AMC 10 · 2006 · #11

학년 8 geometry-2d

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coordinate-geometrypolynomial-factoring convert-to-algebra ↑ 선수 지식: polynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

좌표평면에서 방정식 (x+y)² = x² + y²의 그래프를 생각한다. 여기서 x와 y는 모든 실수 값을 가진다. 그래프는 방정식을 참으로 만드는 모든 점 (x, y)의 집합이다. 이 집합을 올바르게 설명한 것은 공집합, 한 점, 두 직선, 원, 좌표평면 전체 중 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

the\,empty\,set

(B)

$\textrm{one\,point}$

(C)

$\textrm{two\,lines}$

(D)

$\textrm{a\,circle}$

(E)

$\textrm{the\,entire\,plane}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

방정식이 복잡해 보이지만, 도구 #15 (다르게 정리하기)는 이미 아는 형태로 다시 쓰라고 말한다. 제곱된 쪽을 전개하고 겹치는 항을 없애면 전체가 xy = 0 이라는 아주 작은 식으로 바뀌고, 이 그래프는 이름 붙이기 쉽다. 그다음 도구 #3 (가능성 지우기)은 객관식 구조를 이용한다: 그래프가 무한히 뻗는다는 것을 알면 원과 한 점은 제외되고, 점 하나를 대입해 보면 공집합과 전체 평면도 지워진다. 도구 #1 (그림 그리기)은 남은 것이 익숙한 두 직선임을 확인해 준다. 방정식을 다시 쓰는 순간 어려움이 녹아 없어진다.

1STEP 1

제곱된 쪽 전개하기

복잡한 부분은 (x+y)²뿐이다. x² + 2xy + y²으로 전개하면 방정식은 x² + 2xy + y² = x² + y²가 된다.

(x+y)² = x² + 2xy + y² → x² + 2xy + y² = x² + y²

2STEP 2

지우고 간단히 하기

양변에 있는 x²과 y²을 빼면 2xy = 0만 남고, 2로 나누면 xy = 0이 된다.

x² + 2xy + y² = x² + y² → 2xy = 0 → xy = 0

3STEP 3

곱이 0인 성질 쓰기

곱이 0이려면 인수 하나가 0이어야 하므로 xy = 0은 정확히 x = 0 또는 y = 0일 때 성립한다.

xy = 0 ⇔ x = 0 또는 y = 0

4STEP 4

그래프 읽어내기

x = 0은 세로축인 y축을, y = 0은 가로축인 x축을 그리므로 그래프는 이 두 축 직선이고 답은 (C)이다.

x = 0 (y축) 그리고 y = 0 (x축) → 두 직선 → (C)

정답

두 직선

원래 방정식에 몇 개의 점을 대입해 본다. (2, 0)에서: 왼쪽 (2+0)² = 4, 오른쪽 2² + 0² = 4 — 같고, 이 점은 x축 위에 있다. (0, 3)에서: 왼쪽 9, 오른쪽 9 — 같고 y축 위에 있다. 축 밖의 점 (1, 1)에서: 왼쪽 (1+1)² = 4, 오른쪽 1 + 1 = 2 — 같지 않으므로 올바르게 제외된다. 점들은 축 위에 있을 때에만 성립하므로 그래프는 두 축이다: 무한히 뻗으므로 원(보기 D)도 아니고 한 점(보기 B)도 아니다. 어떤 점은 성립하므로 공집합(보기 A)이 아니고, (1,1)은 실패하므로 전체 평면(보기 E)도 아니다. 두 직선인 보기 (C)만 들어맞는다.

💡핵심 정리

제곱을 전개해 겹치는 부분을 지우면 방정식 전체가 xy = 0으로 줄어든다 — 곱은 인수 하나가 0일 때만 0이므로 그래프는 두 축 직선이다.

제곱된 쪽 전개하기
지우고 간단히 하기
곱이 0인 성질 쓰기
그래프 읽어내기

제곱된 쪽 전개하기

지우고 간단히 하기

곱이 0인 성질 쓰기

그래프 읽어내기

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