AMC 10 · 2005 · #24

학년 8 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
difference-of-squaresdigit-decompositionperfect-squares convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: difference-of-squaresperfect-squaresdigit-decomposition
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
x는 두 자리 정수이고, y는 x의 자리 숫자를 뒤집어 얻은 두 자리 정수입니다. 두 수는 어떤 양의 정수 m에 대해 x² - y² = m²을 만족합니다. x + y + m의 값은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
88
(B)
112
(C)
116
(D)
144
(E)
154

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

두 자리 숫자에 이름을 붙이면 뒤집은 수가 식이 됩니다. 자리 바꿈을 대수로 바꾸면 깔끔한 인수분해가 드러나고, 이어서 배수 조건이 숫자를 단 하나로 좁혀 줍니다.

1STEP 1

숫자에 이름 붙이기

자리 숫자를 a, b라 하면 x = 10a + b이고 뒤집으면 y = 10b + a이며, a와 b는 1부터 9까지이다.

x = 10a + b, y = 10b + a
2STEP 2

제곱의 차 인수분해하기

인수분해하면 x² - y² = 9(a - b) · 11(a + b) = 99(a - b)(a + b)이다.

x² - y² = (x-y)(x+y) = 9(a-b) · 11(a+b) = 99(a-b)(a+b)
3STEP 3

완전제곱수가 되게 만들기

99 = 3² · 11이라 짝 없는 11이 짝을 찾아야 하는데 a - b는 최대 8이므로 a + b = 11이다.

99(a-b)(a+b) = 3² · 11·(a-b)(a+b) → a+b = 11
4STEP 4

숫자 확정하기

그러면 m² = 1089(a - b)라 a - b는 홀수 제곱수인데 9면 a = 10이므로 a = 6, b = 5이다.

1089(a-b)=m²; a+b=11, a-b=1 → a=6, b=5
5STEP 5

x, y, m 더하기

따라서 x = 65, y = 56, m = 33이므로 x + y + m = 154이고 정답은 (E)이다.

x=65, y=56, m=√(1089)=33 → 65+56+33 = 154
정답
154
직접 확인하자: 65² - 56² = 4225 - 3136 = 1089 = 33²로 진짜 완전제곱수이므로 m = 33이 성립한다. 숫자 6과 5는 유효하고, 65 + 56 + 33 = 154는 보기 (E)와 일치한다.
💡핵심 정리

두 자리 수를 10a + b로 쓰면, 뒤집은 수의 제곱의 차는 언제나 99 곱하기 (a - b)(a + b)가 된다 -- 그러면 소수들이 어떤 숫자가 맞는지 알려 준다.

  • 숫자에 이름 붙이기
  • 제곱의 차 인수분해하기
  • 완전제곱수가 되게 만들기
  • 숫자 확정하기
  • x, y, m 더하기

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