AMC 10 · 2005 · #2

학년 8 arithmetic

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percentagequadratic-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentagequadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

양수 x가 "x%의 x가 4이다"라는 조건을 만족한다. x를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

"x%의 x가 4이다"라는 문장은 방정식 하나를 숨기고 있는 말이므로, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 x/100 · x = 4로 옮겨 x를 구한다. 핵심 열쇠는 도구 #8(단위 살펴보기)이다. "퍼센트"는 "백분의"라는 뜻이라 x%=x/100이 되고, 이렇게 하면 x%를 그냥 x로 잘못 읽는 흔한 실수를 막는다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 뒷받침이다 — 보기가 주어져 있으므로 구한 값을 보기와 대조할 수 있고, x%의 x가 4가 되는 값은 20뿐이다.

1STEP 1

백분율을 분수로 바꾸기

"퍼센트"는 백분의라는 뜻이라 x%는 $\frac{x}{100}$ 이고, "의"는 곱하기이므로 "x%의 x"는 $\frac{x}{100}\cdot x$ 이다.

x% of x = x/100 · x

2STEP 2

방정식 세우기

그 곱을 4와 같다고 놓으면 두 x가 합쳐져 $x^2$ 이 되어 깔끔한 방정식 $\frac{x^2}{100} = 4$ 하나가 남는다.

x/100 · x = 4 ⟹ x²/100 = 4

3STEP 3

분모 없애기

양변에 100을 곱해 나눗셈을 되돌리면 왼쪽은 그냥 $x^2$ , 오른쪽은 400이 된다.

x²/100 = 4 ⟹ x² = 400

4STEP 4

양의 제곱근 취하기

$<span class="hl-ask">20</span>^2 = 400$ 이고 x는 양수라 음의 근은 버리므로 x는 20, 곧 (D)이다. 실제로 20의 20%는 4이다.

x² = 400 ⟹ x = √(400) = 20 → (D)

정답

답을 문장에 바로 대입해 확인하자. 20의 20%는 0.2×20=4로 정확히 맞는다. 다른 보기는 어긋난다 — 예를 들어 40의 40%는 16(너무 큼), 10의 10%는 1(너무 작음)이다. x가 커질수록 "자기 자신의 x%" 값이 커지므로 이 값들이 답을 위아래로 감싼다. 흔한 함정은 "x%의 x"를 그냥 x=4로 읽어 (B)를 고르는 것인데, 이는 결과를 줄이는 "퍼센트"와 "의"를 모두 무시한 것이다.

💡핵심 정리

"퍼센트"는 "100 중의"라는 뜻이고 "의"는 곱하기이므로 "x%의 x"는 x²/100이다 — 이것을 4와 같다고 놓고 양의 제곱근을 취하면 x=20이다.

백분율을 분수로 바꾸기
방정식 세우기
분모 없애기
양의 제곱근 취하기

백분율을 분수로 바꾸기

방정식 세우기

분모 없애기

양의 제곱근 취하기

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