AMC 10 · 2006 · #10

학년 8 algebracounting
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
perfect-squaressystematic-enumerationinterval-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: perfect-squares
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
식 √(120 - √(x))는 제곱근 안에 또 제곱근이 들어 있는 형태이고, 여기서 x는 실수이며 제곱근은 모두 음이 아닌 주제곱근을 뜻한다. √(120 - √(x)) 전체가 정수가 되게 하는 실수 x는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
3
(B)
6
(C)
9
(D)
10
(E)
11

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

'정수이다'라는 말은 이름 없는 수를 숨기고 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)는 그 정수를 n 이라 부르고 √(120 - √(x)) = n 이라 쓰라고 말한다. 그다음 도구 #11(거꾸로 풀기)로 바깥부터 안쪽으로 제곱근을 한 겹씩 벗긴다 — 제곱해 바깥 근을 없애고, √(x)를 고립시켜, n 에 대한 조건을 읽어낸다. 문제가 '몇 개'인지 묻고 있으니, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 조건을 통과하는 정수 n 을 센다. 정수에 먼저 이름을 붙이는 것이 무서운 중첩 근호를 단순한 세기 문제로 바꾸는 핵심이다.

1STEP 1

정수에 이름을 붙이고 한 번 제곱하기

식이 정수 n과 같다고 두고 양변을 제곱하면 120 - √(x) = n²을 얻는다. n은 0 이상이다.

√(120 - √(x)) = n → 120 - √(x) = n², n = 0, 1, 2, …
2STEP 2

안쪽 근호 고립시키기

안쪽 근을 고립시키면 √(x) = 120 - n²이고, 제곱근은 음수가 아니므로 n² ≤ 120이다.

√(x) = 120 - n² ≥ 0 → n² ≤ 120
3STEP 3

허용되는 정수 세기

10² = 100은 되지만 11² = 121은 안 되므로 n은 0부터 10까지, 즉 11 개이며 0도 센다.

n ∈ {0, 1, 2, …, 10} → n 값 11 개
4STEP 4

각 정수를 하나의 실수 x 에 대응시키기

각 n은 x = (120 - n²)²을 하나씩 정하므로 실수 x는 11 개, 답은 (E)이다.

x = (120 - n²)² → 서로 다른 실수 x 11 개 → (E)
정답
11
양 끝을 확인한다. n = 10일 때: √(x) = 120 - 100 = 20이므로 x = 400; 검산하면 √(x) = 20, 120 - 20 = 100, √(100) = 10으로 정수다. 좋다. 한 칸 더 밀어 n = 11: √(x) = 120 - 121 = -1로 0보다 작아 불가능하니 11은 옳게 제외된다. 위쪽(n = 10)도 아래쪽(n = 0)도 유효하고 그 사이 전부 유효하므로 0부터 10까지 11 개다. 함정 선택지 10(D)은 n = 0을 세는 것을 잊을 때 나온다.
💡핵심 정리

숨은 정수에 이름을 붙이고, 제곱해 근을 한 겹 벗긴 뒤, '제곱근은 절대 음수가 아니다'라는 규칙으로 들어맞는 값의 수를 제한하라 — 여기서는 n = 0부터 10까지 11 개이고, 0을 세는 걸 잊는 것이 함정이다.

  • 정수에 이름을 붙이고 한 번 제곱하기
  • 안쪽 근호 고립시키기
  • 허용되는 정수 세기
  • 각 정수를 하나의 실수 x 에 대응시키기

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