AMC 10 · 2005 · #24

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

difference-of-squaresdigit-decompositionperfect-squares convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: difference-of-squaresperfect-squaresdigit-decomposition

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$x$ 와 $y$ 를 두 자리 정수라 하고, $y$ 는 $x$ 의 자리 숫자를 뒤집어 얻은 수라고 합시다. 두 정수 $x$ 와 $y$ 는 어떤 양의 정수 $m$ 에 대해 $x^2 - y^2 = m^2$ 을 만족합니다. $x + y + m$ 은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

112

(C)

116

(D)

144

(E)

154

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 자리 수 x의 두 자리 숫자를 뒤집어 또 다른 두 자리 수 y를 만듭니다. 두 수의 제곱의 차가 어떤 완전제곱수 m^2입니다. 합 x + y + m을 구하세요.

주어진 것: x와 y는 두 자리 정수이다; y는 x의 두 자리 숫자를 뒤집은 수이다; 어떤 양의 정수 m에 대해 x^2 - y^2 = m^2이다

구하는 것: x + y + m의 값

이해

주어진 것: x와 y는 두 자리 정수이다; y는 x의 두 자리 숫자를 뒤집은 수이다; 어떤 양의 정수 m에 대해 x^2 - y^2 = m^2이다

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

두 자리 숫자에 이름을 붙이면 뒤집은 수가 식이 됩니다. 자리 바꿈을 대수로 바꾸면 깔끔한 인수분해가 드러나고, 이어서 배수 조건이 숫자를 단 하나로 좁혀 줍니다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

숫자에 이름 붙이기

십의 자리 숫자를 a, 일의 자리 숫자를 b라고 하자.
그러면 x = 10a + b이고, 뒤집으면 y = 10b + a이다.
x와 y가 모두 두 자리 수이므로 a와 b는 1부터 9까지의 숫자이다.

$$x = 10a + b, \quad y = 10b + a$$

💡 각 자리 숫자에 문자를 붙이면 자리 바꿈을 다루기 쉬워진다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.2 단계 2

제곱의 차 인수분해하기

x^2 - y^2를 (x - y)(x + y)로 계산한다.
차 x - y = 9a - 9b = 9(a - b)이고, 합 x + y = 11a + 11b = 11(a + b)이다.
곱하면 99(a - b)(a + b)가 된다.

$$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = 9(a-b)\cdot 11(a+b) = 99(a-b)(a+b)$$

💡 제곱의 차를 두 인수로 바꾸면 숨어 있던 9와 11이 드러난다.

#3 가능성 지우기 8.EE.A.2 단계 3

완전제곱수가 되게 만들기

99 = 3^2 * 11이므로 이 식은 3^2 * 11 * (a - b)(a + b)이다.
완전제곱수가 되려면 모든 소수가 짝수 번 나와야 하므로 11이 (a - b)(a + b)를 나누어야 한다.
차 a - b는 최대 8이라 11의 배수가 될 수 없으므로, 11은 합을 나누어야 한다.
즉 a + b = 11이다.

$$99(a-b)(a+b) = 3^2\cdot 11\cdot(a-b)(a+b) \implies a+b = 11$$

💡 완전제곱수는 각 소인수가 짝을 이뤄야 하므로 외톨이 11이 짝을 찾아야 한다.

#3 가능성 지우기 8.EE.C.8 단계 4

숫자 확정하기

a + b = 11이면 식은 3^2 * 11^2 * (a - b) = 1089(a - b)가 된다.
이것이 완전제곱수이려면 a - b 자체가 완전제곱수여야 한다.
a + b = 11이 홀수이므로 a - b도 홀수여야 하고, 따라서 a - b = 1 또는 a - b = 9만 남는다.
a + b = 11과 a - b = 9를 풀면 a = 10이 되어 한 자리 숫자가 아니므로, a - b = 1이다.
그러면 a = 6, b = 5이다.

$$1089(a-b)=m^2;\ a+b=11,\ a-b=1 \implies a=6,\ b=5$$

💡 1089에 완전제곱수를 곱해야 제곱수가 유지되고, 홀짝을 따지면 두 숫자의 차는 하나로 정해진다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 5

x, y, m 더하기

따라서 x = 65, y = 56이다.
그러면 m^2 = 1089(6 - 5) = 1089이고 m = 33이다.
합은 x + y + m = 65 + 56 + 33 = 154이다.
정답은 (E)이다.

$$x=65,\ y=56,\ m=\sqrt{1089}=33 \implies 65+56+33 = 154$$

💡 숫자가 정해지고 나면 세 수를 그대로 더해 합을 얻는다.

[1] #4 6.EE.B.6 십의 자리 숫자를 a, 일의 자리 숫자를 b라고 하자. 그러면 x = 10a + b이고, 뒤집으면 y = 10b + a이다. x와 y가 모두 두

[2] #13 7.EE.A.2 x^2 - y^2를 (x - y)(x + y)로 계산한다. 차 x - y = 9a - 9b = 9(a - b)이고, 합 x + y = 11a +

[3] #3 8.EE.A.2 99 = 3^2 * 11이므로 이 식은 3^2 * 11 * (a - b)(a + b)이다. 완전제곱수가 되려면 모든 소수가 짝수 번 나와야 하므

[4] #3 8.EE.C.8 a + b = 11이면 식은 3^2 * 11^2 * (a - b) = 1089(a - b)가 된다. 이것이 완전제곱수이려면 a - b 자체가 완

[5] #13 8.EE.A.2 따라서 x = 65, y = 56이다. 그러면 m^2 = 1089(6 - 5) = 1089이고 m = 33이다. 합은 x + y + m = 65

검토

합리성 확인: 직접 확인하자: 65^2 - 56^2 = 4225 - 3136 = 1089 = 33^2로 진짜 완전제곱수이므로 m = 33이 성립한다. 숫자 6과 5는 유효하고, 65 + 56 + 33 = 154는 보기 (E)와 일치한다.

대안 접근: 홀짝 논증 대신, 두 자리 숫자 중 각 자리의 합이 11인 수들(29, 38, 47, 56, 65, ...)을 훑으며 x^2 - y^2가 완전제곱수인지 확인해도 된다. 65와 56만이 완전제곱수(1089 = 33^2)를 주어 같은 합 154에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 식을 세워 문제 해결하기 (십의 자리와 일의 자리 숫자를 a, b로 이름 붙여 x = 10a + b, y = 10b + a로 쓰기.)
7.EE.A.2 식을 다른 형태로 바꿔 문제의 실마리 얻기 (x^2 - y^2를 99(a - b)(a + b)로 인수분해하여 9와 11을 드러내기.)
8.EE.A.2 제곱근과 세제곱근 기호로 해를 나타내기 (소인수의 지수를 짝수로 만들어 완전제곱수를 요구하고 m = sqrt(1089) = 33 구하기.)
8.EE.C.8 연립일차방정식 분석하고 풀기 (a + b = 11과 a - b = 1을 함께 풀어 a = 6, b = 5 얻기.)

⭐ 두 자리 수를 10a + b로 쓰면, 뒤집은 수의 제곱의 차는 언제나 99 곱하기 (a - b)(a + b)가 된다 -- 그러면 소수들이 어떤 숫자가 맞는지 알려 준다.