AMC 10 · 2006 · #16
학년 8 geometry-2d반지름이 1 인 원이 반지름이 2 인 원에 접한다. △ABC 의 변들은 그림과 같이 두 원에 접하며, 변 AB 와 AC 는 합동이다. △ABC 의 넓이는 얼마인가?
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 이등변삼각형 $ABC$ ($AB = AC$) 안에 대칭축을 따라 두 원이 쌓여 있습니다. 밑변 위에 놓인 반지름 $2$인 원과 그 위의 반지름 $1$인 원입니다. 두 원은 각각 두 등변에 접하고, 두 원끼리도 서로 접하며, 큰 원은 밑변에도 접합니다. $\triangle ABC$의 넓이를 구합니다.
주어진 것: $\triangle ABC$는 $AB = AC$인 이등변삼각형이다; 큰 원의 반지름은 $2$, 작은 원의 반지름은 $1$이다; 두 원 모두 등변 $\overline{AB}$와 $\overline{AC}$에 접한다; 큰 원은 밑변 $\overline{BC}$에 접하고, 두 원은 서로 접한다; 선택지: (A) $\tfrac{35}{2}$, (B) $15\sqrt{2}$, (C) $\tfrac{64}{3}$, (D) $16\sqrt{2}$, (E) $24$
구하는 것: $\triangle ABC$의 넓이
이해
문제 재정리: 이등변삼각형 $ABC$ ($AB = AC$) 안에 대칭축을 따라 두 원이 쌓여 있습니다. 밑변 위에 놓인 반지름 $2$인 원과 그 위의 반지름 $1$인 원입니다. 두 원은 각각 두 등변에 접하고, 두 원끼리도 서로 접하며, 큰 원은 밑변에도 접합니다. $\triangle ABC$의 넓이를 구합니다.
주어진 것: $\triangle ABC$는 $AB = AC$인 이등변삼각형이다; 큰 원의 반지름은 $2$, 작은 원의 반지름은 $1$이다; 두 원 모두 등변 $\overline{AB}$와 $\overline{AC}$에 접한다; 큰 원은 밑변 $\overline{BC}$에 접하고, 두 원은 서로 접한다; 선택지: (A) $\tfrac{35}{2}$, (B) $15\sqrt{2}$, (C) $\tfrac{64}{3}$, (D) $16\sqrt{2}$, (E) $24$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #4 변수 도입하기, #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기, #8 단위 살펴보기
$A$에서 밑변으로 수선을 긋기 전까지 이 그림의 구조는 숨어 있습니다. 그 수선이 대칭축이라서 두 원의 중심이 모두 그 위에 놓이고 모든 길이가 수직으로 정렬됩니다. 도구 #1(그림 그리기)은 꼭짓점 $A$, 각 중심, 각 원이 변에 닿는 접점이 만드는 닮은 직각삼각형들을 드러냅니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 꼭짓점에서 각 중심까지의 두 거리에 이름을 붙여, 그 삼각형들이 공유하는 모양을 깔끔한 비로 바꿉니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 '두 원이 접한다'를 방정식으로 옮겨 그 거리들을 확정하고 높이까지 공짜로 넘겨줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 남은 밑변 구하기를 떼어내고, 도구 #8(단위 살펴보기)은 넓이 공식으로 마무리합니다. 이 풀이 전체는 공식 찾기가 아니라 하나의 기하 그림을 주의 깊게 읽는 것입니다.
실행 — 정답: D
8.G.A.5 단계 1 대칭축 그리기
- $AB = AC$이므로 꼭짓점 $A$에서 밑변 $BC$로 내린 수선은 삼각형의 대칭축이기도 합니다.
- 대칭성에 의해 내접한 각 원의 중심은 이 축 위에 놓입니다.
- 작은 원의 중심(반지름 $1$)을 $S$, 큰 원의 중심(반지름 $2$)을 $L$이라 하고 $L$이 $S$보다 아래에 있습니다.
- 원이 한 변에 닿는 곳에서, 그 접점까지의 반지름은 변과 직각을 이룹니다.
- 따라서 $A$, 한 중심, 그리고 변 $AB$ 위의 접점은 접점에서 직각을 이루고 반지름을 짧은 변으로 갖는 직각삼각형을 만듭니다.
💡 두 등변은 수선을 따라 서로 겹쳐지므로, 삼각형 안에서 균형 잡힌 것은 반드시 그 접힘선 위에 놓입니다.
8.G.A.4 단계 2 두 원이 닮은 삼각형을 만든다
- 두 직각삼각형을 봅시다.
- 꼭짓점 $A$–작은 중심 $S$–그 접점, 그리고 꼭짓점 $A$–큰 중심 $L$–그 접점입니다.
- 둘 다 $A$에서 같은 꼭지각을 포함하고 접점에서 직각을 가지므로 AA에 의해 닮음입니다.
- 닮은 직각삼각형에서 (반지름)$\div$($A$에서 중심까지의 거리)의 비는 같습니다.
- $AS = d$, $AL = D$라 하면 $\dfrac{1}{d} = \dfrac{2}{D}$이고, 이는 $D = 2d$를 뜻합니다.
- 즉 큰 중심은 $A$로부터 작은 중심의 정확히 두 배 거리에 있습니다.
💡 두 원 모두 $A$의 같은 쐐기 안에 딱 붙어 있으므로, 먼 원은 그 거리와 똑같은 비율로 커져야 합니다.
8.EE.C.8 단계 3 원이 맞닿음을 이용해 거리 구하기
- 두 원은 외접하므로 두 중심 사이의 간격은 반지름의 합과 같습니다: $SL = 1 + 2 = 3$.
- 두 중심은 축 위에 있고 $L$이 $A$에서 더 멀므로 $SL = D - d = 3$입니다.
- $D = 2d$와 합치면 $2d - d = d = 3$이므로 $d = 3$, $D = 6$입니다.
- 이제 높이입니다.
- 큰 원은 밑변 위에 놓여 있으므로 그 중심 $L$은 밑변에서 반지름만큼, 즉 $2$만큼 위에 있습니다.
- 따라서 $A$에서 밑변까지의 높이는 $AL + 2 = 6 + 2 = 8$입니다.
💡 '맞닿음'은 그림을 길이 방정식으로 바꾸고, 먼 중심이 정해지면 반지름 하나만 더 내리면 밑변에 닿습니다.
8.G.B.7 단계 4 피타고라스 정리로 밑변 구하기
- 작은 원의 직각삼각형($AS = 3$, 반지름 $= 1$)에서 축을 따르는 나머지 변은 $\sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$이므로, 축 방향 변 대 빗변의 비는 $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$입니다.
- 전체 반쪽 삼각형 $A$–수선의 발–$B$는 이것과 닮음이고(같은 꼭지각, 수선의 발에서 직각), 높이 $8$이 축 방향 변 역할을 합니다.
- 비를 맞추면 $\dfrac{8}{AB} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$이므로 $AB = \dfrac{24}{2\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$입니다.
- 그러면 피타고라스 정리로 밑변의 절반은 $\sqrt{AB^2 - 8^2} = \sqrt{72 - 64} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$이므로 전체 밑변 $BC = 4\sqrt{2}$입니다.
💡 작은 원의 삼각형은 전체 반쪽 삼각형을 축소한 복사본이라서, 그 변의 비가 진짜 삼각형을 열어 줍니다.
7.G.B.6 단계 5 넓이 계산하기
- 삼각형의 밑변은 $BC = 4\sqrt{2}$, 높이는 $8$입니다.
- 넓이는 $\dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 8 = 16\sqrt{2}$입니다.
- 이것이 선택지 $\textbf{(D)}$입니다.
💡 밑변과 높이가 손에 있으면 넓이는 그 곱의 절반일 뿐입니다.
8.G.A.5 $AB = AC$이므로 꼭짓점 $A$에서 밑변 $BC$로 내린 수선은 삼각형의 대칭축이기도 합니다. 대칭성에 의해 내접한 각 원의 중심은 이 축 8.G.A.4 두 직각삼각형을 봅시다. 꼭짓점 $A$–작은 중심 $S$–그 접점, 그리고 꼭짓점 $A$–큰 중심 $L$–그 접점입니다. 둘 다 $A$에서 같은 8.EE.C.8 두 원은 외접하므로 두 중심 사이의 간격은 반지름의 합과 같습니다: $SL = 1 + 2 = 3$. 두 중심은 축 위에 있고 $L$이 $A$에서 8.G.B.7 작은 원의 직각삼각형($AS = 3$, 반지름 $= 1$)에서 축을 따르는 나머지 변은 $\sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 7.G.B.6 삼각형의 밑변은 $BC = 4\sqrt{2}$, 높이는 $8$입니다. 넓이는 $\dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 8 검토
합리성 확인: 크기를 확인해 봅시다. $16\sqrt{2} \approx 22.6$으로, 밑변 $4\sqrt{2}\approx 5.7$과 높이 $8$인 삼각형에서 상상할 수 있는 값 사이에 자연스럽게 들어갑니다. 수치가 모두 서로 맞아떨어집니다. $AB = 6\sqrt{2}$, 밑변의 절반 $2\sqrt{2}$, 높이 $8$에서 $(2\sqrt{2})^2 + 8^2 = 8 + 64 = 72 = (6\sqrt{2})^2$이므로 직각삼각형이 정확히 닫힙니다. 두 원도 들어맞습니다. 작은 중심은 $A$에서 $3$, 큰 중심은 $6$ 떨어져 간격이 $3 = 1+2$이고, 큰 중심은 밑변에서 $8 - 6 = 2$ 위로 반지름과 일치합니다. 함정 답들은 실수에서 나옵니다. $\textbf{(E) } 24$는 $\tfrac12\cdot 6 \cdot 8$(밑변을 $4\sqrt2$ 대신 $6$으로 둠)이고, $\textbf{(A) }\tfrac{35}{2}$와 $\textbf{(C) }\tfrac{64}{3}$은 접함의 비 $D = 2d$를 견디지 못합니다.
대안 접근: 내접원 공식을 씁니다. 큰 원은 밑변과 두 등변에 모두 접하므로 삼각형의 내접원이고, 그 반지름 $r = 2$는 넓이$\,/\,$둘레의 절반과 같습니다: $2 = \dfrac{K}{s}$. 밑변 $4\sqrt2$와 등변 $6\sqrt2$에서 둘레의 절반은 $s = \dfrac{4\sqrt2 + 6\sqrt2 + 6\sqrt2}{2} = 8\sqrt2$이므로 $K = 2 \cdot 8\sqrt2 = 16\sqrt2$로 같은 넓이가 나옵니다. 이는 큰 원이 정말 내접원이고 답이 일관됨을 확인해 줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.G.A.5각의 합과 외각에 관한 사실을 비형식적 논증으로 세우기 (대칭성으로부터 두 중심이 수선 위에 있고 각 반지름이 접점에서 변과 직각을 이룸을 논증하여 직각삼각형들을 세우는 데 사용.)8.G.A.4변환을 이용해 한 평면도형이 다른 도형과 닮음임을 이해하기 (두 꼭짓점 직각삼각형을 (AA) 닮음으로 인식하여 반지름 대 꼭짓점 거리의 비가 공통임을 얻고 $D = 2d$를 유도하는 데 사용.)8.EE.C.8두 일차방정식의 연립을 분석하고 풀기 ($D - d = 3$과 $D = 2d$를 함께 풀어 꼭짓점에서 중심까지의 거리 $d = 3$, $D = 6$을 구하는 데 사용.)8.G.B.7피타고라스 정리를 적용해 직각삼각형의 미지 변의 길이 구하기 (축 방향 변 $2\sqrt2$, 변 $AB = 6\sqrt2$, 밑변의 절반 $2\sqrt2$를 구해 전체 밑변을 복원하는 데 사용.)7.G.B.6넓이, 겉넓이, 부피와 관련된 실생활 문제 풀기 (삼각형 넓이 공식 $\tfrac12 \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$를 적용해 마무리하는 데 사용.)
⭐ 이등변삼각형의 대칭축을 그으면 두 원이 모두 그 위에 놓이고, 꼭짓점 삼각형들이 닮음이라 먼 중심은 가까운 중심의 두 배 거리이며, '두 원이 접한다'가 모든 길이를 확정해 밑변 $4\sqrt2$, 높이 $8$, 넓이 $16\sqrt2$로 이어집니다.
⭐ 이등변삼각형의 대칭축을 그으면 두 원이 모두 그 위에 놓이고, 꼭짓점 삼각형들이 닮음이라 먼 중심은 가까운 중심의 두 배 거리이며, '두 원이 접한다'가 모든 길이를 확정해 밑변 $4\sqrt2$, 높이 $8$, 넓이 $16\sqrt2$로 이어집니다.
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