AMC 10 · 2005 · #20

학년 6 arithmetic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

permutations-basicplace-valuemean-median-mode-range symmetry-argumentpattern-recognition ↑ 선수 지식: permutations-basicplace-value

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

숫자 $1, 3, 5, 7, 8$ 을 각각 정확히 한 번씩 사용하여 만들 수 있는 모든 5자리 수의 평균(mean)은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

48000

(B)

49999.5

(C)

53332.8

(D)

55555

(E)

56432.8

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 숫자 $1, 3, 5, 7, 8$ 을 배열하여 5자리 수를 만듭니다. 각 수는 다섯 개의 숫자를 각각 정확히 한 번씩 사용합니다. 이런 수는 아주 많습니다. 우리는 그 모든 수의 평균(mean) — 모든 수의 합을 수의 개수로 나눈 값 — 을 구하려 합니다.

주어진 것: 사용할 수 있는 숫자는 $1, 3, 5, 7, 8$ 이고, 각 수는 이 다섯 개를 각각 정확히 한 번씩 사용함; 모든 숫자가 0이 아니므로 어떤 배열도 진짜 5자리 수가 됨 (앞자리 0 걱정 없음); 선택지: (A) $48000$, (B) $49999.5$, (C) $53332.8$, (D) $55555$, (E) $56432.8$

구하는 것: 이 5자리 수 전체 모임의 평균

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #15 다르게 정리하기, #7 작은 문제로 쪼개기

모든 수를 나열해 손으로 더하는 것은 불가능하므로, 승부수는 도구 #5(패턴 찾기)입니다: 모든 숫자가 똑같이 다뤄지므로, 모든 배열에 걸쳐 각 숫자는 각 자릿값 칸에 똑같은 횟수만큼 들어갑니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 평균을 다시 봅니다 — 온전한 수를 평균 내는 대신 자릿값 칸을 하나씩 평균 냅니다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 각 수를 자릿값 형태로 써서 그 칸들이 보이게 합니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 '평균 숫자 구하기'와 '자릿값에 곱하기'라는, 둘 다 쉬운 문제로 나눕니다.

실행 — 정답: C

#15 다르게 정리하기 5.NBT.A.1 단계 1

수를 자릿값으로 쓰기

이 수들은 모두 다섯 개의 숫자를 자릿값으로 가중해 만든 것입니다: 만의 자리 숫자는 $10000$, 천의 자리는 $1000$, 이런 식으로 일의 자리 숫자는 $1$ 만큼의 값을 가집니다.
그래서 하나의 수는 다섯 칸 각각에 어떤 숫자가 앉는지로 완전히 결정됩니다.

$$N = d_1\cdot 10000 + d_2\cdot 1000 + d_3\cdot 100 + d_4\cdot 10 + d_5\cdot 1$$

💡 수란 결국 각 칸이 지닌 값만큼 곱해진 숫자들일 뿐입니다.

#16 관점 바꾸기 6.EE.A.3 단계 2

각 자리를 따로 평균 내기

모든 수를 평균 내려면, 각 자릿값 칸을 따로 평균 낸 다음 칸들을 다시 더하면 됩니다.
합의 평균은 평균의 합과 같기 때문입니다.
그래서 평균 수는 만의 자리 평균 숫자 곱하기 $10000$, 더하기 천의 자리 평균 숫자 곱하기 $1000$, 이런 식이 됩니다.
자리 $k$ 의 평균 숫자를 $\overline{d_k}$ 라 씁니다.

$$\overline{N} = \overline{d_1}\cdot 10000 + \overline{d_2}\cdot 1000 + \overline{d_3}\cdot 100 + \overline{d_4}\cdot 10 + \overline{d_5}\cdot 1$$

💡 각 칸을 먼저 평균 내도 온전한 수를 평균 낸 것과 총합이 같으므로, 한 칸씩 다룰 수 있습니다.

#5 패턴 찾기 6.SP.B.5 단계 3

모든 자리의 평균 숫자는 같다

한 칸, 예를 들어 일의 자리를 봅시다.
모든 배열을 훑어갈 때 다섯 숫자가 그 자리에 번갈아 앉으며, 대칭성에 의해 각 숫자는 그 자리에 정확히 같은 횟수만큼 들어갑니다.
그래서 일의 자리 평균 숫자는 그냥 $1, 3, 5, 7, 8$ 의 보통 평균입니다.
일의 자리가 특별할 이유가 없으므로 모든 칸이 이 같은 평균 숫자를 가집니다.

$$\overline{d_k} = \dfrac{1+3+5+7+8}{5} = \dfrac{24}{5} = 4.8 \quad\text{(모든 자리 } k \text{)}$$

💡 어떤 숫자도 특정 칸을 선호하지 않으므로, 평균적으로 모든 칸은 같은 대표 숫자 — 다섯 숫자의 평균 — 를 담습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 4

칸들을 합치기

각 칸이 자기 자릿값의 $4.8$ 배만큼 기여하므로 $4.8$ 을 밖으로 묶어냅니다.
안에 남는 것은 다섯 자릿값의 합, 즉 $10000+1000+100+10+1 = 11111$ 입니다.

$$\overline{N} = 4.8\,(10000+1000+100+10+1) = 4.8 \times 11111$$

💡 모든 자리가 같은 평균 숫자를 지니므로, 자릿값들은 그냥 $11111$ 로 더해집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.7 단계 5

곱해서 마무리

$4.8 \times 11111$ 을 계산합니다.
자연수로 보면 $48 \times 11111 = 533328$ 이고, $10$ 으로 나누어 소수점 한 자리를 되돌리면 $4.8 \times 11111 = 53332.8$ 입니다.
이것은 선택지 (C) 와 일치합니다.

$$48 \times 11111 = 533328 \;\Rightarrow\; 4.8 \times 11111 = 53332.8 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 먼저 자연수처럼 곱한 다음, 소수점 한 자리를 다시 넣습니다.

[1] #15 5.NBT.A.1 이 수들은 모두 다섯 개의 숫자를 자릿값으로 가중해 만든 것입니다: 만의 자리 숫자는 $10000$, 천의 자리는 $1000$, 이런 식으로 일

[2] #16 6.EE.A.3 모든 수를 평균 내려면, 각 자릿값 칸을 따로 평균 낸 다음 칸들을 다시 더하면 됩니다. 합의 평균은 평균의 합과 같기 때문입니다. 그래서 평균

[3] #5 6.SP.B.5 한 칸, 예를 들어 일의 자리를 봅시다. 모든 배열을 훑어갈 때 다섯 숫자가 그 자리에 번갈아 앉으며, 대칭성에 의해 각 숫자는 그 자리에 정확

[4] #7 6.EE.A.3 각 칸이 자기 자릿값의 $4.8$ 배만큼 기여하므로 $4.8$ 을 밖으로 묶어냅니다. 안에 남는 것은 다섯 자릿값의 합, 즉 $10000+100

[5] #7 5.NBT.B.7 $4.8 \times 11111$ 을 계산합니다. 자연수로 보면 $48 \times 11111 = 533328$ 이고, $10$ 으로 나누어 소

검토

합리성 확인: 평균 숫자 $4.8$ 은 $5$ 보다 조금 작으므로, $11111$ 을 곱하면 모두 5인 수 $5 \times 11111 = 55555$ 보다 조금 아래에 답이 놓여야 합니다. 우리 결과 $53332.8$ 은 바로 그 자리 — $55555$ 보다 약간 아래 — 에 있고, 이는 $5$ 보다 살짝 작은 대표 숫자에 딱 맞는 크기입니다. 이는 함정도 드러냅니다: (D) $55555$ 는 평균 숫자를 잘못 $5$ 로 썼을 때 나오는 값이고, (A) $48000$ 과 (E) $56432.8$ 은 어림값에서 멀리 떨어져 있습니다. 따라서 (C) 만이 타당한 값입니다.

대안 접근: 직접 세어 합합니다. 수는 모두 $5! = 120$ 개입니다. 한 자리에 한 숫자를 고정하면 나머지를 배열하는 방법이 $4! = 24$ 가지이므로, 각 숫자는 각 자리에 정확히 $24$ 번 나타납니다. 숫자들의 합은 $1+3+5+7+8 = 24$ 이므로, 모든 자리의 숫자 합은 $24 \times 24 = 576$ 입니다. $120$ 개 수의 전체 합은 $576 \times 11111 = 6{,}399{,}936$ 이고, 평균은 $6{,}399{,}936 \div 120 = 53{,}332.8$ 로 (C) 를 확인해 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NBT.A.1 Recognize that a digit in one place represents ten times as much as to its right (각 5자리 수를 자릿값($10000, 1000, 100, 10, 1$)으로 가중된 숫자들로 쓰는 데 사용.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (각 자릿값 칸을 따로 평균 낸 뒤, 공통 평균 숫자 $4.8$ 을 자릿값들에서 밖으로 묶어내는 데 사용.)
6.SP.B.5 Summarize numerical data sets by reporting number of observations and measures (다섯 숫자의 평균 $(1+3+5+7+8)/5 = 4.8$ 을 모든 자리의 평균 숫자로 구하는 데 사용.)
5.NBT.B.7 Add, subtract, multiply, and divide decimals to hundredths ($4.8 \times 11111 = 53332.8$ 을 계산해 최종 평균을 얻는 데 사용.)

⭐ 모든 배열이 똑같이 나올 때, 각 자릿값 칸은 그저 평균 숫자를 보여줄 뿐이므로, 평균 수는 그 하나의 평균 숫자에 $11111$ 을 곱한 값입니다.