AMC 10 · 2005 · #9

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split

probability-basicparity caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicparity

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 공정한 주사위의 면은 $1, 1, 2, 2, 3, 3$ 이고, 다른 주사위의 면은 $4, 4, 5, 5, 6, 6$ 입니다. 두 주사위를 굴려 윗면에 나온 두 수를 더합니다. 그 합이 홀수일 확률은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{3}$

(B)

$\frac{4}{9}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{5}{9}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 주사위 A의 면은 $1,1,2,2,3,3$이고 주사위 B의 면은 $4,4,5,5,6,6$이다. 두 주사위를 굴려 윗면의 두 수를 더한다. 이 합이 홀수일 확률을 구하여라.

주어진 것: 주사위 A는 $1,1,2,2,3,3$을 보인다 ($1,2,3$이 각각 두 번씩); 주사위 B는 $4,4,5,5,6,6$을 보인다 ($4,5,6$이 각각 두 번씩); 두 주사위 모두 공정하므로 여섯 면이 모두 나올 가능성이 같다; 점수는 두 윗면의 합이다; 선택지: (A) $\frac{1}{3}$, (B) $\frac{4}{9}$, (C) $\frac{1}{2}$, (D) $\frac{5}{9}$, (E) $\frac{2}{3}$

구하는 것: 두 윗면의 합이 홀수일 확률

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

합이 홀수가 되는 것은 한 수가 홀수이고 다른 수가 짝수일 때뿐이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사건을 겹치지 않는 두 경우, 즉 (A 홀, B 짝)과 (A 짝, B 홀)로 나눈다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 각 경우에 필요한 세기를 해 준다 — 각 주사위의 여섯 면 중 홀수와 짝수가 몇 개인지 세어 한 주사위의 확률을 구한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 점검 장치다: 주사위 A는 홀수가 더 자주 나오고 주사위 B는 짝수가 더 자주 나오므로 합이 홀수일 확률은 $\frac{1}{2}$보다 조금 크고, 이는 이미 (A), (B), (C)를 벗어남을 가리킨다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 1

홀수 면과 짝수 면 세기

각 주사위의 여섯 면을 홀짝으로 분류한다.
주사위 A의 면 $1,1,3,3$은 홀수이고 $2,2$는 짝수이므로 여섯 면 중 $4$개가 홀수다.
주사위 B의 면 $5,5$는 홀수이고 $4,4,6,6$은 짝수이므로 홀수는 여섯 면 중 $2$개뿐이다.
각 개수를 나올 가능성이 같은 $6$개 면에 대한 확률로 바꾼다.

$$P(A\text{ 홀})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\; P(A\text{ 짝})=\frac{1}{3};\quad P(B\text{ 홀})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\; P(B\text{ 짝})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

💡 면이 모두 똑같이 나올 때 확률은 유리한 면 수를 전체 여섯 면으로 나눈 값일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

홀수 합을 경우로 나누기

합이 홀수가 되는 것은 두 수의 홀짝이 다를 때뿐이다: 홀 $+$ 짝 $=$ 홀, 짝 $+$ 홀 $=$ 홀인 반면 홀 $+$ 홀과 짝 $+$ 짝은 모두 짝수다.
따라서 합이 홀수인 상황은 정확히 두 가지 — 주사위 A가 홀수이고 B가 짝수이거나, A가 짝수이고 B가 홀수인 경우다.
이 두 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 나중에 확률을 더할 수 있다.

$$\text{합 홀수} \iff (A\text{ 홀},\,B\text{ 짝})\ \text{또는}\ (A\text{ 짝},\,B\text{ 홀})$$

💡 홀수와 짝수를 더하면 홀수이므로 두 굴림 중 정확히 하나만 홀수여야 한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 3

각 경우의 확률 구하기

두 굴림은 독립이므로 한 경우 안에서는 각 주사위의 확률이 곱해진다.
경우 1 (A 홀, B 짝)은 $\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$이다.
경우 2 (A 짝, B 홀)은 $\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$이다.

$$P(\text{경우 1})=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9},\qquad P(\text{경우 2})=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$$

💡 독립인 사건들이 함께 일어나는 것은 그 확률들을 곱하는 것을 뜻한다.

#3 가능성 지우기 4.NF.B.3 단계 4

두 경우 더하기

두 경우는 서로 배타적이므로 확률을 더해 합이 홀수일 전체 확률을 얻는다.
분모가 이미 같으므로 분자를 더한다: $4+1=5$, 분모는 $9$.
따라서 $\frac{5}{9}$이고, 이는 선택지 (D)다.

$$P(\text{합 홀수})=\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}\quad\Rightarrow\quad\textbf{(D)}$$

💡 겹치지 않는 별개의 경우들에서는 확률이 그냥 더해진다.

[1] #2 7.SP.C.7 각 주사위의 여섯 면을 홀짝으로 분류한다. 주사위 A의 면 $1,1,3,3$은 홀수이고 $2,2$는 짝수이므로 여섯 면 중 $4$개가 홀수다.

[2] #7 7.SP.C.8 합이 홀수가 되는 것은 두 수의 홀짝이 다를 때뿐이다: 홀 $+$ 짝 $=$ 홀, 짝 $+$ 홀 $=$ 홀인 반면 홀 $+$ 홀과 짝 $+$ 짝

[3] #7 5.NF.B.4 두 굴림은 독립이므로 한 경우 안에서는 각 주사위의 확률이 곱해진다. 경우 1 (A 홀, B 짝)은 $\frac{2}{3}\times\frac{

[4] #3 4.NF.B.3 두 경우는 서로 배타적이므로 확률을 더해 합이 홀수일 전체 확률을 얻는다. 분모가 이미 같으므로 분자를 더한다: $4+1=5$, 분모는 $9$.

검토

합리성 확인: 결과 $\frac{5}{9}$는 $0$과 $1$ 사이의 올바른 확률이고 $\frac{1}{2}$보다 조금 크다 — 주사위 A는 홀수 쪽으로, 주사위 B는 짝수 쪽으로 치우쳐 있어 홀짝이 어긋나는(합이 홀수) 짝짓기가 약간 유리하므로 합리적이다. 완전한 점검도 이를 확인해 준다: 합이 짝수가 되려면 둘 다 홀수($\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$)이거나 둘 다 짝수($\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$)여서 합계 $\frac{4}{9}$이고, $\frac{5}{9}+\frac{4}{9}=1$로 반드시 맞아떨어진다. 선택지 (C) $\frac{1}{2}$는 홀수 합과 짝수 합이 똑같이 나온다고 가정하는 사람을 위한 함정이다; 여기서는 치우친 홀짝이 그 대칭을 깬다.

대안 접근: 격자로 결과를 직접 센다(도구 #2). $6\times6=36$개의 똑같이 나오는 면 쌍을 사용한다. 홀수 합: 홀수인 A 면 $4$개 $\times$ 짝수인 B 면 $4$개 $=16$개, 더하기 짝수인 A 면 $2$개 $\times$ 홀수인 B 면 $2$개 $=4$개로, $36$개 중 $20$개 $=\frac{5}{9}$, 똑같이 (D)가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (각 주사위의 홀수/짝수 면 개수를 똑같이 나오는 여섯 결과에 대한 한 주사위 확률로 바꾸는 데 사용.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (홀수 합을 복합 사건으로 인식하고 겹치지 않는 두 홀짝 경우로 나누는 데 사용.)
5.NF.B.4 Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a fraction (각 경우 안에서 독립인 한 주사위 확률들을 곱하는 데 사용, 예: $\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$.)
4.NF.B.3 Understand a fraction with numerator greater than one as sum of unit fractions (서로 배타적인 두 경우의 확률 $\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}$를 더하는 데 사용.)

⭐ 합은 정확히 한 주사위만 홀수일 때만 홀수가 되므로, 각 경우의 홀짝 확률을 곱한 뒤 더한다: $\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}$.