AMC 10 · 2006 · #13

학년 7 probability

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

probability-basicexpected-valueconditional-probability identify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

게임을 하려면 5달러를 냅니다. 먼저 공정한 주사위를 한 번 굴립니다. 홀수가 나오면 즉시 집니다. 짝수가 나오면 주사위를 한 번 더 굴립니다. 이때 두 번째 눈이 첫 번째 눈과 같으면 이기고 그렇지 않으면 집니다. 공정한 게임이란 이길 확률에 상금을 곱한 값이 낸 돈과 같은 게임입니다. 이 게임을 공정하게 만드는 상금을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\textdollar12$

(B)

$\textdollar30$

(C)

$\textdollar50$

(D)

$\textdollar60$

(E)

$\textdollar 100$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이기는 것은 두 단계로 이루어진 사건이므로, 가장 깔끔한 방법은 이를 작은 문제로 쪼개는 것입니다(도구 #7). 먼저 첫 굴림이 짝수일 확률, 그다음 두 번째 굴림이 일치할 확률을 구합니다. 각 단계는 모두 경우가 똑같이 나오는 주사위 확률이고, 서로 독립인 두 단계 확률을 곱하면 P(이김)이 됩니다. 이 값을 얻으면 '공정한 게임' 정의는 사실상 목표에서 거꾸로 풀어야 하는 조건입니다(도구 #11). 상금을 변수로 이름 붙이고(도구 #4), 공정한 게임 식 P(이김) × 상금 = 낸 돈을 상금에 대한 방정식으로 읽습니다. 달러와 확률의 단위를 구분해 두면(도구 #8) 어느 양이 미지수인지 분명해집니다.

1STEP 1

첫 굴림을 통과할 확률

첫 굴림이 짝수일 때만 계속할 수 있고, 2, 4, 6은 여섯 면 중 셋이므로 확률은 1/2입니다.

P(첫 굴림 짝수) = 3/6 = 1/2

2STEP 2

두 번째 굴림이 일치할 확률

첫 수가 정해지면 여섯 면 중 그것을 다시 내는 면은 하나뿐이므로 일치할 확률은 1/6입니다.

P(두 번째 굴림이 첫 굴림과 일치) = 1/6

3STEP 3

두 단계를 곱하기

이기려면 두 단계가 다 필요하고 두 굴림은 독립이므로 곱합니다: 1/2 × 1/6 = 1/12입니다.

P(이김) = 1/2 × 1/6 = 1/12

4STEP 4

공정한 게임 식 세우기

상금을 W 달러라 하면, 공정한 게임은 평균 지급액이 참가비와 같다는 뜻이므로 1/12 · W = 5입니다.

1/12 W = 5

5STEP 5

상금 구하기

1/12로 나누는 것은 12를 곱하는 것과 같으므로 W = 5 × 12 = 60달러, 곧 (D)입니다.

W = 5 ÷ 1/12 = 5 × 12 = 60 → (D) 60달러

정답

60달러

본전 맞추기를 직접 확인해 봅시다. 상금이 60달러이고 한 게임마다 5달러를 낸다면, 보통 12번 하는 동안 12 × 5 = 60달러를 쓰고 딱 한 번 이겨서 60달러를 받습니다. 나간 돈과 들어온 돈이 같은데, 이것이 바로 '공정'의 의미입니다. 이길 확률 1/12도 그럴듯합니다. 이 값은 1/6(일치만 볼 때)과 1/36(처음부터 특정 쌍을 굴릴 때) 사이에 있는데, 첫 굴림이 홀수여서 지는 경우가 순수 일치 확률을 절반으로 깎기 때문입니다. 12달러나 30달러처럼 상금이 더 작으면 게임이 주최 측에 유리해지므로, 60달러가 타당한 공정 값입니다.

💡핵심 정리

이기려면 첫 굴림이 짝수여야 하고(확률 1/2) 그다음 두 번째 굴림이 일치해야 하므로(확률 1/6), 이기는 일은 1/12의 비율로 일어납니다. 따라서 공정한 상금은 5달러 참가비의 12배인 60달러여야 합니다.

첫 굴림을 통과할 확률
두 번째 굴림이 일치할 확률
두 단계를 곱하기
공정한 게임 식 세우기
상금 구하기

첫 굴림을 통과할 확률

두 번째 굴림이 일치할 확률

두 단계를 곱하기

공정한 게임 식 세우기

상금 구하기

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