AMC 10 · 2005 · #19

학년 6 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation
mean-median-mode-rangeweighted-averagepercentage easier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangepercentage
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어느 수학 시험에서 학생의 10%가 70 점, 25%가 80 점, 20%가 85 점, 15%가 90 점을 받았고, 나머지는 모두 95 점을 받았습니다. 평균 점수와 중앙값 점수의 차를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
4
(E)
5

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

문제는 백분율만 주고 인원수를 주지 않으므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 인원을 편리하게 100 명으로 고정합니다. 그러면 각 백분율이 그대로 학생 수가 되고, 추상적인 질문이 실제 점수를 세는 문제로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 작업을 서로 독립적인 두 조각 — 중앙값 구하기, 평균 구하기 — 으로 나누고, 마지막에만 둘을 뺍니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 틀을 안전망으로 씁니다: 차는 작은 자연수이므로, 간단한 어림으로 멀리 떨어진 선택지를 걸러낼 수 있습니다.

1STEP 1

백분율을 학생 수로 바꾸기

네 그룹의 합이 70%이므로 나머지 30%가 95 점; 100 명으로 잡으면 퍼센트가 곧 인원수입니다.

100-(10+25+20+15)=30% 가 95점; 10, 25, 20, 15, 30 명
2STEP 2

중앙값 찾기

낮은 순으로 1–35 번은 70·80 점, 36–55 번은 85 점이므로 50·51 번째는 모두 85입니다.

70점:1-10, 80점:11-35, 85점:36-55 → 50번째=51번째=85
3STEP 3

평균 계산하기

가중합 70(10)+80(25)+85(20)+90(15)+95(30)=8600이므로 평균은 8600÷100=86입니다.

(700+2000+1700+1350+2850)/100=8600/100=86
4STEP 4

빼서 차 구하기

평균 86에서 중앙값 85를 빼면 1, 두 중심이 거의 붙어 있어 2·4·5는 배제됩니다 — 답 (B).

86-85=1 → (B)
정답
1
평균 86과 중앙값 85는 거의 모든 점수가 몰려 있는 80에서 90 사이에 놓이므로 둘 다 타당합니다. 95 점을 받은 30%가 평균을 위로 끌어올리는 반면 중앙값은 한가운데 자리만 보기 때문에 평균이 중앙값보다 약간 위에 있습니다 — 오른쪽으로 치우친 분포이며, 평균이 중앙값보다 큰 차 1이 바로 이를 나타냅니다. 100 명으로 잡은 것은 자유로운 선택이었습니다: 20 명으로 잡으면 인원수 2,5,4,3,6이 같은 중앙값 85와 평균 1720÷20=86을 주므로 차는 그대로 1이며, 답이 인원수에 의존하지 않음을 확인합니다.
💡핵심 정리

백분율만 주어지면 사람이 100 명이라고 가정해 각 퍼센트를 인원수로 바꾸세요. 그러면 중앙값은 순서대로 늘어놓은 점수의 한가운데이고, 평균은 가중평균입니다.

  • 백분율을 학생 수로 바꾸기
  • 중앙값 찾기
  • 평균 계산하기
  • 빼서 차 구하기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.