AMC 10 · 2006 · #10
학년 8 arithmetic120−x 가 정수가 되는 x 의 실숫값은 몇 개인가?
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 식 $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ 는 제곱근 안에 또 제곱근이 들어 있는 형태다. 이 식 $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ 전체가 정수(자연수 또는 0)가 되게 하는 실수 $x$ 가 몇 개인지 세는 문제다.
주어진 것: 식은 $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$; $x$ 는 실수 전체 범위; 이 식의 값이 정수가 되기를 원한다; 선택지: (A) 3, (B) 6, (C) 9, (D) 10, (E) 11
구하는 것: $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ 를 정수로 만드는 실수 $x$ 의 개수
이해
문제 재정리: 식 $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ 는 제곱근 안에 또 제곱근이 들어 있는 형태다. 이 식 $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ 전체가 정수(자연수 또는 0)가 되게 하는 실수 $x$ 가 몇 개인지 세는 문제다.
주어진 것: 식은 $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$; $x$ 는 실수 전체 범위; 이 식의 값이 정수가 되기를 원한다; 선택지: (A) 3, (B) 6, (C) 9, (D) 10, (E) 11
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #2 빠짐없이 나열하기
'정수이다'라는 말은 이름 없는 수를 숨기고 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)는 그 정수를 $n$ 이라 부르고 $\sqrt{120 - \sqrt{x}} = n$ 이라 쓰라고 말한다. 그다음 도구 #11(거꾸로 풀기)로 바깥부터 안쪽으로 제곱근을 한 겹씩 벗긴다 — 제곱해 바깥 근을 없애고, $\sqrt{x}$ 를 고립시켜, $n$ 에 대한 조건을 읽어낸다. 문제가 '몇 개'인지 묻고 있으니, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 조건을 통과하는 정수 $n$ 을 센다. 정수에 먼저 이름을 붙이는 것이 무서운 중첩 근호를 단순한 세기 문제로 바꾸는 핵심이다.
실행 — 정답: E
8.EE.A.2 단계 1 정수에 이름을 붙이고 한 번 제곱하기
- 식이 같아지는 정수를 $n$ 이라 하면 $\sqrt{120 - \sqrt{x}} = n$ 이다.
- $n$ 자체가 제곱근이므로 $0$ 이상인 정수여야 한다.
- 양변을 제곱하면 바깥 근호가 사라져 $120 - \sqrt{x} = n^2$ 이 된다.
💡 정체 모를 정수에 이름을 붙이면 식을 제곱해 중첩의 한 겹을 벗겨낼 수 있다.
6.EE.B.5 단계 2 안쪽 근호 고립시키기
- 정리해 안쪽 근을 홀로 두면 $\sqrt{x} = 120 - n^2$ 이다.
- 이제 제곱근은 절대 음수가 아니라는 규칙을 쓴다.
- 그러면 우변은 $120 - n^2 \ge 0$ 을 만족해야 하고, 이는 $n^2 \le 120$ 을 뜻한다.
- 이 하나의 부등식이 어떤 $n$ 이 허용되는지 결정하는 관문 전부다.
💡 바깥부터 안으로 풀면 깔끔한 규칙 하나만 남는다: 남은 $120 - n^2$ 은 제곱근이 될 수 있는 값이어야 하므로 $0$ 아래로 내려갈 수 없다.
6.EE.A.1 단계 3 허용되는 정수 세기
- $n^2 \le 120$ 을 만족하는 $0$ 이상의 정수 $n$ 을 나열한다.
- $10^2 = 100 \le 120$ 이지만 $11^2 = 121 > 120$ 이므로, 값은 $n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 이다.
- 모두 $11$ 개다.
- ($n = 0$ 도 센다는 점을 잊지 말자 — 이때 $\sqrt{x} = 120$ 이 된다.)
💡 제곱은 빠르게 커지므로 $120$ 아래에 머무는 $n$ 은 $10$ 까지뿐이고, $0$ 은 정당한 출발점이다.
8.EE.A.2 단계 4 각 정수를 하나의 실수 x 에 대응시키기
- 허용되는 각 $n$ 은 $\sqrt{x} = 120 - n^2$ 을 하나의 정해진 $0$ 이상 수로 고정하고, 제곱하면 정확히 하나의 실수 $x = (120 - n^2)^2$ 을 준다.
- 서로 다른 $n$ 은 서로 다른 $120 - n^2$ 값($120, 119, 116, \dots, 20$)을 주므로 서로 다른 $x$ 를 준다.
- 정수 $11$ 개가 서로 다른 실수 $x$ $11$ 개를 만들므로 개수는 $\textbf{(E) } 11$ 이다.
💡 $n$ 값 하나가 $\sqrt{x}$ 를 못박고, $0$ 이상인 $\sqrt{x}$ 값 하나가 $x$ 하나를 못박는다.
8.EE.A.2 식이 같아지는 정수를 $n$ 이라 하면 $\sqrt{120 - \sqrt{x}} = n$ 이다. $n$ 자체가 제곱근이므로 $0$ 이상인 정수여 6.EE.B.5 정리해 안쪽 근을 홀로 두면 $\sqrt{x} = 120 - n^2$ 이다. 이제 제곱근은 절대 음수가 아니라는 규칙을 쓴다. 그러면 우변은 $ 6.EE.A.1 $n^2 \le 120$ 을 만족하는 $0$ 이상의 정수 $n$ 을 나열한다. $10^2 = 100 \le 120$ 이지만 $11^2 = 121 8.EE.A.2 허용되는 각 $n$ 은 $\sqrt{x} = 120 - n^2$ 을 하나의 정해진 $0$ 이상 수로 고정하고, 제곱하면 정확히 하나의 실수 $x 검토
합리성 확인: 양 끝을 확인한다. $n = 10$ 일 때: $\sqrt{x} = 120 - 100 = 20$ 이므로 $x = 400$; 검산하면 $\sqrt{x} = 20$, $120 - 20 = 100$, $\sqrt{100} = 10$ 으로 정수다. 좋다. 한 칸 더 밀어 $n = 11$: $\sqrt{x} = 120 - 121 = -1 < 0$ 으로 불가능하니 $11$ 은 옳게 제외된다. 위쪽($n = 10$)도 아래쪽($n = 0$)도 유효하고 그 사이 전부 유효하므로 $0$ 부터 $10$ 까지 $11$ 개다. 함정 선택지 $10$(D)은 $n = 0$ 을 세는 것을 잊을 때 나온다.
대안 접근: $n$ 에 이름을 붙이지 않고 바로 추론한다: $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ 가 정수가 되려면 안쪽 $120 - \sqrt{x}$ 가 제곱근이 도달할 수 있는 완전제곱수, 즉 $0$ 부터 $120$ 까지의 완전제곱수여야 한다. $120$ 이하의 완전제곱수는 $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ 으로 $11$ 개다. 각각이 $\sqrt{x}$ 를, 따라서 $x$ 를 유일하게 정하므로 똑같이 총 $11$ 개다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.A.2Use square root and cube root symbols to represent solutions (중첩 근호 $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ 를 읽고, 제곱해 제곱근을 풀고, $\sqrt{x}$ 값에서 $x = (120 - n^2)^2$ 을 되찾기.)6.EE.B.5Understand solving an equation as finding which values make it true ('식이 정수이다'를 조건 $n^2 \le 120$ 으로 바꾸고 이를 만족하는 정수 $n$ 을 찾기.)6.EE.A.1Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (정수를 제곱해 $n^2$ 을 $120$ 과 비교하고 $n = 0$ 부터 $10$ 까지 나열하기.)
⭐ 숨은 정수에 이름을 붙이고, 제곱해 근을 한 겹 벗긴 뒤, '제곱근은 절대 음수가 아니다'라는 규칙으로 들어맞는 값의 수를 제한하라 — 여기서는 $n = 0$ 부터 $10$ 까지 $11$ 개이고, $0$ 을 세는 걸 잊는 것이 함정이다.
⭐ 숨은 정수에 이름을 붙이고, 제곱해 근을 한 겹 벗긴 뒤, '제곱근은 절대 음수가 아니다'라는 규칙으로 들어맞는 값의 수를 제한하라 — 여기서는 $n = 0$ 부터 $10$ 까지 $11$ 개이고, $0$ 을 세는 걸 잊는 것이 함정이다.
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