AMC 10 · 2006 · #6

학년 8 arithmetic

exponentslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

실수 x가 (7x)¹⁴ = (14x)⁷을 만족한다. 좌변은 7x를 14제곱한 값이고 우변은 14x를 7제곱한 값이며, x는 0이 아니다. x의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac17$

(B)

$\frac27$

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

양변의 지수가 14와 7로 서로 달라서 곧바로 비교할 수 없다. 14제곱을 새로운 밑의 7제곱으로 바꿔 쓰면 양변이 모두 '어떤 것의 7제곱' 꼴이 되고, 그러면 두 밑이 서로 같아야 한다. 이렇게 하면 복잡해 보이는 지수 방정식이 짧은 대수 문제로 바뀐다.

1STEP 1

14 = 2 × 7이므로 7x를 두 개씩 묶으면 (7x)¹⁴ = ((7x)²)⁷ = (49x²)⁷이 되어 좌변도 7제곱 꼴이 된다.

(7x)¹⁴ = ((7x)²)⁷ = (49x²)⁷

2STEP 2

양변이 (49x²)⁷ = (14x)⁷ 꼴이고 홀수 제곱은 실수에서 일대일이므로 밑이 같아야 한다. 즉 49x² = 14x이다.

(49x²)⁷ = (14x)⁷ → 49x² = 14x

3STEP 3

x가 0이 아니므로 49x² = 14x의 양변을 공통 인수 7x로 나누면 7x = 2, 즉 x = 2/7이고 보기 (B)다.

49x²/7x = 14x/7x → 7x = 2 → x = 2/7

정답

2/7

x = 2/7을 대입하면 7x = 2, 14x = 4이다. 좌변은 2¹⁴ = 16384이고 우변은 4⁷ = (2²)⁷ = 2¹⁴ = 16384이다. 양변이 일치하므로 x = 2/7이 맞다.

💡핵심 정리

두 거듭제곱이 안 맞아 보이면, 한쪽을 고쳐 써서 지수를 같게 만들어라. 그러면 안쪽 값끼리 같아질 수밖에 없다.