AMC 10 · 2005 · #7

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

area-circlesarea-rectanglesratio-proportionpythagorean-theorem ratio-proportionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesarea-rectanglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

정사각형에 원이 내접하고, 그 원에 정사각형이 내접하며, 마지막으로 그 정사각형에 다시 원이 내접합니다. 가장 작은 원의 넓이와 가장 큰 정사각형의 넓이의 비는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\pi}{16}$

(B)

$\frac{\pi}{8}$

(C)

$\frac{3\pi}{16}$

(D)

$\frac{\pi}{4}$

(E)

$\frac{\pi}{2}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형에서 시작합니다. 그 안에 원을 내접시키고, 그 원 안에 정사각형을 내접시키고, 다시 그 정사각형 안에 원을 내접시킵니다. 마지막 원이 가장 작은 원이고 처음 정사각형이 가장 큰 정사각형입니다. 가장 작은 원의 넓이와 가장 큰 정사각형의 넓이의 비를 구하세요.

주어진 것: 원이 정사각형에 내접한다(원이 네 변에 모두 닿는다); 정사각형이 그 원에 내접한다(네 꼭짓점이 원 위에 있다); 다시 원이 그 안쪽 정사각형에 내접한다(네 변에 모두 닿는다); 선택지: (A) $\frac{\pi}{16}$, (B) $\frac{\pi}{8}$, (C) $\frac{3\pi}{16}$, (D) $\frac{\pi}{4}$, (E) $\frac{\pi}{2}$

구하는 것: (가장 작은 원의 넓이) : (가장 큰 정사각형의 넓이)의 비

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도형이 도형 안에 겹겹이 든 구조이므로 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스러운 출발점입니다. 그림을 그리면 각 원이 정사각형의 어디에 닿는지, 각 정사각형의 꼭짓점이 어디에 놓이는지 한눈에 보입니다. 실제 크기가 주어지지 않았으므로 가장 큰 정사각형의 변을 편리한 수로 정하고 도형이 안쪽으로 이어지게 합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이 겹을 한 층씩 벗겨 내며 각 도형에서 하나의 길이를 다음 도형으로 넘깁니다. 마지막에는 도구 #3(가능성 지우기)으로 계산한 비를 다섯 선택지 중 하나에 맞춥니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

바깥 정사각형과 그 원의 크기 정하기

가장 큰 정사각형의 한 변을 $2$라 하면 넓이는 $2 \times 2 = 4$입니다.
내접하는 원은 각 변의 한가운데에 닿으며 안에 꼭 맞으므로, 정사각형의 한 변만큼을 정확히 가로지릅니다.
따라서 지름은 $2$, 반지름은 $1$입니다.

$$\text{가장 큰 정사각형 넓이} = 2^2 = 4,\quad \text{안쪽 원 지름} = 2,\ \text{반지름} = 1$$

💡 내접하는 원은 각 변에 한 번씩 닿으므로 정사각형의 폭, 즉 한 변만큼을 정확히 가로지른다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

원의 지름(대각선)에서 중간 정사각형 구하기

중간 정사각형은 네 꼭짓점이 그 원 위에 있으므로, 그것을 가로지르는 가장 긴 선인 대각선이 원의 지름 $2$와 같습니다.
정사각형의 대각선은 그것을 두 개의 직각삼각형으로 나누므로, 변을 $x$라 하면 피타고라스 정리에 따라 $x^2 + x^2 = 2^2$, 즉 $2x^2 = 4$이고 $x^2 = 2$, $x = \sqrt{2}$입니다.

$$x^2 + x^2 = 2^2 \;\Rightarrow\; 2x^2 = 4 \;\Rightarrow\; x^2 = 2 \;\Rightarrow\; x = \sqrt{2}$$

💡 대각선은 정사각형을 두 직각삼각형으로 나누므로, 대각선과 변은 피타고라스 정리로 이어진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

가장 작은 원과 그 넓이

가장 작은 원은 중간 정사각형에 내접하므로, 앞서와 똑같이 그 지름이 정사각형의 한 변 $\sqrt{2}$와 같습니다.
따라서 반지름은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$입니다.
원의 넓이 공식을 쓰면 넓이는 $\pi r^2 = \pi\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi}{2}$입니다.

$$\text{반지름} = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \text{넓이} = \pi\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi\cdot\frac{2}{4} = \frac{\pi}{2}$$

💡 같은 내접 원 규칙이 다시 적용된다: 지름은 안에 꼭 맞는 변과 같고, 그다음 넓이는 $\pi r^2$이다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 4

비를 만들어 선택지 맞추기

가장 작은 원의 넓이는 $\frac{\pi}{2}$이고 가장 큰 정사각형의 넓이는 $4$입니다.
비는 $\frac{\pi/2}{4} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{8}$입니다.
이는 선택지 (B)와 일치합니다.

$$\dfrac{\text{가장 작은 원}}{\text{가장 큰 정사각형}} = \dfrac{\pi/2}{4} = \dfrac{\pi}{8} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 두 넓이의 비는 그저 한 넓이를 다른 넓이로 나눈 것이다.

[1] #1 7.G.B.4 가장 큰 정사각형의 한 변을 $2$라 하면 넓이는 $2 \times 2 = 4$입니다. 내접하는 원은 각 변의 한가운데에 닿으며 안에 꼭 맞으므

[2] #7 8.G.B.7 중간 정사각형은 네 꼭짓점이 그 원 위에 있으므로, 그것을 가로지르는 가장 긴 선인 대각선이 원의 지름 $2$와 같습니다. 정사각형의 대각선은

[3] #7 7.G.B.4 가장 작은 원은 중간 정사각형에 내접하므로, 앞서와 똑같이 그 지름이 정사각형의 한 변 $\sqrt{2}$와 같습니다. 따라서 반지름은 $\fr

[4] #3 6.RP.A.3 가장 작은 원의 넓이는 $\frac{\pi}{2}$이고 가장 큰 정사각형의 넓이는 $4$입니다. 비는 $\frac{\pi/2}{4} = \fra

검토

합리성 확인: 가장 작은 원은 가장 큰 정사각형 안쪽 깊숙이 들어 있으므로 절반보다 훨씬 적게 덮어야 합니다. 실제로 $\frac{\pi}{8} \approx 0.39$로 절반보다 넉넉히 작아 그림과 맞습니다. 변을 $2$로 잡은 것은 편의를 위한 것일 뿐입니다. 일반적인 변 $s$로 두면 가장 큰 정사각형 넓이는 $s^2$, 가장 작은 원 넓이는 $\frac{\pi s^2}{8}$이 되어 $s^2$이 약분되고, 처음 크기와 무관하게 비는 $\frac{\pi}{8}$입니다. 함정 답 $\frac{\pi}{16}$은 도형을 한 층 더 안으로 들어간 경우이고, $\frac{\pi}{4}$는 한 층 일찍 멈춘 경우입니다.

대안 접근: 넓이만으로 두 지름길을 씁니다. 첫째, 넓이가 $A$인 정사각형에 내접하는 원의 넓이는 $\frac{\pi}{4}A$입니다(반지름이 변의 절반이므로). 둘째, 그 원에 내접하는 정사각형의 넓이는 정확히 $\frac{A}{2}$입니다(변 $s$인 정사각형이 변 $\frac{s}{\sqrt{2}}$인 정사각형이 됩니다). 가장 큰 정사각형의 넓이 $4$에서 시작하면, 두 층 안쪽인 중간 정사각형은 넓이가 그 절반인 $2$입니다. 가장 작은 원은 그 중간 정사각형에 내접하므로 넓이는 $\frac{\pi}{4}\cdot 2 = \frac{\pi}{2}$입니다. 가장 큰 정사각형에 대한 비는 $\frac{\pi/2}{4} = \frac{\pi}{8}$로 역시 (B)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle (내접하는 원의 지름(정사각형의 변과 같음)을 반지름으로, 다시 $\pi r^2$로 원의 넓이를 구하는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (중간 정사각형의 변을 대각선(원의 지름)으로부터 $x^2 + x^2 = \text{대각선}^2$로 구하는 데 사용.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (가장 작은 원의 넓이와 가장 큰 정사각형의 넓이의 비를 만들고 간단히 하는 데 사용.)

⭐ 각 도형에서 길이 하나씩을 다음 도형으로 넘겨라: 내접하는 원의 지름은 그 정사각형의 변과 같고, 내접하는 정사각형의 대각선은 그 원의 지름과 같다. 이것을 이어 가면 크기가 저절로 나온다.