AMC 10 · 2005 · #7

학년 8 geometry-2d
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps
area-circlesarea-rectanglesratio-proportionpythagorean-theorem ratio-proportionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesarea-rectanglespythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
정사각형에서 시작합니다. 그 안에 원을 내접시키고, 그 원 안에 정사각형을 내접시키고, 다시 그 정사각형 안에 원을 내접시킵니다. 마지막 원이 가장 작은 원이고 처음 정사각형이 가장 큰 정사각형입니다. 가장 작은 원의 넓이와 가장 큰 정사각형의 넓이의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{\pi}{16}$
(B)
$\frac{\pi}{8}$
(C)
$\frac{3\pi}{16}$
(D)
$\frac{\pi}{4}$
(E)
$\frac{\pi}{2}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

도형이 도형 안에 겹겹이 든 구조이므로 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스러운 출발점입니다. 그림을 그리면 각 원이 정사각형의 어디에 닿는지, 각 정사각형의 꼭짓점이 어디에 놓이는지 한눈에 보입니다. 실제 크기가 주어지지 않았으므로 가장 큰 정사각형의 변을 편리한 수로 정하고 도형이 안쪽으로 이어지게 합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이 겹을 한 층씩 벗겨 내며 각 도형에서 하나의 길이를 다음 도형으로 넘깁니다. 마지막에는 도구 #3(가능성 지우기)으로 계산한 비를 다섯 선택지 중 하나에 맞춥니다.

1STEP 1

바깥 정사각형과 그 원의 크기 정하기

가장 큰 정사각형의 한 변을 2라 하면 넓이는 4, 내접원은 한 변만큼 가로지르므로 지름 2, 반지름 1입니다.

가장 큰 정사각형 넓이 = 2² = 4, 안쪽 원 지름 = 2, 반지름 = 1
2STEP 2

원의 지름(대각선)에서 중간 정사각형 구하기

네 꼭짓점이 원 위에 있어 대각선이 지름 2와 같고, x² + x² = 2²에서 x² = 2, 한 변은 √2입니다.

x² + x² = 2² → 2x² = 4 → x² = 2 → x = √(2)
3STEP 3

가장 작은 원과 그 넓이

가장 작은 원은 이 정사각형에 내접하므로 반지름이 √2/2, 넓이는 π(√2/2)² = π/2입니다.

반지름 = √(2)/2, 넓이 = π(√(2)/2)² = π·2/4 = π/2
4STEP 4

비를 만들어 선택지 맞추기

두 넓이를 나누면 (π/2)/4 = π/8이므로 선택지 (B)와 일치합니다.

(가장 작은 원)/(가장 큰 정사각형) = (π/2)/4 = π/8 → (B)
정답
π/8
가장 작은 원은 가장 큰 정사각형 안쪽 깊숙이 들어 있으므로 절반보다 훨씬 적게 덮어야 합니다. 실제로 π/8 ≈ 0.39로 절반보다 넉넉히 작아 그림과 맞습니다. 변을 2로 잡은 것은 편의를 위한 것일 뿐입니다. 일반적인 변 s로 두면 가장 큰 정사각형 넓이는 s², 가장 작은 원 넓이는 (π s²)/8이 되어 s²이 약분되고, 처음 크기와 무관하게 비는 π/8입니다. 함정 답 π/16은 도형을 한 층 더 안으로 들어간 경우이고, π/4는 한 층 일찍 멈춘 경우입니다.
💡핵심 정리

각 도형에서 길이 하나씩을 다음 도형으로 넘겨라: 내접하는 원의 지름은 그 정사각형의 변과 같고, 내접하는 정사각형의 대각선은 그 원의 지름과 같다. 이것을 이어 가면 크기가 저절로 나온다.

  • 바깥 정사각형과 그 원의 크기 정하기
  • 원의 지름(대각선)에서 중간 정사각형 구하기
  • 가장 작은 원과 그 넓이
  • 비를 만들어 선택지 맞추기

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