AMC 10 · 2005 · #4
학년 8 arithmetic실수 a 와 b 에 대해 a⋄b=a2+b2 로 정의합니다. 다음 식의 값은 얼마입니까?
(5⋄12)⋄((−12)⋄(−5))?
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 실수 $a$ 와 $b$ 에 대해 새로운 연산을 $a \diamond b = \sqrt{a^2 + b^2}$ 로 정의합니다. 이 규칙을 사용하여 $(5 \diamond 12) \diamond ((-12) \diamond (-5))$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: 규칙 $a \diamond b = \sqrt{a^2 + b^2}$: 두 입력을 각각 제곱해서 더한 뒤 제곱근을 취함; 계산할 식은 $(5 \diamond 12) \diamond ((-12) \diamond (-5))$; 선택지: (A) $0$, (B) $\dfrac{17}{2}$, (C) $13$, (D) $13\sqrt{2}$, (E) $26$
구하는 것: $(5 \diamond 12) \diamond ((-12) \diamond (-5))$ 이 같아지는 하나의 수
이해
문제 재정리: 실수 $a$ 와 $b$ 에 대해 새로운 연산을 $a \diamond b = \sqrt{a^2 + b^2}$ 로 정의합니다. 이 규칙을 사용하여 $(5 \diamond 12) \diamond ((-12) \diamond (-5))$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: 규칙 $a \diamond b = \sqrt{a^2 + b^2}$: 두 입력을 각각 제곱해서 더한 뒤 제곱근을 취함; 계산할 식은 $(5 \diamond 12) \diamond ((-12) \diamond (-5))$; 선택지: (A) $0$, (B) $\dfrac{17}{2}$, (C) $13$, (D) $13\sqrt{2}$, (E) $26$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #3 가능성 지우기
이 식은 한 $\diamond$ 안에 또 다른 $\diamond$ 가 들어 있으므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 딱 맞습니다: 안쪽 $\diamond$ 를 먼저 각각 계산한 뒤, 그 두 결과를 바깥 $\diamond$ 에 넣습니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 내장된 함정을 잡아 줍니다 — $\diamond$ 를 그냥 덧셈으로 읽으면 $13+13=26$ (E)이 되고, 마지막 합의 제곱근을 잊으면 $13$ (C)만 남으므로, 진짜 규칙을 알면 둘 다 피합니다.
실행 — 정답: D
6.EE.A.2 단계 1 5 ♦ 12 에 규칙 적용하기
- 규칙 $\sqrt{a^2+b^2}$ 에 $a=5$, $b=12$ 를 넣습니다.
- 각각 제곱: $5^2=25$, $12^2=144$.
- 더하기: $25+144=169$.
- 그리고 제곱근: $\sqrt{169}=13$.
- 그래서 $5 \diamond 12 = 13$ 입니다.
💡 $\diamond$ 는 하나의 레시피일 뿐입니다: 두 수를 $\sqrt{a^2+b^2}$ 에 넣고 돌리면 됩니다.
7.NS.A.2 단계 2 (-12) ♦ (-5) 에 규칙 적용하기
- 이제 같은 규칙에 $a=-12$, $b=-5$ 를 넣습니다.
- 음수를 제곱하면 양수가 됩니다: $(-12)^2 = 144$, $(-5)^2 = 25$.
- 더하기: $144+25=169$ 로 앞과 같은 합입니다.
- 그래서 $(-12) \diamond (-5) = \sqrt{169} = 13$ — 음의 부호는 아무 차이도 만들지 않았습니다.
💡 제곱은 음의 부호를 지우므로, 음수들도 양수와 똑같은 $169$ 를 만듭니다.
6.EE.A.1 단계 3 두 결과를 바깥 ♦ 에 넣기
- 안쪽 $\diamond$ 두 개가 모두 $13$ 이므로 바깥 식은 $13 \diamond 13$ 입니다.
- 규칙을 한 번 더 적용: 각 $13$ 을 제곱하면 $169$, 더하면 $13^2+13^2 = 169+169 = 338$.
- 값은 $\sqrt{338}$ 인데 아직 가장 간단한 꼴은 아닙니다.
💡 두 입력이 같으면 근호 안의 합은 한 제곱의 두 배일 뿐입니다: $169+169$.
8.EE.A.2 단계 4 제곱근 간단히 하기
- $338 = 169 \cdot 2$ 로 인수분해하면 $169=13^2$ 은 완전제곱수입니다.
- 근호 밖으로 꺼냅니다: $\sqrt{169\cdot 2} = \sqrt{169}\cdot\sqrt{2} = 13\sqrt{2}$.
- 이것이 선택지 (D)입니다.
- 함정 $26$ (E)은 $\diamond$ 를 보통의 덧셈처럼 $13+13$ 으로 더해서 나오고, 벌거벗은 $13$ (C)은 마지막 제곱근을 건너뛰어 나옵니다 — 둘 다 지워집니다.
💡 완전제곱수 $169$ 을 근호 밖으로 꺼내면 무리수 $\sqrt{2}$ 만 남습니다.
6.EE.A.2 규칙 $\sqrt{a^2+b^2}$ 에 $a=5$, $b=12$ 를 넣습니다. 각각 제곱: $5^2=25$, $12^2=144$. 더하기: $2 7.NS.A.2 이제 같은 규칙에 $a=-12$, $b=-5$ 를 넣습니다. 음수를 제곱하면 양수가 됩니다: $(-12)^2 = 144$, $(-5)^2 = 2 6.EE.A.1 안쪽 $\diamond$ 두 개가 모두 $13$ 이므로 바깥 식은 $13 \diamond 13$ 입니다. 규칙을 한 번 더 적용: 각 $13$ 8.EE.A.2 $338 = 169 \cdot 2$ 로 인수분해하면 $169=13^2$ 은 완전제곱수입니다. 근호 밖으로 꺼냅니다: $\sqrt{169\cdot 검토
합리성 확인: 안쪽 $\diamond$ 는 각각 고전적인 $5\text{-}12\text{-}13$ 직각삼각형 관계이므로 둘 다 $13$ 으로 깔끔하게 정리됩니다 — 정수라는 점이 설정이 맞다는 좋은 신호입니다. 바깥 $\diamond$ 는 같은 $13$ 두 개를 결합하며, $13\sqrt{2} \approx 13(1.414) \approx 18.4$ 은 $13$ 과 $26$ 사이에 합리적으로 놓입니다: 각 입력의 원래 값보다는 크지만 그냥 합보다는 작습니다. 선택지 $0$ 과 $\tfrac{17}{2}$ 은 너무 작고, $26$ 은 $\diamond$ 가 덧셈이어야 나오는데 그렇지 않습니다.
대안 접근: 임의의 양수 $x$ 에 대해 일반 성질 $x \diamond x = \sqrt{x^2+x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$ 를 사용합니다. 안쪽 $\diamond$ 둘이 모두 $13$ 임을 알면, 바깥 $\diamond$ 는 $13 \diamond 13 = 13\sqrt{2}$ 로 한 단계에 끝나며 $338$ 을 직접 계산할 필요가 없습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산한다 (정의된 규칙 $\sqrt{a^2+b^2}$ 의 $a$, $b$ 에 주어진 수를 대입하여 각 $\diamond$ 를 계산하는 데 사용.)7.NS.A.2유리수의 곱셈과 나눗셈에 대한 이해를 적용하고 확장한다 (음수 $(-12)^2$ 과 $(-5)^2$ 을 제곱하면 양수 $144$ 와 $25$ 가 됨을 인식하는 데 사용.)6.EE.A.1자연수 지수를 포함한 수식을 쓰고 계산한다 (제곱 $5^2,\,12^2,\,13^2$ 을 계산하고 근호 안에서 더하는 데 사용.)8.EE.A.2제곱근과 세제곱근 기호를 사용하여 해를 나타낸다 ($\sqrt{169}=13$ 을 계산하고 완전제곱수를 꺼내어 $\sqrt{338}=13\sqrt{2}$ 로 간단히 하는 데 사용.)
⭐ 겹쳐진 새 연산은 안쪽부터 계산하고, 제곱이 음의 부호를 없앤다는 것을 기억하세요 — 그래서 여기의 음수들은 아무것도 바꾸지 않았습니다.
⭐ 겹쳐진 새 연산은 안쪽부터 계산하고, 제곱이 음의 부호를 없앤다는 것을 기억하세요 — 그래서 여기의 음수들은 아무것도 바꾸지 않았습니다.
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