AMC 10 · 2005 · #3

학년 5 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

fraction-multiplicationfraction-arithmetic identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

페인트 한 갤런으로 방을 칠합니다. 첫째 날에는 페인트의 $\frac{1}{3}$ 을 씁니다. 둘째 날에는 남은 페인트의 $\frac{1}{3}$ 을 씁니다. 셋째 날에 쓸 수 있는 페인트는 처음 양의 몇 분의 몇입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{10}$

(B)

$\frac{1}{9}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{4}{9}$

(E)

$\frac{5}{9}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 페인트 한 갤런을 사흘에 걸쳐 다 씁니다. 첫째 날에는 페인트의 $\dfrac{1}{3}$ 을 쓰고, 둘째 날에는 남은 페인트의 $\dfrac{1}{3}$ 을 씁니다. 셋째 날에 쓸 수 있는 페인트가 원래 양의 몇 분의 몇인지 구하세요.

주어진 것: 처음 양은 $1$ 갤런 전체; 첫째 날에 페인트의 $\dfrac{1}{3}$ 을 씀; 둘째 날에는 첫째 날 뒤 남은 페인트의 $\dfrac{1}{3}$ 을 씀 (원래 양의 $\dfrac{1}{3}$ 이 아님); 선택지: (A) $\dfrac{1}{10}$, (B) $\dfrac{1}{9}$, (C) $\dfrac{1}{3}$, (D) $\dfrac{4}{9}$, (E) $\dfrac{5}{9}$

구하는 것: 셋째 날 시작 시점에 아직 쓸 수 있는 페인트가 원래 갤런의 몇 분의 몇인지

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #3 가능성 지우기

페인트가 하루에 한 번씩 바뀌므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 단계로 처리합니다: 첫째 날 뒤 남는 양을 구하고, 둘째 날이 없애는 양을 구합니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 쓴 양이 아니라 남은 양에 눈을 두게 합니다 — 이 문제의 함정이 바로 여기인데, 쓴 페인트의 합이 $\dfrac{5}{9}$ 로 선택지 (E)이기 때문입니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 흉내 함정을 지웁니다: $\dfrac{1}{3}$ 의 $\dfrac{1}{3}$ 을 잘못 취하면 $\dfrac{1}{9}$, 첫째 날에서 멈추면 $\dfrac{1}{3}$ 이 나옵니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 1

첫째 날 뒤 남은 페인트

$1$ 갤런 전체에서 시작합니다.
첫째 날에 그 $\dfrac{1}{3}$ 을 쓰므로 남는 페인트는 $1-\dfrac{1}{3}$ 입니다.
빼기 위해 $1$ 을 $\dfrac{3}{3}$ 으로 쓰면: $\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.
그래서 둘째 날이 시작될 때 $\dfrac{2}{3}$ 갤런이 남습니다.

$$1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$$

💡 세 개의 같은 부분 중 하나를 쓰면 나머지 둘이 남으니 $\dfrac{2}{3}$ 가 남습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 2

둘째 날에 쓴 페인트

둘째 날에는 남은 것의 $\dfrac{1}{3}$, 즉 $\dfrac{2}{3}$ 의 $\dfrac{1}{3}$ 을 씁니다 — 전체 갤런의 $\dfrac{1}{3}$ 이 아닙니다.
여기서 "의" 는 곱하기를 뜻합니다: $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1\times2}{3\times3}=\dfrac{2}{9}$.
그래서 둘째 날은 원래 갤런의 $\dfrac{2}{9}$ 를 없앱니다.

$$\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}$$

💡 어떤 분수의 "몇 분의 몇" 을 취하는 것은 두 분수를 곱하는 것입니다.

#16 관점 바꾸기 5.NF.A.1 단계 3

셋째 날에 쓸 수 있는 페인트

셋째 날에 쓸 수 있는 페인트는 둘째 날 시작 때 있던 양에서 둘째 날 쓴 양을 뺀 것입니다: $\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{9}$.
분모를 맞추려고 $\dfrac{2}{3}$ 을 $\dfrac{6}{9}$ 으로 쓰면: $\dfrac{6}{9}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{9}$.
이것이 선택지 (D)입니다.
쓴 페인트는 $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{3}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{5}{9}$ 로 함정 (E)인데, 문제는 남은 양(그 여집합)을 묻고 있으므로 $\dfrac{4}{9}$ 가 정답입니다.

$$\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{6}{9}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{9}\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 남은 양과 쓴 양을 더하면 갤런 전체가 되므로, 한쪽을 알면 다른 쪽이 따라옵니다.

[1] #7 5.NF.A.1 $1$ 갤런 전체에서 시작합니다. 첫째 날에 그 $\dfrac{1}{3}$ 을 쓰므로 남는 페인트는 $1-\dfrac{1}{3}$ 입니다. 빼기

[2] #7 5.NF.B.4 둘째 날에는 남은 것의 $\dfrac{1}{3}$, 즉 $\dfrac{2}{3}$ 의 $\dfrac{1}{3}$ 을 씁니다 — 전체 갤런의 $\

[3] #16 5.NF.A.1 셋째 날에 쓸 수 있는 페인트는 둘째 날 시작 때 있던 양에서 둘째 날 쓴 양을 뺀 것입니다: $\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{9}$

검토

합리성 확인: 여집합으로 확인합니다: 쓴 양 $=\dfrac{5}{9}$, 남은 양 $=\dfrac{4}{9}$ 이고 $\dfrac{5}{9}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{9}{9}=1$ 갤런 전체 — 두 부분이 정확히 한 갤런을 채우므로 나눔이 일관됩니다. 남은 $\dfrac{4}{9}\approx0.44$ 는 절반보다 조금 작은데, 이는 맞습니다: 삼분의 일을 쓰고 다시 나머지의 삼분의 일을 쓰면 갤런의 절반 넘게 사라지지만 많이 넘지는 않습니다. 선택지 (E) $\dfrac{5}{9}$ 는 쓴 양이고, (C) $\dfrac{1}{3}$ 은 첫째 날에서 멈춘 것, (B) $\dfrac{1}{9}$ 는 $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}$ 대신 $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}$ 을 곱해 나옵니다.

대안 접근: 남은 양을 곱셈의 연쇄로 추적합니다. $\dfrac{1}{3}$ 을 없애는 하루는 그 전에 있던 양의 $\dfrac{2}{3}$ 을 남깁니다. 첫째 날 뒤: $\dfrac{2}{3}$. 둘째 날 뒤: $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}$. 뺄셈 없이 곱셈 한 번으로 (D)에 도달합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 ($1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ 와 $\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{9}$ 을 공통분모로 고쳐 남은 양을 구하는 데 사용.)
5.NF.B.4 곱셈의 이해를 확장하여 분수에 분수를 곱한다 (남은 $\dfrac{2}{3}$ 의 $\dfrac{1}{3}$ 을 $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}$ 로 계산하는 데 사용.)

⭐ "남은 것의 삼분의 일" 은 전체가 아니라 남은 양에 곱하라는 뜻이고, 문제가 아직 남은 양을 묻고 있으니 쓴 것이 아니라 남는 것을 좇으세요.