AMC 10 · 2006 · #19

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

sequences-arithmeticangle-sum-trianglesystematic-enumeration bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: angle-sum-trianglesequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

각의 크기(도 단위)가 등차수열을 이루는 서로 다른 양의 정수인, 서로 닮지 않은 삼각형은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

178

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 내각의 크기가 모두 서로 다른 양의 정수(도 단위)이고 등차수열(각 각이 앞의 각보다 일정한 폭만큼 큼)을 이루는 삼각형이 몇 개인지 세는 문제입니다. 세 각이 같은 삼각형은 서로 닮음이므로 하나로 취급하고, 각이 다른 삼각형만 셉니다.

주어진 것: 삼각형의 세 각은 등차수열을 이룹니다.; 각 각은 양의 정수(도)입니다.; 세 각의 크기는 서로 다릅니다.; 모든 삼각형의 세 내각의 합은 $180^\circ$입니다.; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $59$, (D) $89$, (E) $178$.

구하는 것: 조건을 모두 만족하면서 서로 닮음이 아닌 삼각형의 개수.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #14 극단의 원리, #2 빠짐없이 나열하기

세 각은 등차수열을 이룬다는 조건과 합이 $180^\circ$라는 조건으로 서로 묶여 있으므로, 가장 자연스러운 첫걸음은 변수로 이름 붙이는 것입니다(도구 #4). 세 각을 $60-d,\;60,\;60+d$로 쓰면 공차 $d$ 하나가 삼각형 전체를 결정합니다. 그다음 문제는 오직 '어떤 $d$가 허용되는가'입니다. 이는 경계값 문제이므로, '양의 정수'와 '서로 다름' 규칙에서 극단의 원리(도구 #14)로 가장 작은 $d$와 가장 큰 $d$를 짚어냅니다. 마지막으로, 허용되는 각 $d$가 서로 각이 다른(닮음 아닌) 삼각형 하나씩을 주므로, 그 범위 안의 정수 $d$를 세는 것은 깔끔한 나열 세기입니다(도구 #2).

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

세 각에 이름 붙이기

등차수열은 매번 같은 폭만큼 커집니다.
가장 작은 각을 $a$, 공통 폭(공차)을 $d$라 합시다($d>0$이면 각이 실제로 커지고 서로 달라집니다).
그러면 세 각은 $a$, $a+d$, $a+2d$입니다.

$$\text{세 각} = a,\; a+d,\; a+2d \quad (d>0)$$

💡 시작값 하나와 공통 폭 하나면 어떤 등차수열도 나타낼 수 있으므로, 문자 둘로 세 각이 모두 표현됩니다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.5 단계 2

삼각형 내각의 합 규칙 쓰기

삼각형의 세 내각은 항상 $180^\circ$로 더해집니다.
세 식을 더하면 $a+(a+d)+(a+2d) = 3a+3d = 3(a+d)$입니다.
이를 $180$과 같다고 놓으면 가운데 각이 정해집니다.

$$a+(a+d)+(a+2d) = 3(a+d) = 180$$

💡 세 항짜리 등차수열의 합은 가운데 항의 세 배이므로, 내각 합 규칙이 가운데 항을 고정합니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 3

가운데 각은 60으로 고정

$3(a+d)=180$을 $3$으로 나누면 $a+d = 60$입니다.
즉 어떤 삼각형을 고르든 가운데 각은 항상 $60^\circ$입니다.
이 중심을 기준으로 세 각을 다시 쓰면 $60-d$, $60$, $60+d$가 됩니다.

$$a+d = 60 \;\Rightarrow\; \text{세 각} = 60-d,\; 60,\; 60+d$$

💡 세 각의 평균이 $180/3 = 60$이므로, 가운데 각은 정확히 $60^\circ$일 수밖에 없습니다.

#14 극단의 원리 7.EE.B.4 단계 4

허용되는 d 값 찾기

모든 각은 양의 정수여야 하므로 $d$는 정수여야 하고, 가장 작은 각 $60-d$는 적어도 $1$ 이상이어야 합니다.
따라서 $60-d \ge 1$, 즉 $d \le 59$입니다.
서로 다름 조건은 $d \ge 1$을 요구합니다($d=0$이면 세 각이 모두 $60$).
가장 큰 각 $60+d$는 저절로 $180$ 미만으로 유지됩니다.
그러므로 $d$는 $1$부터 $59$까지의 어떤 정수든 될 수 있습니다.

$$60-d \ge 1 \;\Rightarrow\; d \le 59, \qquad d \ge 1 \;\Rightarrow\; 1 \le d \le 59$$

💡 가장 작은 각을 극단까지 밀어 보면 $1^\circ$까지 줄어들 수 있지만 그 이상은 안 되므로, 공차 $d$의 최대치가 정해집니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.EE.B.4 단계 5

삼각형 개수 세기

$1$부터 $59$까지의 각 정수 $d$는 각의 집합 $60-d,\,60,\,60+d$ 하나씩을 주고, $d$가 다르면 각의 집합도 달라지므로 서로 닮음이 아닌 삼각형이 됩니다.
$d$ 대신 $-d$를 쓰면 같은 세 각을 다시 이름 붙인 것뿐이라 새로운 삼각형이 아닙니다.
정수 $1,2,\dots,59$를 세면 $59$개의 삼각형이 되며, 이는 선택지 (C)입니다.

$$d \in \{1,2,\dots,59\} \;\Rightarrow\; 59 \text{개 삼각형} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}\ 59$$

💡 허용되는 공차 하나가 삼각형 모양 하나이므로, 답은 곧 $1$과 $59$ 사이에 들어가는 공차의 개수입니다.

[1] #4 6.EE.A.2 등차수열은 매번 같은 폭만큼 커집니다. 가장 작은 각을 $a$, 공통 폭(공차)을 $d$라 합시다($d>0$이면 각이 실제로 커지고 서로 달라집

[2] #4 8.G.A.5 삼각형의 세 내각은 항상 $180^\circ$로 더해집니다. 세 식을 더하면 $a+(a+d)+(a+2d) = 3a+3d = 3(a+d)$입니다.

[3] #4 6.EE.B.7 $3(a+d)=180$을 $3$으로 나누면 $a+d = 60$입니다. 즉 어떤 삼각형을 고르든 가운데 각은 항상 $60^\circ$입니다. 이

[4] #14 7.EE.B.4 모든 각은 양의 정수여야 하므로 $d$는 정수여야 하고, 가장 작은 각 $60-d$는 적어도 $1$ 이상이어야 합니다. 따라서 $60-d \ge

[5] #2 7.EE.B.4 $1$부터 $59$까지의 각 정수 $d$는 각의 집합 $60-d,\,60,\,60+d$ 하나씩을 주고, $d$가 다르면 각의 집합도 달라지므로

검토

합리성 확인: 양 끝을 확인해 봅시다. $d=1$이면 각은 $59,60,61$로, 합이 $180$인 서로 다른 세 양의 정수이므로 유효합니다. $d=59$이면 $1,60,119$로 역시 유효합니다. $d=60$이면 가장 작은 각이 $0^\circ$가 되어 실제 각이 아니므로, $59$가 마지막이라는 것이 맞습니다. 공차마다 삼각형이 정확히 하나씩이므로 합계는 $59$이고, 선택지 (C)와 일치합니다. 매력적인 오답들도 함정임이 확인됩니다. $89$는 가운데 각이 변할 수 있다고 잘못 본 경우, $178$은 $d$와 $-d$를 서로 다른 삼각형으로 이중으로 센 경우입니다.

대안 접근: 가장 작은 각을 직접 나열해 봅니다. 가운데 각이 $60$이므로, 가장 작은 각 $60-d$는 $1$부터 $59$까지의 정수가 될 수 있습니다(각이 커지도록 $60$보다 작아야 하고, 실제 각이 되려면 $0$보다 커야 합니다). 이는 가능한 가장 작은 각이 $59$가지이고, 각각이 삼각형 전체를 결정하므로 서로 닮음이 아닌 삼각형이 $59$개입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (등차수열을 이루는 세 각을 시작값과 공차를 이용해 $a$, $a+d$, $a+2d$의 식으로 나타내기.)
8.G.A.5 내각의 합과 외각에 관한 사실을 비형식적 논증으로 확립하기 (삼각형 세 내각의 합이 $180^\circ$라는 사실로 $3(a+d)=180$을 세우기.)
6.EE.B.7 px = q 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결하기 ($3(a+d)=180$을 풀어 고정된 가운데 각 $a+d=60$ 구하기.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내어 간단한 방정식과 부등식 세우기 ($60-d \ge 1$과 $d \ge 1$을 세우고 풀어 공차를 제한한 뒤, 정수 $1 \le d \le 59$의 개수 세기.)

⭐ 등차수열을 이루는 세 각은 평균이 $60^\circ$여야 하므로 가운데 각은 항상 $60$이고, 공차는 $1$부터 $59$까지의 어떤 정수든 될 수 있어 서로 다른 삼각형이 $59$개 나옵니다.