AMC 10 · 2005 · #2

학년 8 arithmetic

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percentagequadratic-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentagequadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

양수 $x$ 가 " $x$ 의 $x\%$ 는 $4$ 이다"라는 성질을 가지고 있습니다. $x$ 는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양수 $x$가 "$x\%$의 $x$가 $4$이다"라는 조건을 만족한다. $x$를 구하여라.

주어진 것: $x$는 양수이다; 같은 수 $x$의 $x\%$를 구하면 정확히 $4$가 된다; 보기: (A) $2$, (B) $4$, (C) $10$, (D) $20$, (E) $40$

구하는 것: 양수 $x$의 값

이해

문제 재정리: 양수 $x$가 "$x\%$의 $x$가 $4$이다"라는 조건을 만족한다. $x$를 구하여라.

주어진 것: $x$는 양수이다; 같은 수 $x$의 $x\%$를 구하면 정확히 $4$가 된다; 보기: (A) $2$, (B) $4$, (C) $10$, (D) $20$, (E) $40$

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기

"$x\%$의 $x$가 $4$이다"라는 문장은 방정식 하나를 숨기고 있는 말이므로, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 $\dfrac{x}{100}\cdot x = 4$로 옮겨 $x$를 구한다. 핵심 열쇠는 도구 #8(단위 살펴보기)이다. "퍼센트"는 "백분의"라는 뜻이라 $x\%=\dfrac{x}{100}$이 되고, 이렇게 하면 $x\%$를 그냥 $x$로 잘못 읽는 흔한 실수를 막는다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 뒷받침이다 — 보기가 주어져 있으므로 구한 값을 보기와 대조할 수 있고, $x\%$의 $x$가 $4$가 되는 값은 $20$뿐이다.

실행 — 정답: D

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

백분율을 분수로 바꾸기

"퍼센트"는 "백분의"라는 뜻이므로 $x\%$는 $\dfrac{x}{100}$이다.
그러면 "$x\%$의 $x$"는 $\dfrac{x}{100}$에 $x$를 곱한 것이다.
미지수 $x$가 두 번 나온다는 점에 주목하자.
한 번은 백분율 안에, 한 번은 대상이 되는 양으로.

$$x\% \text{ of } x = \dfrac{x}{100}\cdot x$$

💡 퍼센트는 $100$을 분모로 하는 분수일 뿐이고, "의"는 곱하기를 뜻한다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.6 단계 2

방정식 세우기

그 곱을 주어진 값 $4$와 같다고 놓는다.
$\dfrac{x}{100}$에 $x$를 곱하면 두 개의 $x$가 합쳐져 $x^2$이 되므로, 문장은 $x$에 관한 깔끔한 방정식 하나가 된다.

$$\dfrac{x}{100}\cdot x = 4 \;\Longrightarrow\; \dfrac{x^2}{100} = 4$$

💡 말을 방정식 하나로 바꾸면 미지수를 곧바로 구할 수 있다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 3

분모 없애기

양변에 $100$을 곱해 $100$으로 나눈 것을 되돌린다.
왼쪽은 그냥 $x^2$이 되고, 오른쪽은 $4\times100=400$이 된다.

$$\dfrac{x^2}{100} = 4 \;\Longrightarrow\; x^2 = 400$$

💡 방정식은 한쪽에 한 일을 다른 쪽에도 똑같이 해야 균형이 유지된다.

#3 가능성 지우기 8.EE.A.2 단계 4

양의 제곱근 취하기

제곱이 $400$이 되는 수를 찾는다.
$20^2=400$이므로 제곱근을 취하면 $x=20$이다.
방정식 $x^2=400$은 $x=-20$이라는 해도 갖지만, 문제에서 $x$가 양수라고 했으므로 그것은 버린다.
보기와 대조하면 $20$은 (D)이고, 빠르게 확인하면 $20$의 $20\%$는 $0.2\times20 = 4$로 맞는다.

$$x^2 = 400 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt{400} = 20 \quad\Rightarrow\quad \textbf{(D)}$$

💡 제곱은 제곱근으로 되돌리고, "양수"라는 조건이 양의 근을 고른다.

[1] #8 6.RP.A.3 "퍼센트"는 "백분의"라는 뜻이므로 $x\%$는 $\dfrac{x}{100}$이다. 그러면 "$x\%$의 $x$"는 $\dfrac{x}{100}

[2] #13 6.EE.B.6 그 곱을 주어진 값 $4$와 같다고 놓는다. $\dfrac{x}{100}$에 $x$를 곱하면 두 개의 $x$가 합쳐져 $x^2$이 되므로, 문장

[3] #13 6.EE.B.7 양변에 $100$을 곱해 $100$으로 나눈 것을 되돌린다. 왼쪽은 그냥 $x^2$이 되고, 오른쪽은 $4\times100=400$이 된다.

[4] #3 8.EE.A.2 제곱이 $400$이 되는 수를 찾는다. $20^2=400$이므로 제곱근을 취하면 $x=20$이다. 방정식 $x^2=400$은 $x=-20$이라는

검토

합리성 확인: 답을 문장에 바로 대입해 확인하자. $20$의 $20\%$는 $0.2\times20=4$로 정확히 맞는다. 다른 보기는 어긋난다 — 예를 들어 $40$의 $40\%$는 $16$(너무 큼), $10$의 $10\%$는 $1$(너무 작음)이다. $x$가 커질수록 "자기 자신의 $x\%$" 값이 커지므로 이 값들이 답을 위아래로 감싼다. 흔한 함정은 "$x\%$의 $x$"를 그냥 $x=4$로 읽어 (B)를 고르는 것인데, 이는 결과를 줄이는 "퍼센트"와 "의"를 모두 무시한 것이다.

대안 접근: 대수를 건너뛰고 다섯 보기를 직접 대입한다(도구 #3). 각각 $x\%$의 $x$를 계산하면 $2\to0.04$, $4\to0.16$, $10\to1$, $20\to4$, $40\to16$이다. $4$가 되는 것은 $x=20$뿐이라 (D)가 된다 — 제곱근 없이도 같은 답이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ($x\%$를 $\dfrac{x}{100}$로 읽고 "$x\%$의 $x$"를 $\dfrac{x}{100}\cdot x$로 해석하기.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (조건을 미지수 $x$ 하나에 관한 방정식 $\dfrac{x^2}{100}=4$로 쓰기.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q (양변에 $100$을 곱해 방정식을 $x^2=400$으로 줄이기.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ($x^2=400$에서 양의 제곱근을 취해 $x=20$을 구하기.)

⭐ "퍼센트"는 "$100$ 중의"라는 뜻이고 "의"는 곱하기이므로 "$x\%$의 $x$"는 $\dfrac{x^2}{100}$이다 — 이것을 $4$와 같다고 놓고 양의 제곱근을 취하면 $x=20$이다.