AMC 10 · 2006 · #23

학년 8 geometry-2d

similar-trianglespythagorean-theoremtangent-circles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-trianglespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

중심이 $A$ 와 $B$ 인 두 원의 반지름이 각각 3과 8이다. 하나의 공통내접선이 두 원과 각각 $C$ 와 $D$ 에서 만난다. 직선 $AB$ 와 $CD$ 는 $E$ 에서 만나고, $AE=5$ 이다. $CD$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac{44}{3}$

(C)

$\sqrt{221}$

(D)

$\sqrt{255}$

(E)

$\frac{55}{3}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 원의 중심이 각각 $A$(반지름 $3$)와 $B$(반지름 $8$)이다. 두 원에 모두 접하면서 두 원 사이를 지나가는 직선(공통 내접선)이 원 $A$와는 $C$에서, 원 $B$와는 $D$에서 접한다. 이 접선이 직선 $AB$와 점 $E$에서 만나고, $AE = 5$이다. 길이 $CD$를 구하여라.

주어진 것: 원 $A$의 반지름 $AC = 3$, 원 $B$의 반지름 $BD = 8$; $CD$는 공통 내접선으로, 원 $A$에는 $C$에서, 원 $B$에는 $D$에서 접한다; 직선 $AB$와 $CD$가 점 $E$에서 만난다; $AE = 5$; 선택지: (A) $13$, (B) $\frac{44}{3}$, (C) $\sqrt{221}$, (D) $\sqrt{255}$, (E) $\frac{55}{3}$

구하는 것: 접선 위 선분 $CD$의 길이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

여기서는 도구 #1(그림 그리기)이 핵심 엔진이다. 접점으로 두 반지름을 그리면 직각 두 개가 나타나고($AC \perp CD$, $BD \perp CD$), 점 $E$가 그림을 두 직각삼각형 $ACE$와 $BDE$로 나누는데 이 둘은 $E$에서 서로 엇갈려 만난다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 $CD$를 두 조각 $CE$와 $DE$로 나누면 각 조각은 자기만의 직각삼각형 안에 들어간다. 도구 #4(변수 도입/비례)가 두 삼각형을 연결한다: 두 삼각형은 닮음이므로 변들이 $3:8$의 고정 비를 이루고, 이를 통해 알고 있는 $CE$가 미지의 $DE$로 바뀐다. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전망이다 — 길이는 $15$보다 조금 작은 양수여야 하며, 딱 떨어지는 분수는 하나뿐이다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

반지름을 긋고 직각 표시

접점 $C$로 반지름 $AC$를, 접점 $D$로 반지름 $BD$를 긋는다.
접점에서 접선과 만나는 반지름은 접선과 수직이므로 $\angle ACE = 90^\circ$이고 $\angle BDE = 90^\circ$이다.
반지름을 적어 두면 $AC = 3$, $BD = 8$이다.

$$AC = 3,\quad BD = 8,\quad \angle ACE = \angle BDE = 90^\circ$$

💡 접점으로 그은 반지름은 언제나 접선과 직각을 이루므로, 그것을 그리는 순간 직각삼각형 두 개가 공짜로 생긴다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

직각삼각형 ACE에서 CE 구하기

직각삼각형 $ACE$를 보자.
두 변은 $AC = 3$과 $CE$이고 빗변은 $AE = 5$이다.
피타고라스 정리에 의해 $CE = \sqrt{AE^2 - AC^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$이다.
(바로 $3$–$4$–$5$ 직각삼각형이다.)

$$CE = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$$

💡 $C$에서 직각이므로 주어진 두 길이 $3$과 $5$가 피타고라스로 나머지 한 변을 정해 준다.

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 3

두 삼각형은 닮음

삼각형 $ACE$와 $BDE$를 비교하자.
$E$에서의 두 각은 맞꼭지각이므로 $\angle AEC = \angle BED$이다.
또 두 삼각형 모두 직각을 가진다($\angle ACE = \angle BDE = 90^\circ$).
두 각이 같으면 나머지 한 각도 같아지므로, 각-각(AA) 조건에 의해 $\triangle ACE \sim \triangle BDE$이다.

$$\angle AEC = \angle BED,\quad \angle ACE = \angle BDE = 90^\circ \;\Rightarrow\; \triangle ACE \sim \triangle BDE$$

💡 맞꼭지각에 공통된 직각이 더해지면 두 삼각형은 크기만 다르고 모양은 같다.

#4 변수 도입하기 7.RP.A.2 단계 4

CE를 DE로 배율 확대

닮은 삼각형은 대응변이 비례한다.
같은 각의 맞은편 변끼리 $AC \leftrightarrow BD$, $CE \leftrightarrow DE$로 짝지어지므로 $\dfrac{DE}{CE} = \dfrac{BD}{AC} = \dfrac{8}{3}$이다.
따라서 $DE = CE \cdot \dfrac{8}{3} = 4 \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{32}{3}$이다.

$$\frac{DE}{CE} = \frac{BD}{AC} = \frac{8}{3} \;\Rightarrow\; DE = 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{3}$$

💡 두 번째 삼각형은 첫 번째를 $\tfrac{8}{3}$배로 확대한 것이므로 대응하는 모든 길이가 $\tfrac{8}{3}$배가 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.3 단계 5

두 조각을 더하기

내접선이므로 $E$는 두 원 사이, 즉 직선 위에서 $C$와 $D$ 사이에 놓인다.
따라서 $CD = CE + DE = 4 + \dfrac{32}{3} = \dfrac{12}{3} + \dfrac{32}{3} = \dfrac{44}{3}$이다.
이것이 선택지 (B)이다.

$$CD = CE + DE = 4 + \frac{32}{3} = \frac{44}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $E$가 두 원 사이의 틈 안에 있으므로 접선 전체는 두 조각을 더한 값일 뿐이다.

[1] #1 4.G.A.1 접점 $C$로 반지름 $AC$를, 접점 $D$로 반지름 $BD$를 긋는다. 접점에서 접선과 만나는 반지름은 접선과 수직이므로 $\angle AC

[2] #7 8.G.B.7 직각삼각형 $ACE$를 보자. 두 변은 $AC = 3$과 $CE$이고 빗변은 $AE = 5$이다. 피타고라스 정리에 의해 $CE = \sqrt{

[3] #1 8.G.A.5 삼각형 $ACE$와 $BDE$를 비교하자. $E$에서의 두 각은 맞꼭지각이므로 $\angle AEC = \angle BED$이다. 또 두 삼각형

[4] #4 7.RP.A.2 닮은 삼각형은 대응변이 비례한다. 같은 각의 맞은편 변끼리 $AC \leftrightarrow BD$, $CE \leftrightarrow DE

[5] #7 7.NS.A.3 내접선이므로 $E$는 두 원 사이, 즉 직선 위에서 $C$와 $D$ 사이에 놓인다. 따라서 $CD = CE + DE = 4 + \dfrac{32

검토

합리성 확인: 내접선 길이 공식으로 교차 검증한다. 닮음 비에서 $BE = AE \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{40}{3}$이므로 중심 거리는 $AB = AE + EB = 5 + \tfrac{40}{3} = \tfrac{55}{3}$이다. 두 원의 내접선 길이는 $\sqrt{AB^2 - (r_A + r_B)^2} = \sqrt{\left(\tfrac{55}{3}\right)^2 - 11^2} = \sqrt{\tfrac{3025}{9} - \tfrac{1089}{9}} = \sqrt{\tfrac{1936}{9}} = \tfrac{44}{3}$로, 완전히 같은 답이 나와 값이 확인된다. 수치로는 $\tfrac{44}{3} \approx 14.7$로, 반지름보다는 크고 중심 거리 $\tfrac{55}{3} \approx 18.3$보다는 작아 타당하다. 오답 선택지는 함정이다: (E) $\tfrac{55}{3}$은 중심 거리 $AB$ 그 자체이고, (A) $13$, (C) $\sqrt{221} \approx 14.9$, (D) $\sqrt{255} \approx 16.0$은 내접선과 외접선 공식을 혼동하거나 계산 실수에서 나온다.

대안 접근: 점 $E$를 건너뛰고 처음부터 접선 공식을 쓴다. $A$에서 접선 $CD$에 평행한 선을 그으면 $AC$, $BD$와 함께 직각삼각형이 만들어지는데, 두 변은 $CD$와 $r_A + r_B = 11$(내접선이라 반지름이 더해진다)이고 빗변은 $AB$이다. 먼저 닮음 비로 $AB = \tfrac{55}{3}$을 구한 뒤 $CD = \sqrt{AB^2 - 11^2} = \tfrac{44}{3}$을 얻는다. 피타고라스 한 번으로 같은 결과가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.1 Draw points, lines, line segments, rays, angles, and perpendicular and parallel lines, and identify these in two-dimensional figures (각 접점으로 반지름을 그려 두 직각 $AC \perp CD$, $BD \perp CD$를 인식하는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles in real-world and mathematical problems (직각삼각형 $ACE$에서 $CE = \sqrt{AE^2 - AC^2} = 4$를 구하는 데(그리고 대안 검증에서 $CD$를 다시 유도하는 데) 사용.)
8.G.A.5 Use informal arguments to establish facts about angles, including the angle-angle criterion for similarity of triangles ($E$에서의 맞꼭지각과 두 직각으로부터 $\triangle ACE \sim \triangle BDE$를 증명하는 데 사용.)
7.RP.A.2 Recognize and represent proportional relationships between quantities (닮음 비 $\tfrac{BD}{AC} = \tfrac{8}{3}$로 $CE = 4$를 $DE = \tfrac{32}{3}$로 확대하는 데 사용.)
7.NS.A.3 Solve real-world and mathematical problems involving the four operations with rational numbers ($CE + DE = 4 + \tfrac{32}{3} = \tfrac{44}{3}$을 공통분모로 더하는 데 사용.)

⭐ 접점으로 두 반지름을 그으면 닮은 직각삼각형 한 쌍이 튀어나온다: $3$–$4$–$5$ 삼각형이 $CE = 4$를 주고, $3:8$ 배율이 $DE = \tfrac{32}{3}$를 주며, 접선이 두 원 사이를 지나가므로 둘을 더하면 $CD = \tfrac{44}{3}$이다.