AMC 10 · 2006 · #16
학년 8 geometry-2d
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
A에서 밑변으로 수선을 긋기 전까지 이 그림의 구조는 숨어 있습니다. 그 수선이 대칭축이라서 두 원의 중심이 모두 그 위에 놓이고 모든 길이가 수직으로 정렬됩니다. 도구 #1(그림 그리기)은 꼭짓점 A, 각 중심, 각 원이 변에 닿는 접점이 만드는 닮은 직각삼각형들을 드러냅니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 꼭짓점에서 각 중심까지의 두 거리에 이름을 붙여, 그 삼각형들이 공유하는 모양을 깔끔한 비로 바꿉니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 '두 원이 접한다'를 방정식으로 옮겨 그 거리들을 확정하고 높이까지 공짜로 넘겨줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 남은 밑변 구하기를 떼어내고, 도구 #8(단위 살펴보기)은 넓이 공식으로 마무리합니다. 이 풀이 전체는 공식 찾기가 아니라 하나의 기하 그림을 주의 깊게 읽는 것입니다.
대칭축 그리기
AB = AC라 A에서 내린 수선이 대칭축이고, 중심 S(반지름 1)와 L(반지름 2)이 그 위에 놓입니다.
두 등변은 수선을 따라 서로 겹쳐지므로, 삼각형 안에서 균형 잡힌 것은 반드시 그 접힘선 위에 놓입니다.
8.G.A.5Draw A Diagram두 원이 닮은 삼각형을 만든다
A–중심–접점이 이루는 두 직각삼각형은 A의 각을 공유해 AA 닮음이고, 그래서 AL = 2·AS입니다.
두 원 모두 A의 같은 쐐기 안에 딱 붙어 있으므로, 먼 원은 그 거리와 똑같은 비율로 커져야 합니다.
두 원 모두 같은 구석에 붙어 있으므로, 먼 원은 그 거리와 똑같은 비율로 커진다.
▸ 왜?
접점으로 그은 반지름은 변과 직각으로 만나므로, 각 원이 그 구석의 직각삼각형 안에 놓인다.
▸ 왜?
그 삼각형들은 모든 각을 공유하므로, 대응하는 변이 하나의 일정한 비를 이룬다.
원이 맞닿음을 이용해 거리 구하기
외접이라 두 중심은 1 + 2 = 3만큼 떨어져 AS = 3, AL = 6이고, 아래 반지름 2를 더해 높이는 8입니다.
'맞닿음'은 그림을 길이 방정식으로 바꾸고, 먼 중심이 정해지면 반지름 하나만 더 내리면 밑변에 닿습니다.
8.EE.C.8Convert To Algebra피타고라스 정리로 밑변 구하기
작은 삼각형(AS = 3, 반지름 1)의 축 방향 변은 2√(2)이고, 높이 8로 키우면 밑변의 절반이 2√(2)라 BC = 4√(2)입니다.
작은 원의 삼각형은 전체 반쪽 삼각형을 축소한 복사본이라서, 그 변의 비가 진짜 삼각형을 열어 줍니다.
8.G.B.7Identify Subproblems넓이 계산하기
밑변 4√(2)와 높이 8을 곱해 반으로 나누면 16√(2), 선택지 (D)입니다.
밑변과 높이가 손에 있으면 넓이는 그 곱의 절반일 뿐입니다.
7.G.B.6Analyze The Units이등변삼각형의 대칭축을 그으면 두 원이 모두 그 위에 놓이고, 꼭짓점 삼각형들이 닮음이라 먼 중심은 가까운 중심의 두 배 거리이며, '두 원이 접한다'가 모든 길이를 확정해 밑변 4√2, 높이 8, 넓이 16√2로 이어집니다.
- 대칭축 그리기
- 두 원이 닮은 삼각형을 만든다
- 원이 맞닿음을 이용해 거리 구하기
- 피타고라스 정리로 밑변 구하기
- 넓이 계산하기
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