합은 $10+25+20+15=70$ 퍼센트이므로, 나머지는 $100-70=30$ 퍼센트가 $95$ 점입니다. 전체 학생 수가 6.SP.B.5 $100$ 개의 점수를 낮은 값부터 높은 값까지 순서대로 늘어놓습니다. $1$ 번부터 $10$ 번 자리는 $70$ 점, $11$ 번부터 $35$ 6.SP.B.5 모든 학생의 점수를 더한 뒤 $100$ 으로 나눕니다. 각 점수에 받은 학생 수를 곱합니다: $70\times10=700$, $80\times2 6.SP.A.3 평균은 $86$, 중앙값은 $85$ 이므로 차는 $86-85=1$ 입니다. 두 중심이 거의 겹쳐 있으므로 더 큰 선택지 $2$, $4$, $5$ 검토
합리성 확인: 평균 $86$ 과 중앙값 $85$ 는 거의 모든 점수가 몰려 있는 $80$ 에서 $90$ 사이에 놓이므로 둘 다 타당합니다. $95$ 점을 받은 $30\%$ 가 평균을 위로 끌어올리는 반면 중앙값은 한가운데 자리만 보기 때문에 평균이 중앙값보다 약간 위에 있습니다 — 오른쪽으로 치우친 분포이며, 평균이 중앙값보다 큰 차 $1$ 이 바로 이를 나타냅니다. $100$ 명으로 잡은 것은 자유로운 선택이었습니다: $20$ 명으로 잡으면 인원수 $2,5,4,3,6$ 이 같은 중앙값 $85$ 와 평균 $1720\div20=86$ 을 주므로 차는 그대로 $1$ 이며, 답이 인원수에 의존하지 않음을 확인합니다.
대안 접근: 인원수를 고르지 않고 백분율을 가중치로 두고 계산합니다. 중앙값: 누적 $10\%,35\%,55\%$ 를 보면 $50\%$ 지점이 $85$ 점 그룹에 들어가므로 중앙값은 $85$ 입니다. 평균: $0.10(70)+0.25(80)+0.20(85)+0.15(90)+0.30(95)=7+20+17+13.5+28.5=86$. 차는 $86-85=1$, 역시 (B)입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.RP.A.3백분율을 포함한 비와 비율 추론으로 문제를 해결한다 (각 백분율을 총원 $100$ 명 중의 학생 수로 읽고, 빠진 그룹을 $100\%-70\%=30\%$ 로 구하는 데 사용.)6.SP.B.5수치 자료 집합을 요약하고 중심의 정량적 척도(중앙값과 평균)를 제시한다 (순서대로 늘어놓은 점수의 한가운데로 중앙값($85$)을 찾고, 모든 점수의 가중평균으로 평균($86$)을 구하는 데 사용.)6.SP.A.3중심의 척도가 자료 집합을 하나의 수로 요약함을 인식한다 (두 개의 하나짜리 중심값, 평균 $86$ 과 중앙값 $85$ 를 비교하고 빼서 차 $1$ 을 구하는 데 사용.)
⭐ 백분율만 주어지면 사람이 $100$ 명이라고 가정해 각 퍼센트를 인원수로 바꾸세요. 그러면 중앙값은 순서대로 늘어놓은 점수의 한가운데이고, 평균은 가중평균입니다.
⭐ 백분율만 주어지면 사람이 $100$ 명이라고 가정해 각 퍼센트를 인원수로 바꾸세요. 그러면 중앙값은 순서대로 늘어놓은 점수의 한가운데이고, 평균은 가중평균입니다.
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