AMC 10 · 2006 · #2

학년 6 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

function-evaluationorder-of-operationsexponents identify-subproblems ↑ 선수 지식: function-evaluation

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

새로운 연산을 규칙 x ⊗ y = x³ - y로 정의한다: 첫 번째 수를 세제곱한 뒤 두 번째 수를 뺀다. 이 규칙을 이용해, 모든 자리에 같은 문자 h가 들어간 h ⊗ (h ⊗ h)의 값을 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-h

(B)

(C)

(D)

(E)

$h^3$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

식 h ⊗ (h ⊗ h)는 한 연산이 다른 연산 안에 숨어 있으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 괄호부터 처리한 뒤 바깥 ⊗ 를 다루라고 말한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 안쪽 결과를 하나의 덩어리로 붙잡아 규칙의 y 자리에 넣게 해 주어, 어떤 입력이 세제곱되는지 헷갈리지 않게 한다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 보면 결과는 h 에 대한 단순한 식이어야 하며, 선택지 (E) h³은 결국 상쇄되어 사라지는 항이라 조심해야 할 자연스러운 함정이다.

1STEP 1

안쪽 연산부터 계산하기

괄호부터: 규칙에 x = h, y = h를 넣으면 h ⊗ h는 h³ - h가 된다.

h ⊗ h = h³ - h

2STEP 2

그 결과를 바깥 규칙에 넣기

규칙을 다시 적용해 x = h, y = h³ - h로 두면 둘째 입력 전체가 한 덩어리로 빠져 h³ - (h³ - h)가 된다.

h ⊗ (h³ - h) = h³ - (h³ - h)

3STEP 3

뺄셈을 분배하고 정리하기

부호를 뒤집으면 h³ - h³ + h이고, 두 h³ 항이 상쇄되어 h만 남는다. 선택지 (C)다.

h³ - (h³ - h) = h³ - h³ + h = h → (C)

정답

문자를 제대로 다뤘는지 수를 대입해 확인한다. h = 2라 하자. 안쪽: 2 ⊗ 2 = 2³ - 2 = 6. 바깥: 2 ⊗ 6 = 2³ - 6 = 8 - 6 = 2로 h = 2와 같다. 이 수치 결과는 선택지 (C)와 맞고 나머지를 배제한다: h = 2일 때 (A) -h = -2, (B) 0, (D) 2h = 4, (E) h³ = 8은 모두 틀리므로 (C)만 남는다.

💡핵심 정리

괄호를 먼저 끝낸 뒤 그 결과 전체를 규칙의 빼는 부분에 넣어라 — 여기서는 두 h³이 상쇄되어 h만 남는다.

안쪽 연산부터 계산하기
그 결과를 바깥 규칙에 넣기
뺄셈을 분배하고 정리하기

안쪽 연산부터 계산하기

그 결과를 바깥 규칙에 넣기

뺄셈을 분배하고 정리하기

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