AMC 10 · 2005 · #21

학년 7 probability

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

combinations-basicprobability-basic identify-subproblemsratio-proportion ↑ 선수 지식: combinations-basicprobability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

슬립 마흔 장을 모자에 넣는데, 각 슬립에는 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ 중 하나의 수가 적혀 있고, 각 수는 정확히 네 장에 적혀 있습니다. 모자에서 슬립 네 장을 무작위로, 다시 넣지 않고 뽑습니다. 네 장 모두 같은 수일 확률을 $p$ 라 하고, 두 장은 수 $a$ 이고 나머지 두 장은 다른 수 $b \neq a$ 일 확률을 $q$ 라 합시다. $q/p$ 의 값은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

162

(B)

180

(C)

324

(D)

360

(E)

720

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 모자 안에 슬립 마흔 장이 들어 있다. $1$부터 $10$까지의 수가 각각 정확히 네 장에 적혀 있다. 슬립 네 장을 무작위로, 다시 넣지 않고 뽑는다. 네 장 모두 같은 수일 확률을 $p$, 두 장은 수 $a$이고 나머지 두 장은 다른 수 $b$일 확률을 $q$라 하자. $q/p$를 구하여라.

주어진 것: 슬립은 모두 마흔 장이고, 수 $1$부터 $10$까지가 각각 정확히 네 장에 적혀 있다; 슬립 네 장을 한 번에, 다시 넣지 않고 뽑는다; $p$ = 뽑은 네 장이 모두 같은 수일 확률; $q$ = 네 장이 수 $a$ 두 장과 수 $b\neq a$ 두 장으로 나뉠 확률; 선택지: (A) $162$, (B) $180$, (C) $324$, (D) $360$, (E) $720$

구하는 것: 두 확률의 비 $q/p$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #2 빠짐없이 나열하기

$p$와 $q$는 둘 다 (유리한 뽑기)를 같은 전체 뽑기 수 $\binom{40}{4}$로 나눈 값이다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 이 사실 위에서 문제 전체를 뒤집는다: 비 $q/p$에서는 그 공통 전체가 약분되므로, $q/p$는 그저 두 장씩인 뽑기의 개수를 네 장 같은 뽑기의 개수로 나눈 값과 같다 — 거대한 $\binom{40}{4}$는 계산할 필요조차 없다. 그러면 두 개의 깔끔한 세기 소문제(도구 #7)가 남고, 각각을 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 처리한다: 네 장 같은 뽑기를 세고, 다음으로 두 장씩인 뽑기를 세어, 나눈다.

실행 — 정답: A

#16 관점 바꾸기 6.RP.A.1 단계 1

두 확률은 전체가 같다

마흔 장 중 네 장을 고르는 모든 방법은 똑같이 나올 수 있고, 그런 방법은 모두 $\binom{40}{4}$가지다.
따라서 $p$는 (네 장 같은 뽑기 수)를 $\binom{40}{4}$로 나눈 값이고, $q$는 (두 장씩인 뽑기 수)를 똑같은 $\binom{40}{4}$로 나눈 값이다.
비 $q/p$를 만들면 그 공통 분모가 약분된다.
이는 $q/p$가 그저 한 개수를 다른 개수로 나눈 값임을 뜻하며, $\binom{40}{4}$의 실제 값은 전혀 필요 없다.

$$\dfrac{q}{p} = \dfrac{\,N_q/\binom{40}{4}\,}{\,N_p/\binom{40}{4}\,} = \dfrac{N_q}{N_p}$$

💡 분모가 같은 두 분수는 분자만으로 비교되므로, 거대한 전체는 비에서 사라진다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

네 장 같은 뽑기 세기

네 장이 모두 같으려면 어느 한 수를 지닌 네 장 전체여야 한다.
먼저 그 수가 무엇인지 고른다: $1$부터 $10$까지 각 수마다 하나씩 $10$가지다.
수가 정해지면 네 장은 강제된다 — 그 네 장을 모두 가져와야 하고, 그렇게 하는 방법은 정확히 한 가지다.
그러므로 네 장 같은 뽑기 수는 $N_p = 10$이다.

$$N_p = 10 \times \binom{4}{4} = 10 \times 1 = 10$$

💡 완벽히 같으려면 한 수의 네 장 전부를 써야 하므로, 자유로운 것은 수의 선택뿐이다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

두 장씩인 뽑기 세기

이제 수 $a$ 두 장과 수 $b$ 두 장으로 된 뽑기를 만든다.
먼저 두 수의 짝 $\{a,b\}$을 고른다: 순서가 상관없으므로 $\binom{10}{2}=45$가지다.
수 $a$의 네 장에서 어느 두 장을 가져올지 고른다: $\binom{4}{2}=6$가지.
수 $b$의 네 장에서도 마찬가지로 $\binom{4}{2}=6$가지.
이 독립인 선택들은 곱해지므로 $N_q = 45 \times 6 \times 6 = 1620$이다.

$$N_q = \binom{10}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{2} = 45 \times 6 \times 6 = 1620$$

💡 두 수를 고르고, 각 수의 네 장에서 두 장씩 고른다 — 선택은 곱으로 쌓인다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.1 단계 4

두 개수를 나누기

1단계에서 $q/p = N_q / N_p$이다.
두 개수를 대입한다: $1620$을 $10$으로 나누면 $162$다.
따라서 $q/p = 162$이고, 이는 선택지 (A)다.
공통 전체가 약분되어 사라질 때 기대되듯, 답이 깔끔한 정수임에 주목하라.

$$\dfrac{q}{p} = \dfrac{N_q}{N_p} = \dfrac{1620}{10} = 162 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 전체가 사라지고 나면, 비는 그저 큰 유리한 개수를 작은 것으로 나눈 값이다.

[1] #16 6.RP.A.1 마흔 장 중 네 장을 고르는 모든 방법은 똑같이 나올 수 있고, 그런 방법은 모두 $\binom{40}{4}$가지다. 따라서 $p$는 (네 장

[2] #2 7.SP.C.8 네 장이 모두 같으려면 어느 한 수를 지닌 네 장 전체여야 한다. 먼저 그 수가 무엇인지 고른다: $1$부터 $10$까지 각 수마다 하나씩 $1

[3] #2 7.SP.C.8 이제 수 $a$ 두 장과 수 $b$ 두 장으로 된 뽑기를 만든다. 먼저 두 수의 짝 $\{a,b\}$을 고른다: 순서가 상관없으므로 $\bino

[4] #7 6.RP.A.1 1단계에서 $q/p = N_q / N_p$이다. 두 개수를 대입한다: $1620$을 $10$으로 나누면 $162$다. 따라서 $q/p = 162

검토

합리성 확인: 값 $162$는 정수이며 이는 타당하다: $p$와 $q$가 분모 $\binom{40}{4}$를 공유하므로 비는 $N_q/N_p$로 줄어들 수밖에 없었고, $N_p=10$이 $N_q=1620$을 나누어떨어지게 한다. 또한 $q$가 $p$보다 훨씬 큰 것도 합리적이다 — 두 장씩 나뉘는 경우($1620$)가 드문 완벽한 일치($10$)보다 훨씬 여러 방법으로 일어나므로 $q/p \gg 1$이다. 함정 답들은 잘못 센 데서 나온다: $\{a,b\}$가 순서 없는 짝임을 잊으면 $1620$이 두 배가 되어 $3240$, $324$ (C)가 나오고, 슬립 순서를 넣는 식의 과다 계산은 $360$ (D)이나 $720$ (E)로 향한다. 오직 (A)만이 신중한 세기와 맞는다.

대안 접근: 세기를 건너뛰고 확률로 직접 다룬다. 슬립을 한 장씩 뽑는다. $p$의 경우, 아무 첫 장 뒤로 다음 세 장이 그것과 같아야 한다: $\frac{3}{39}\cdot\frac{2}{38}\cdot\frac{1}{37}$. $q$의 경우, 첫 장이 $a$를 정하고, 다음 세 자리 중 하나가 $a$의 짝이며 나머지 둘이 $b$ 짝을 이룬다 — 신중히 하면 $q = \binom{3}{1}\cdot\frac{3}{39}\cdot\frac{36}{38}\cdot\frac{3}{37}$이다. 나누면 $/39,/38,/37$ 인수가 모두 약분되어 $q/p = \frac{3\cdot 3\cdot 36 \cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1} = 162$, 똑같이 (A)가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.1 Understand the concept of a ratio and use ratio language (공통 전체 $\binom{40}{4}$가 약분된 뒤 $q/p$가 유리한 개수의 비 $N_q/N_p$와 같음을 알아채고 $1620/10=162$를 계산하는 데 사용.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, tree diagrams, and simulation (네 장 같은 뽑기 $10$가지와 두 장씩인 뽑기 $\binom{10}{2}\binom{4}{2}\binom{4}{2}=1620$가지를 복합 사건으로 세는 데 사용.)

⭐ $p$와 $q$가 둘 다 같은 전체에 대한 개수이므로, $q/p$는 그저 한 개수를 다른 개수로 나눈 값이다: $\frac{1620}{10}=162$.