AMC 10 · 2005 · #9

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split

probability-basicparity caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicparity

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

공정한 주사위 A의 면은 1,1,2,2,3,3이고, 공정한 주사위 B의 면은 4,4,5,5,6,6입니다. 두 주사위를 굴려 윗면의 두 수를 더합니다. 이 합이 홀수일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{3}$

(B)

$\frac{4}{9}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{5}{9}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

합이 홀수가 되는 것은 한 수가 홀수이고 다른 수가 짝수일 때뿐이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사건을 겹치지 않는 두 경우, 즉 (A 홀, B 짝)과 (A 짝, B 홀)로 나눈다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 각 경우에 필요한 세기를 해 준다 — 각 주사위의 여섯 면 중 홀수와 짝수가 몇 개인지 세어 한 주사위의 확률을 구한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 점검 장치다: 주사위 A는 홀수가 더 자주 나오고 주사위 B는 짝수가 더 자주 나오므로 합이 홀수일 확률은 1/2보다 조금 크고, 이는 이미 (A), (B), (C)를 벗어남을 가리킨다.

1STEP 1

홀수 면과 짝수 면 세기

면을 홀짝으로 나누면 A는 여섯 면 중 4개가 홀수, B는 2개뿐입니다.

P(A 홀)=4/6=2/3, P(A 짝)=1/3; P(B 홀)=2/6=1/3, P(B 짝)=4/6=2/3

2STEP 2

홀수 합을 경우로 나누기

홀짝이 다를 때만 합이 홀수이므로, 경우는 (A 홀, B 짝)과 (A 짝, B 홀) 둘뿐입니다.

합 홀수 ⇔ (A 홀, B 짝) 또는 (A 짝, B 홀)

3STEP 3

각 경우의 확률 구하기

굴림이 독립이므로 곱합니다: (A 홀, B 짝)은 2/3×2/3=4/9, (A 짝, B 홀)은 1/3×1/3=1/9.

P(경우 1)=2/3·2/3=4/9, P(경우 2)=1/3·1/3=1/9

4STEP 4

두 경우 더하기

두 경우는 겹치지 않고 분모도 같으므로 그냥 더합니다: 4/9+1/9=5/9, 곧 선택지 (D)입니다.

P(합 홀수)=4/9+1/9=5/9 → (D)

정답

5/9

결과 5/9는 0과 1 사이의 올바른 확률이고 1/2보다 조금 크다 — 주사위 A는 홀수 쪽으로, 주사위 B는 짝수 쪽으로 치우쳐 있어 홀짝이 어긋나는(합이 홀수) 짝짓기가 약간 유리하므로 합리적이다. 완전한 점검도 이를 확인해 준다: 합이 짝수가 되려면 둘 다 홀수(2/3·1/3=2/9)이거나 둘 다 짝수(1/3·2/3=2/9)여서 합계 4/9이고, 5/9+4/9=1로 반드시 맞아떨어진다. 선택지 (C) 1/2는 홀수 합과 짝수 합이 똑같이 나온다고 가정하는 사람을 위한 함정이다; 여기서는 치우친 홀짝이 그 대칭을 깬다.

💡핵심 정리

합은 정확히 한 주사위만 홀수일 때만 홀수가 되므로, 각 경우의 홀짝 확률을 곱한 뒤 더한다: 4/9+1/9=5/9.

홀수 면과 짝수 면 세기
홀수 합을 경우로 나누기
각 경우의 확률 구하기
두 경우 더하기

홀수 면과 짝수 면 세기

홀수 합을 경우로 나누기

각 경우의 확률 구하기

두 경우 더하기

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