AMC 10 · 2006 · #11

학년 8 geometry-2d

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coordinate-geometrypolynomial-factoring convert-to-algebra ↑ 선수 지식: polynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

다음 중 방정식 $(x+y)^2=x^2+y^2$ 의 그래프를 올바르게 설명한 것은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

the\,empty\,set

(B)

$\textrm{one\,point}$

(C)

$\textrm{two\,lines}$

(D)

$\textrm{a\,circle}$

(E)

$\textrm{the\,entire\,plane}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 방정식 $(x+y)^2 = x^2 + y^2$ 이 주어졌고, 이 방정식의 그래프가 좌표평면에서 어떤 모양인지 묻고 있다. 그래프는 방정식을 참으로 만드는 모든 점 $(x, y)$ 의 집합이다. 그 집합이 다음 중 무엇에 해당하는지 정해야 한다: 공집합, 한 점, 두 직선, 원, 좌표평면 전체.

주어진 것: 방정식은 $(x+y)^2 = x^2 + y^2$ 이다; $x$ 와 $y$ 는 모든 실수 값을 가진다; 보기들은 그래프를 설명한다: (A) 공집합, (B) 한 점, (C) 두 직선, (D) 원, (E) 좌표평면 전체

구하는 것: 방정식을 만족하는 점 $(x, y)$ 들의 집합이 이루는 모양

이해

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #1 그림 그리기

방정식이 복잡해 보이지만, 도구 #15 (다르게 정리하기) 는 이미 아는 형태로 다시 쓰라고 말한다. 제곱된 쪽을 전개하고 겹치는 항을 없애면 전체가 $xy = 0$ 이라는 아주 작은 식으로 바뀌고, 이 그래프는 이름 붙이기 쉽다. 그다음 도구 #3 (가능성 지우기) 은 객관식 구조를 이용한다: 그래프가 무한히 뻗는다는 것을 알면 원과 한 점은 제외되고, 점 하나를 대입해 보면 공집합과 전체 평면도 지워진다. 도구 #1 (그림 그리기) 은 남은 것이 익숙한 두 직선임을 확인해 준다. 방정식을 다시 쓰는 순간 어려움이 녹아 없어진다.

실행 — 정답: C

#15 다르게 정리하기 6.EE.A.3 단계 1

제곱된 쪽 전개하기

복잡한 부분은 $(x+y)^2$ 뿐이다.
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ 규칙으로 전개한다.
그러면 방정식은 $x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2$ 가 된다.
이렇게 쓰면 양변의 같은 항끼리 나란히 놓인다.

$$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \ \Rightarrow\ x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2$$

💡 제곱을 풀면 오른쪽에는 없는 가운데 항 $2xy$ 가 드러난다.

#15 다르게 정리하기 6.EE.A.3 단계 2

지우고 간단히 하기

양변 모두 $x^2$ 과 $y^2$ 을 가진다.
그것들을 양변에서 빼면 사라지고 $2xy = 0$ 만 남는다.
$2$ 로 나누면 깔끔한 조건 $xy = 0$ 이 된다.
이 식 하나가 원래 방정식이 말하던 모든 것을 담는다.

$$x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2 \ \Rightarrow\ 2xy = 0 \ \Rightarrow\ xy = 0$$

💡 양변에 똑같이 있는 제곱 항들은 아무 정보도 주지 않으므로 없애면 교차항만 남는다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 3

곱이 0인 성질 쓰기

두 수의 곱이 0이 되는 것은 적어도 한 인수가 0일 때뿐이다.
그러므로 $xy = 0$ 은 정확히 $x = 0$ 또는 $y = 0$ 일 때 성립한다.
그래프 위의 모든 점은 이 두 조건 중 하나를 만족하고, 이 중 하나를 만족하는 모든 점은 그래프 위에 있다.

$$xy = 0 \iff x = 0 \ \text{ 또는 } \ y = 0$$

💡 0이 아닌 두 수를 곱해서 0이 될 수는 없으므로 둘 중 하나는 0이어야 한다.

#1 그림 그리기 8.F.A.3 단계 4

그래프 읽어내기

방정식 $x = 0$ 은 첫 좌표가 0인 모든 점의 집합, 즉 세로축인 $y$ 축이며 하나의 직선이다.
방정식 $y = 0$ 은 가로축인 $x$ 축으로 또 하나의 직선이다.
그래프는 두 축을 합친 것, 즉 두 직선이다.
이는 보기 $\textbf{(C)}$ 와 일치한다.

$$x = 0 \ (y\text{축}) \ \text{ 그리고 } \ y = 0 \ (x\text{축}) \Rightarrow \text{두 직선} \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 한 좌표를 0으로 두면 축 전체가 그려지고, 그런 축이 둘이다.

[1] #15 6.EE.A.3 복잡한 부분은 $(x+y)^2$ 뿐이다. $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ 규칙으로 전개한다. 그러면 방정식은 $x^2 + 2x

[2] #15 6.EE.A.3 양변 모두 $x^2$ 과 $y^2$ 을 가진다. 그것들을 양변에서 빼면 사라지고 $2xy = 0$ 만 남는다. $2$ 로 나누면 깔끔한 조건 $

[3] #3 6.EE.B.5 두 수의 곱이 0이 되는 것은 적어도 한 인수가 0일 때뿐이다. 그러므로 $xy = 0$ 은 정확히 $x = 0$ 또는 $y = 0$ 일 때 성

[4] #1 8.F.A.3 방정식 $x = 0$ 은 첫 좌표가 0인 모든 점의 집합, 즉 세로축인 $y$ 축이며 하나의 직선이다. 방정식 $y = 0$ 은 가로축인 $x$

검토

합리성 확인: 원래 방정식에 몇 개의 점을 대입해 본다. $(2, 0)$ 에서: 왼쪽 $(2+0)^2 = 4$, 오른쪽 $2^2 + 0^2 = 4$ — 같고, 이 점은 $x$ 축 위에 있다. $(0, 3)$ 에서: 왼쪽 $9$, 오른쪽 $9$ — 같고 $y$ 축 위에 있다. 축 밖의 점 $(1, 1)$ 에서: 왼쪽 $(1+1)^2 = 4$, 오른쪽 $1 + 1 = 2$ — 같지 않으므로 올바르게 제외된다. 점들은 축 위에 있을 때에만 성립하므로 그래프는 두 축이다: 무한히 뻗으므로 원(보기 D)도 아니고 한 점(보기 B)도 아니다. 어떤 점은 성립하므로 공집합(보기 A)이 아니고, $(1,1)$ 은 실패하므로 전체 평면(보기 E)도 아니다. 두 직선인 보기 (C) 만 들어맞는다.

대안 접근: 점을 따지는 대신 인수분해로 접근한다. $2xy = 0$ 에서 $xy = 0$ 을 얻고, 이는 그래프를 곧바로 $x = 0$ 의 해집합과 $y = 0$ 의 해집합의 합집합으로 인수분해한다. 각 인수 집합은 직선이고, 서로 다른 두 직선의 합집합은 정확히 '두 직선' 그래프이므로 점 대입이 필요 없다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($(x+y)^2$ 을 $x^2 + 2xy + y^2$ 으로 전개하고 겹치는 $x^2$, $y^2$ 항을 지워 $xy = 0$ 에 도달하기.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values ($xy = 0$ 을 점에 대한 조건으로 읽고 곱이 0인 성질로 $x = 0$ 또는 $y = 0$ 으로 나누기.)
8.F.A.3 Interpret the equation y = mx + b as defining a linear function ($x = 0$ 과 $y = 0$ 각각이 직선(두 좌표축)으로 그려짐을 알아 그래프가 두 직선임을 파악하기.)

⭐ 제곱을 전개해 겹치는 부분을 지우면 방정식 전체가 $xy = 0$ 으로 줄어든다 — 곱은 인수 하나가 0일 때만 0이므로 그래프는 두 축 직선이다.