AMC 10 · 2006 · #13

학년 7 probability

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

probability-basicexpected-valueconditional-probability identify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 참가자가 게임을 하기 위해 $\textdollar 5$ 를 낸다. 주사위를 한 번 굴린다. 주사위의 수가 홀수이면 게임에서 진다. 주사위의 수가 짝수이면 주사위를 다시 굴린다. 이 경우 두 번째 수가 첫 번째 수와 일치하면 참가자가 이기고, 그렇지 않으면 진다. 게임이 공정하다면 참가자는 상금으로 얼마를 받아야 하는가? (공정한 게임에서는 이길 확률에 받는 상금액을 곱한 값이 참가자가 내야 할 금액과 같다.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\textdollar12$

(B)

$\textdollar30$

(C)

$\textdollar50$

(D)

$\textdollar60$

(E)

$\textdollar 100$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 게임을 하려면 $\textdollar 5$를 냅니다. 먼저 공정한 주사위를 한 번 굴립니다. **홀수**가 나오면 즉시 집니다. **짝수**가 나오면 주사위를 한 번 더 굴리고, 두 번째 눈이 첫 번째 눈과 **같으면** 이기고 그렇지 않으면 집니다. '공정한 게임'이란 이길 확률에 상금을 곱한 값이 낸 돈과 같은 게임입니다. 이 게임을 공정하게 만드는 상금을 구하세요.

주어진 것: 게임 참가비는 $\textdollar 5$입니다.; 첫 번째 굴림: 홀수($1,3,5$)가 나오면 바로 집니다.; 첫 번째 굴림이 짝수($2,4,6$)이면 주사위를 한 번 더 굴립니다.; 두 번째 눈이 첫 번째 눈과 같을 때만 이기고, 다른 눈이 나오면 집니다.; 공정한 게임 규칙: $P(\text{이김}) \times (\text{상금}) = \text{낸 돈}$.; 선택지: (A) $\textdollar 12$, (B) $\textdollar 30$, (C) $\textdollar 50$, (D) $\textdollar 60$, (E) $\textdollar 100$.

구하는 것: 게임을 공정하게 만드는 상금(달러).

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #4 변수 도입하기, #8 단위 살펴보기

이기는 것은 두 단계로 이루어진 사건이므로, 가장 깔끔한 방법은 이를 작은 문제로 쪼개는 것입니다(도구 #7). 먼저 첫 굴림이 짝수일 확률, 그다음 두 번째 굴림이 일치할 확률을 구합니다. 각 단계는 모두 경우가 똑같이 나오는 주사위 확률이고, 서로 독립인 두 단계 확률을 곱하면 $P(\text{이김})$이 됩니다. 이 값을 얻으면 '공정한 게임' 정의는 사실상 목표에서 거꾸로 풀어야 하는 조건입니다(도구 #11). 상금을 변수로 이름 붙이고(도구 #4), 공정한 게임 식 $P(\text{이김}) \times \text{상금} = \text{낸 돈}$을 상금에 대한 방정식으로 읽습니다. 달러와 확률의 단위를 구분해 두면(도구 #8) 어느 양이 미지수인지 분명해집니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 1

첫 굴림을 통과할 확률

첫 굴림이 짝수여야만 게임을 이어갈 수 있습니다.
짝수 면은 $2, 4, 6$으로, 똑같이 나올 수 있는 여섯 면 중 셋입니다.
따라서 첫 굴림을 통과할 확률은 $\tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$입니다.

$$P(\text{첫 굴림 짝수}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$

💡 주사위 면의 절반이 짝수이므로, 짝수로 시작할 가능성은 동전 던지기만큼입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 2

두 번째 굴림이 일치할 확률

첫 굴림이 짝수여서 어떤 특정한 수가 나왔다고 합시다.
이제 다시 굴립니다.
이기려면 두 번째 굴림이 바로 그 같은 수여야 합니다.
여섯 면 중 오직 하나만 그렇게 되므로, 일치할 확률은 $\tfrac{1}{6}$입니다.
첫 수가 $2$, $4$, $6$ 중 무엇이었는지는 상관없습니다.
정해진 목표를 맞추는 것은 언제나 $6$분의 $1$의 확률입니다.

$$P(\text{두 번째 굴림이 첫 굴림과 일치}) = \dfrac{1}{6}$$

💡 목표 수가 정해지면, 주사위에는 이기는 면이 여섯 중 정확히 하나뿐입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

두 단계를 곱하기

이기려면 두 가지가 모두 일어나야 합니다.
첫 굴림이 짝수이고 AND 두 번째 굴림이 일치해야 합니다.
두 굴림은 독립이므로 두 단계 확률을 곱합니다.
그러면 $\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}$이 됩니다.
즉 열두 번에 약 한 번 이깁니다.

$$P(\text{이김}) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12}$$

💡 독립인 사건들의 'AND'는 각각의 확률을 곱한 값입니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 4

공정한 게임 식 세우기

상금을 $W$ 달러라 합시다.
공정한 게임 규칙은 이길 확률에 상금을 곱한 값이 낸 돈과 같다는 것입니다: $\tfrac{1}{12} \cdot W = 5$.
말로 하면, 여러 번 하는 동안 게임마다 평균적으로 돌려받는 금액(상금의 $\tfrac{1}{12}$)이 참가비 $\textdollar 5$를 정확히 메워야 합니다.

$$\dfrac{1}{12}\,W = 5$$

💡 공정한 게임이란 한 번 할 때 평균 돌려받는 금액이 내는 돈과 같다는 뜻입니다.

#11 거꾸로 풀기 5.NF.B.7 단계 5

상금 구하기

$\tfrac{1}{12}$을 없애려면 양변을 $\tfrac{1}{12}$로 나누는데, 이는 $12$를 곱하는 것과 같습니다: $W = 5 \div \tfrac{1}{12} = 5 \times 12 = 60$.
따라서 공정한 상금은 $\textdollar 60$이고, 이는 선택지 (D)입니다.

$$W = 5 \div \dfrac{1}{12} = 5 \times 12 = 60 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}\ \textdollar 60$$

💡 이기는 일이 $12$번에 한 번뿐이라면, 본전을 맞추려면 상금이 참가비의 $12$배여야 합니다.

[1] #7 7.SP.C.7 첫 굴림이 짝수여야만 게임을 이어갈 수 있습니다. 짝수 면은 $2, 4, 6$으로, 똑같이 나올 수 있는 여섯 면 중 셋입니다. 따라서 첫 굴림

[2] #7 7.SP.C.7 첫 굴림이 짝수여서 어떤 특정한 수가 나왔다고 합시다. 이제 다시 굴립니다. 이기려면 두 번째 굴림이 바로 그 같은 수여야 합니다. 여섯 면 중

[3] #7 7.SP.C.8 이기려면 두 가지가 모두 일어나야 합니다. 첫 굴림이 짝수이고 AND 두 번째 굴림이 일치해야 합니다. 두 굴림은 독립이므로 두 단계 확률을 곱

[4] #4 6.EE.B.7 상금을 $W$ 달러라 합시다. 공정한 게임 규칙은 이길 확률에 상금을 곱한 값이 낸 돈과 같다는 것입니다: $\tfrac{1}{12} \cdot

[5] #11 5.NF.B.7 $\tfrac{1}{12}$을 없애려면 양변을 $\tfrac{1}{12}$로 나누는데, 이는 $12$를 곱하는 것과 같습니다: $W = 5 \d

검토

합리성 확인: 본전 맞추기를 직접 확인해 봅시다. 상금이 $\textdollar 60$이고 한 게임마다 $\textdollar 5$를 낸다면, 보통 $12$번 하는 동안 $12 \times 5 = \textdollar 60$을 쓰고 딱 한 번 이겨서 $\textdollar 60$을 받습니다. 나간 돈과 들어온 돈이 같은데, 이것이 바로 '공정'의 의미입니다. 이길 확률 $\tfrac{1}{12}$도 그럴듯합니다. 이 값은 $\tfrac{1}{6}$(일치만 볼 때)과 $\tfrac{1}{36}$(처음부터 특정 쌍을 굴릴 때) 사이에 있는데, 첫 굴림이 홀수여서 지는 경우가 순수 일치 확률을 절반으로 깎기 때문입니다. $\textdollar 12$나 $\textdollar 30$처럼 상금이 더 작으면 게임이 주최 측에 유리해지므로, $\textdollar 60$이 타당한 공정 값입니다.

대안 접근: 분수를 곱하는 대신 경우의 수를 세어봅니다. 두 번째 굴림까지 가는 완전한 게임은 똑같이 나올 수 있는 순서쌍 $(\text{첫 눈}, \text{둘째 눈})$이 $6 \times 6 = 36$가지 있습니다. 하지만 플레이어는 첫 굴림이 짝수일 때만 나아가고, $36$가지 모든 조합 중 이기는 것은 짝수가 일치하는 세 쌍 $(2,2), (4,4), (6,6)$뿐입니다. 즉 $36$개 순서쌍 중 이기는 것은 $3$개로 $\tfrac{3}{36} = \tfrac{1}{12}$이며, 같은 이길 확률입니다. 그러면 공정한 상금은 다시 $5 \times 12 = \textdollar 60$입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 균등 확률 모형을 만들고 이를 이용해 사건의 확률 구하기 (똑같이 나올 수 있는 주사위 면에서 한 번 굴림의 확률 $P(\text{짝수}) = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$와 $P(\text{일치}) = \tfrac{1}{6}$을 구하기.)
7.SP.C.8 정리된 목록, 표, 나무 그림, 시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (서로 독립인 두 단계를 곱으로 결합하기: $P(\text{이김}) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}$.)
6.EE.B.7 px = q 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활 및 수학 문제 해결하기 (공정한 게임 조건을 상금 $W$를 미지수로 하는 방정식 $\tfrac{1}{12}\,W = 5$로 세우기.)
5.NF.B.7 자연수를 단위분수로, 단위분수를 자연수로 나누기 ($5 \div \tfrac{1}{12} = 5 \times 12 = 60$을 계산해 상금 구하기.)

⭐ 이기려면 첫 굴림이 짝수여야 하고(확률 $\tfrac{1}{2}$) 그다음 두 번째 굴림이 일치해야 하므로(확률 $\tfrac{1}{6}$), 이기는 일은 $\tfrac{1}{12}$의 비율로 일어납니다. 따라서 공정한 상금은 $\textdollar 5$ 참가비의 $12$배인 $\textdollar 60$이어야 합니다.