AMC 10 · 2006 · #23

학년 8 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
similar-trianglespythagorean-theoremtangent-circles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-trianglespythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
두 원의 중심이 각각 A(반지름 3)와 B(반지름 8)이다. 두 원에 모두 접하면서 두 원 사이를 지나가는 직선(공통 내접선)이 원 A와는 C에서, 원 B와는 D에서 접한다. 이 접선이 직선 AB와 점 E에서 만나고, AE = 5이다. 길이 CD를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
13
(B)
$\frac{44}{3}$
(C)
$\sqrt{221}$
(D)
$\sqrt{255}$
(E)
$\frac{55}{3}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

여기서는 도구 #1(그림 그리기)이 핵심 엔진이다. 접점으로 두 반지름을 그리면 직각 두 개가 나타나고(AC ⊥ CD, BD ⊥ CD), 점 E가 그림을 두 직각삼각형 ACE와 BDE로 나누는데 이 둘은 E에서 서로 엇갈려 만난다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 CD를 두 조각 CE와 DE로 나누면 각 조각은 자기만의 직각삼각형 안에 들어간다. 도구 #4(변수 도입/비례)가 두 삼각형을 연결한다: 두 삼각형은 닮음이므로 변들이 3:8의 고정 비를 이루고, 이를 통해 알고 있는 CE가 미지의 DE로 바뀐다. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전망이다 — 길이는 15보다 조금 작은 양수여야 하며, 딱 떨어지는 분수는 하나뿐이다.

1STEP 1

반지름을 긋고 직각 표시

접점으로 반지름 AC와 BD를 그으면 접선과 직각을 이루므로 ∠ ACE = ∠ BDE = 90°이고, AC = 3, BD = 8이다.

AC = 3, BD = 8, ∠ ACE = ∠ BDE = 90°
2STEP 2

직각삼각형 ACE에서 CE 구하기

직각삼각형 ACE에서 AC = 3, AE = 5이므로 CE = √(25 - 9) = 4, 곧 3–4–5 삼각형이다.

CE = √(5² - 3²) = √(16) = 4
3STEP 3

두 삼각형은 닮음

ACE와 BDE는 E에서 맞꼭지각이 같고 둘 다 직각을 가지므로 AA 닮음으로 △ ACE ∼ △ BDE이다.

∠ AEC = ∠ BED, ∠ ACE = ∠ BDE = 90° → △ ACE ∼ △ BDE
4STEP 4

CE를 DE로 배율 확대

대응변이 비례하므로 DE/CE = BD/AC = 8/3이고, 따라서 DE = 4 · 8/3 = 32/3이다.

DE/CE = BD/AC = 8/3 → DE = 4 · 8/3 = 32/3
5STEP 5

두 조각을 더하기

E는 두 원 사이, 곧 C와 D 사이에 있으므로 CD = 4 + 32/3 = 44/3, 선택지 (B)이다.

CD = CE + DE = 4 + 32/3 = 44/3 → (B)
정답
44/3
내접선 길이 공식으로 교차 검증한다. 닮음 비에서 BE = AE · 8/3 = 40/3이므로 중심 거리는 AB = AE + EB = 5 + 40/3 = 55/3이다. 두 원의 내접선 길이는 √(AB² - (r_A + r_B)²) = √((55/3)² - 11²) = √(3025/9 - 1089/9) = √(1936/9) = 44/3로, 완전히 같은 답이 나와 값이 확인된다. 수치로는 44/3 ≈ 14.7로, 반지름보다는 크고 중심 거리 55/3 ≈ 18.3보다는 작아 타당하다. 오답 선택지는 함정이다: (E) 55/3은 중심 거리 AB 그 자체이고, (A) 13, (C) √(221) ≈ 14.9, (D) √(255) ≈ 16.0은 내접선과 외접선 공식을 혼동하거나 계산 실수에서 나온다.
💡핵심 정리

접점으로 두 반지름을 그으면 닮은 직각삼각형 한 쌍이 튀어나온다: 3–4–5 삼각형이 CE = 4를 주고, 3:8 배율이 DE = 32/3를 주며, 접선이 두 원 사이를 지나가므로 둘을 더하면 CD = 44/3이다.

  • 반지름을 긋고 직각 표시
  • 직각삼각형 ACE에서 CE 구하기
  • 두 삼각형은 닮음
  • CE를 DE로 배율 확대
  • 두 조각을 더하기

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