AMC 10 · 2005 · #4

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

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📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

실수 a와 b에 대해 새로운 연산을 a ◆ b = √(a² + b²)로 정의합니다. 이 규칙을 사용하여 (5 ◆ 12) ◆ ((-12) ◆ (-5))의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac{17}{2}$

(C)

(D)

$13\sqrt{2}$

(E)

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이 식은 한 ◆ 안에 또 다른 ◆ 가 들어 있으므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 딱 맞습니다: 안쪽 ◆ 를 먼저 각각 계산한 뒤, 그 두 결과를 바깥 ◆ 에 넣습니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 내장된 함정을 잡아 줍니다 — ◆ 를 그냥 덧셈으로 읽으면 13+13=26 (E)이 되고, 마지막 합의 제곱근을 잊으면 13 (C)만 남으므로, 진짜 규칙을 알면 둘 다 피합니다.

1STEP 1

5 ♦ 12에 규칙 적용하기

√(a²+b²)에 a=5, b=12를 넣으면 25+144 = 169, 즉 5 ◆ 12 = 13입니다.

5 ◆ 12 = √(5²+12²) = √(25+144) = √(169) = 13

2STEP 2

(-12) ♦ (-5)에 규칙 적용하기

a=-12, b=-5도 같은 규칙: 제곱이 부호를 지워 144+25 = 169, 그래서 (-12) ◆ (-5) = 13입니다.

(-12) ◆ (-5) = √((-12)²+(-5)²) = √(144+25) = √(169) = 13

3STEP 3

두 결과를 바깥 ♦ 에 넣기

안쪽이 모두 13이므로 바깥은 13 ◆ 13 = √(169+169) = √(338)입니다.

13 ◆ 13 = √(13²+13²) = √(169+169) = √(338)

4STEP 4

제곱근 간단히 하기

338 = 169·2이고 169 = 13²은 완전제곱수이므로 √(338) = 13√(2), 즉 (D)입니다.

√(338) = √(169 · 2) = √(169) √(2) = 13√(2) → (D)

정답

13√(2)

안쪽 ◆는 각각 고전적인 5-12-13 직각삼각형 관계이므로 둘 다 13으로 깔끔하게 정리됩니다 — 정수라는 점이 설정이 맞다는 좋은 신호입니다. 바깥 ◆는 같은 13 두 개를 결합하며, 13√(2) ≈ 13(1.414) ≈ 18.4은 13과 26 사이에 합리적으로 놓입니다: 각 입력의 원래 값보다는 크지만 그냥 합보다는 작습니다. 선택지 0과 17/2은 너무 작고, 26은 ◆가 덧셈이어야 나오는데 그렇지 않습니다.

💡핵심 정리

겹쳐진 새 연산은 안쪽부터 계산하고, 제곱이 음의 부호를 없앤다는 것을 기억하세요 — 그래서 여기의 음수들은 아무것도 바꾸지 않았습니다.

5 ♦ 12에 규칙 적용하기
(-12) ♦ (-5)에 규칙 적용하기
두 결과를 바깥 ♦ 에 넣기
제곱근 간단히 하기

5 ♦ 12에 규칙 적용하기

(-12) ♦ (-5)에 규칙 적용하기

두 결과를 바깥 ♦ 에 넣기

제곱근 간단히 하기

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