AMC 10 · 2006 · #19

학년 8 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
sequences-arithmeticangle-sum-trianglesystematic-enumeration bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: angle-sum-trianglesequences-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
어떤 삼각형의 세 내각의 크기가 모두 서로 다른 양의 정수(도 단위)이고 등차수열을 이룹니다. 즉 각 각은 앞의 각보다 일정한 폭만큼 큽니다. 세 각이 같은 삼각형은 서로 닮음이므로 하나로 셉니다. 서로 닮지 않은 삼각형은 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
59
(D)
89
(E)
178

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

세 각은 등차수열을 이룬다는 조건과 합이 180°라는 조건으로 서로 묶여 있으므로, 가장 자연스러운 첫걸음은 변수로 이름 붙이는 것입니다(도구 #4). 세 각을 60-d, 60, 60+d로 쓰면 공차 d 하나가 삼각형 전체를 결정합니다. 그다음 문제는 오직 '어떤 d가 허용되는가'입니다. 이는 경계값 문제이므로, '양의 정수'와 '서로 다름' 규칙에서 극단의 원리(도구 #14)로 가장 작은 d와 가장 큰 d를 짚어냅니다. 마지막으로, 허용되는 각 d가 서로 각이 다른(닮음 아닌) 삼각형 하나씩을 주므로, 그 범위 안의 정수 d를 세는 것은 깔끔한 나열 세기입니다(도구 #2).

1STEP 1

세 각에 이름 붙이기

가장 작은 각을 a, 공차를 d(양의 정수)라 하면 세 각은 a, a+d, a+2d입니다.

세 각 = a, a+d, a+2d (d ＞ 0)
2STEP 2

삼각형 내각의 합 규칙 쓰기

세 각을 더하면 3(a+d)이고 삼각형 내각의 합은 180°이므로 3(a+d) = 180입니다.

a+(a+d)+(a+2d) = 3(a+d) = 180
3STEP 3

가운데 각은 60으로 고정

3으로 나누면 a+d = 60이므로 가운데 각은 항상 60°이고 세 각은 60-d, 60, 60+d입니다.

a+d = 60 → 세 각 = 60-d, 60, 60+d
4STEP 4

허용되는 d 값 찾기

가장 작은 각 60-d가 1° 이상이고 세 각이 서로 달라야 하므로 정수 d는 1부터 59까지입니다.

60-d ≥ 1 → d ≤ 59, d ≥ 1 → 1 ≤ d ≤ 59
5STEP 5

삼각형 개수 세기

공차가 다르면 각의 집합도 달라지고 -d는 같은 집합을 다시 부른 것뿐이므로 59개의 삼각형입니다.

d ∈ {1,2,…,59} → 59 개 삼각형 → (C) 59
정답
59
양 끝을 확인해 봅시다. d=1이면 각은 59,60,61로, 합이 180인 서로 다른 세 양의 정수이므로 유효합니다. d=59이면 1,60,119로 역시 유효합니다. d=60이면 가장 작은 각이 0°가 되어 실제 각이 아니므로, 59가 마지막이라는 것이 맞습니다. 공차마다 삼각형이 정확히 하나씩이므로 합계는 59이고, 선택지 (C)와 일치합니다. 매력적인 오답들도 함정임이 확인됩니다. 89는 가운데 각이 변할 수 있다고 잘못 본 경우, 178은 d와 -d를 서로 다른 삼각형으로 이중으로 센 경우입니다.
💡핵심 정리

등차수열을 이루는 세 각은 평균이 60°여야 하므로 가운데 각은 항상 60이고, 공차는 1부터 59까지의 어떤 정수든 될 수 있어 서로 다른 삼각형이 59개 나옵니다.

  • 세 각에 이름 붙이기
  • 삼각형 내각의 합 규칙 쓰기
  • 가운데 각은 60으로 고정
  • 허용되는 d 값 찾기
  • 삼각형 개수 세기

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