AMC 10 · 2006 · #2
학년 6 arithmeticx⊗y=x3−y 로 정의한다. h⊗(h⊗h) 는 얼마인가?
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 새로운 연산을 규칙 $x \otimes y = x^3 - y$ 로 정의한다: 첫 번째 수를 세제곱한 뒤 두 번째 수를 뺀다. 이 규칙을 이용해, 모든 자리에 같은 문자 $h$ 가 들어간 $h \otimes (h \otimes h)$ 의 값을 구한다.
주어진 것: 규칙 $x \otimes y = x^3 - y$; 구할 식은 모든 자리에 $h$ 가 들어간 $h \otimes (h \otimes h)$; 선택지: (A) $-h$, (B) $0$, (C) $h$, (D) $2h$, (E) $h^3$
구하는 것: $h \otimes (h \otimes h)$ 와 같아지는 $h$ 에 대한 하나의 식
이해
문제 재정리: 새로운 연산을 규칙 $x \otimes y = x^3 - y$ 로 정의한다: 첫 번째 수를 세제곱한 뒤 두 번째 수를 뺀다. 이 규칙을 이용해, 모든 자리에 같은 문자 $h$ 가 들어간 $h \otimes (h \otimes h)$ 의 값을 구한다.
주어진 것: 규칙 $x \otimes y = x^3 - y$; 구할 식은 모든 자리에 $h$ 가 들어간 $h \otimes (h \otimes h)$; 선택지: (A) $-h$, (B) $0$, (C) $h$, (D) $2h$, (E) $h^3$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기
식 $h \otimes (h \otimes h)$ 는 한 연산이 다른 연산 안에 숨어 있으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 괄호부터 처리한 뒤 바깥 $\otimes$ 를 다루라고 말한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 안쪽 결과를 하나의 덩어리로 붙잡아 규칙의 $y$ 자리에 넣게 해 주어, 어떤 입력이 세제곱되는지 헷갈리지 않게 한다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 보면 결과는 $h$ 에 대한 단순한 식이어야 하며, 선택지 (E) $h^3$ 은 결국 상쇄되어 사라지는 항이라 조심해야 할 자연스러운 함정이다.
실행 — 정답: C
6.EE.A.2 단계 1 안쪽 연산부터 계산하기
- 괄호가 먼저이므로 $h \otimes h$ 를 계산한다.
- 규칙에 $x = h$, $y = h$ 를 넣어 첫 입력을 세제곱하고 둘째 입력을 빼면 $h^3 - h$ 가 된다.
- 이것이 안쪽 연산이 만들어내는 값이다.
💡 괄호로 묶인 규칙은 바깥에서 그 결과를 쓰기 전에 반드시 먼저 끝내야 한다.
6.EE.A.2 단계 2 그 결과를 바깥 규칙에 넣기
- 이제 문제는 $h \otimes (h^3 - h)$ 다.
- 규칙을 다시 적용하되 이번엔 $x = h$, $y = h^3 - h$ 다.
- 첫 입력만 세제곱되므로 $x^3$ 부분은 $h^3$ 이고, 둘째 입력 $h^3 - h$ 전체가 하나의 덩어리로 빼진다.
- 이를 괄호 안에 그대로 두면 뺄셈 부호가 일부에만 적용되는 실수를 막을 수 있다.
💡 둘째 입력은 아무리 길어도 $y$ 자리에 통째로 들어가 하나의 양으로 빼진다.
6.EE.A.3 단계 3 뺄셈을 분배하고 정리하기
- 덩어리 $(h^3 - h)$ 를 뺀다는 것은 $h^3$ 을 빼고 $h$ 를 다시 더한다는 뜻이므로 $h^3 - h^3 + h$ 가 된다.
- 두 $h^3$ 항은 서로 반대라 상쇄되어 $h$ 만 남는다.
- 이것이 선택지 (C)다.
- 안쪽의 $-h$ 를 빼는 것을 잊으면 (E) $h^3$ 에 이르게 되는데, 바로 이 상쇄가 이 문제의 핵심이다.
💡 차를 빼면 안쪽 각 항의 부호가 뒤집혀, 짝이 되는 $h^3$ 항끼리 서로 지워진다.
6.EE.A.2 괄호가 먼저이므로 $h \otimes h$ 를 계산한다. 규칙에 $x = h$, $y = h$ 를 넣어 첫 입력을 세제곱하고 둘째 입력을 빼면 6.EE.A.2 이제 문제는 $h \otimes (h^3 - h)$ 다. 규칙을 다시 적용하되 이번엔 $x = h$, $y = h^3 - h$ 다. 첫 입력만 6.EE.A.3 덩어리 $(h^3 - h)$ 를 뺀다는 것은 $h^3$ 을 빼고 $h$ 를 다시 더한다는 뜻이므로 $h^3 - h^3 + h$ 가 된다. 두 $ 검토
합리성 확인: 문자를 제대로 다뤘는지 수를 대입해 확인한다. $h = 2$ 라 하자. 안쪽: $2 \otimes 2 = 2^3 - 2 = 6$. 바깥: $2 \otimes 6 = 2^3 - 6 = 8 - 6 = 2$ 로 $h = 2$ 와 같다. 이 수치 결과는 선택지 (C)와 맞고 나머지를 배제한다: $h = 2$ 일 때 (A) $-h = -2$, (B) $0$, (D) $2h = 4$, (E) $h^3 = 8$ 은 모두 틀리므로 (C)만 남는다.
대안 접근: 안쪽 값에 이름을 붙이지 않고 한 줄로 대수 계산한다: $h \otimes (h \otimes h) = h \otimes (h^3 - h) = h^3 - (h^3 - h)$. 뺄셈 부호를 분배하면 $h^3 - h^3 + h = h$ 로 똑같이 (C)가 나온다. 핵심은 바깥 규칙에서 나온 앞쪽 $h^3$ 이 둘째 입력 안에 숨어 있던 $-h^3$ 에 의해 정확히 상쇄된다는 점이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.2Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (정의 $x \otimes y = x^3 - y$ 를 적용해 $h$ 를 $x$, $y$ 자리에 대입하기 — 먼저 안쪽 연산에, 그다음 바깥 연산에.)6.EE.A.1Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (규칙의 $x^3$ 항이 만드는 세제곱 $h^3$ (그리고 검산의 $2^3 = 8$)을 읽고 다루기.)6.EE.A.3Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($h^3 - (h^3 - h)$ 에서 뺄셈을 분배하고 두 $h^3$ 항을 상쇄해 $h$ 에 이르기.)
⭐ 괄호를 먼저 끝낸 뒤 그 결과 전체를 규칙의 빼는 부분에 넣어라 — 여기서는 두 $h^3$ 이 상쇄되어 $h$ 만 남는다.
⭐ 괄호를 먼저 끝낸 뒤 그 결과 전체를 규칙의 빼는 부분에 넣어라 — 여기서는 두 $h^3$ 이 상쇄되어 $h$ 만 남는다.
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