AMC 10 · 2005 · #5

학년 4 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

fraction-multiplicationratio-proportion ratio-proportioncomplementary-counting ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

Brianna는 주말 아르바이트로 번 돈의 일부로 값이 모두 같은 CD 여러 장을 삽니다. 그녀는 가진 돈의 $\frac15$ 로 CD 전체의 $\frac13$ 을 샀습니다. CD를 모두 사고 나면 남는 돈은 그녀가 가진 돈의 몇 분의 몇입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac15$

(B)

$\frac13$

(C)

$\frac25$

(D)

$\frac23$

(E)

$\frac45$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 브리아나는 값이 모두 같은 CD 여러 장을 사는 데 돈을 씁니다. 가진 돈의 5분의 1을 쓰면 CD 전체의 3분의 1을 살 수 있습니다. 모든 CD를 다 샀을 때 남는 돈은 전체의 몇 분의 몇인지 구하세요.

주어진 것: CD는 모두 한 장당 값이 같다; 가진 돈의 5분의 1로 CD 전체의 3분의 1을 산다; 그녀는 CD를 전부 살 계획이다; 선택지: (A) $\frac15$, (B) $\frac13$, (C) $\frac25$, (D) $\frac23$, (E) $\frac45$

구하는 것: 모든 CD를 다 산 뒤 남는 돈이 전체의 몇 분의 몇인가

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #16 관점 바꾸기

CD 한 장당 값이 같으므로 쓰는 돈은 산 CD 개수와 일대일로 따라 움직입니다. 이는 비율이므로, 도구 #8(단위 살펴보기)로 실제 금액을 구하지 않고도 '5분의 1로 3분의 1을 산다'는 조건을 전체로 확대할 수 있습니다. 그런데 문제는 쓴 돈이 아니라 *남는* 돈을 묻습니다. 그래서 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)으로 마무리합니다. 즉 전체에서 쓴 부분을 뺍니다. 비례 관계와 여집합으로의 전환이 문제의 전부이며, 방정식을 풀 필요가 전혀 없습니다.

실행 — 정답: C

#8 단위 살펴보기 4.OA.A.2 단계 1

CD 개수에 따라 비용이 늘어난다

CD는 한 장당 값이 같으므로, CD가 2배면 돈도 2배, 3배면 돈도 3배 듭니다.
CD 전체는 'CD의 3분의 1' 묶음 3개와 같으므로, 그 묶음 하나에 든 돈의 3배가 듭니다.

$$\text{CD 전체} = 3 \times \left(\tfrac13 \text{ 묶음}\right)$$

💡 한 장당 값이 같으면, 쓰는 돈은 산 CD 개수를 그대로 따라간다.

#8 단위 살펴보기 4.NF.B.4 단계 2

쓴 돈을 3/5로 확대하기

3분의 1 묶음은 가진 돈의 5분의 1이 들었습니다.
CD 전체는 이런 묶음 3개이므로 5분의 1의 $3$배가 듭니다.
분수에 $3$을 곱하면 $3 \times \tfrac15 = \tfrac35$.
즉 CD를 전부 사면 돈의 5분의 3을 씁니다.

$$3 \times \tfrac15 = \tfrac35 \text{ (쓴 돈)}$$

💡 각각 5분의 1인 묶음 3개는 합쳐서 5분의 3이 된다.

#16 관점 바꾸기 4.NF.B.3 단계 3

여집합으로 남는 돈 구하기

가진 돈 전부는 전체 $1 = \tfrac55$입니다.
그중 $\tfrac35$을 쓰므로 남는 것은 전체에서 쓴 부분을 뺀 값입니다.
분모가 같은 5분의 몇이므로 분자만 빼면 됩니다: $\tfrac55 - \tfrac35 = \tfrac25$.
남는 돈은 5분의 2이고, 이는 선택지 (C)입니다.

$$1 - \tfrac35 = \tfrac55 - \tfrac35 = \tfrac25 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 남는 돈은 가진 돈 전부에서 쓴 만큼을 뺀 것일 뿐이다.

[1] #8 4.OA.A.2 CD는 한 장당 값이 같으므로, CD가 2배면 돈도 2배, 3배면 돈도 3배 듭니다. CD 전체는 'CD의 3분의 1' 묶음 3개와 같으므로,

[2] #8 4.NF.B.4 3분의 1 묶음은 가진 돈의 5분의 1이 들었습니다. CD 전체는 이런 묶음 3개이므로 5분의 1의 $3$배가 듭니다. 분수에 $3$을 곱하면

[3] #16 4.NF.B.3 가진 돈 전부는 전체 $1 = \tfrac55$입니다. 그중 $\tfrac35$을 쓰므로 남는 것은 전체에서 쓴 부분을 뺀 값입니다. 분모가 같

검토

합리성 확인: CD의 3분의 1 묶음이 돈의 5분의 1을 쓰므로, 묶음 3개면 절반보다 조금 넘는 5분의 3($0.6$)을 씁니다. 이는 '절반 넘게 쓰지만 전부는 아닌' 자연스러운 값입니다. 그러면 5분의 2($0.4$)가 남는데, 절반보다 적으니 여유 있게 전체를 살 수 있다는 뜻과 맞습니다. 함정 답 $\tfrac15$은 묶음 하나의 값이고, $\tfrac35$은 쓴 돈이지 남는 돈이 아닙니다. 둘 다 올바른 풀이 과정의 조각일 뿐 최종 답이 아닙니다.

대안 접근: 편리한 금액을 잡아 봅니다. 예를 들어 $\$15$($5$의 배수)로 두면, 5분의 1은 $\$3$이고 이것으로 CD의 3분의 1을 삽니다. 그러면 CD 전체 값은 $3 \times \$3 = \$9$. 남는 돈은 $\$15 - \$9 = \$6$이고 $\tfrac{6}{15} = \tfrac25$로 똑같이 (C)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.2 Multiply or divide to solve word problems involving multiplicative comparison (CD 전체가 3분의 1 묶음의 3배이므로 돈도 3배 든다는 것을 파악하는 데 사용.)
4.NF.B.4 Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a whole number ($3 \times \tfrac15 = \tfrac35$, 즉 CD 전체에 쓰는 돈의 비율을 계산하는 데 사용.)
4.NF.B.3 Understand a fraction with numerator greater than one as sum of unit fractions (분모가 같은 분수 $\tfrac55 - \tfrac35 = \tfrac25$을 빼서 남는 돈을 구하는 데 사용.)

⭐ 물건 값이 모두 같으면 쓰는 돈은 산 개수를 그대로 따라간다. 그러니 비용을 배로 키운 뒤 전체에서 빼면 남는 양이 보인다.