AMC 10 · 2006 · #6

학년 8 arithmetic

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exponentslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$(7x)^{14}=(14x)^7$ 을 만족하는 $x$ 의 $0$ 이 아닌 실숫값은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac17$

(B)

$\frac27$

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 7x를 14제곱한 값과 14x를 7제곱한 값이 같아지는, 0이 아닌 실수 x 하나를 구한다.

주어진 것: 방정식 (7x)^{14} = (14x)^7; x는 실수이다; x는 0이 아니다

구하는 것: 양변을 같게 만드는 x의 값

이해

문제 재정리: 7x를 14제곱한 값과 14x를 7제곱한 값이 같아지는, 0이 아닌 실수 x 하나를 구한다.

주어진 것: 방정식 (7x)^{14} = (14x)^7; x는 실수이다; x는 0이 아니다

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

양변의 지수가 14와 7로 서로 달라서 곧바로 비교할 수 없다. 14제곱을 새로운 밑의 7제곱으로 바꿔 쓰면 양변이 모두 '어떤 것의 7제곱' 꼴이 되고, 그러면 두 밑이 서로 같아야 한다. 이렇게 하면 복잡해 보이는 지수 방정식이 짧은 대수 문제로 바뀐다.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 8.EE.A.1 단계 1

두 지수를 7로 맞추기

14 = 2 x 7 이므로 좌변을 7제곱 꼴로 다시 쓸 수 있다.
7x를 14번 곱한 것을 두 개씩 일곱 묶음으로 묶으면 (7x)^{14} = ((7x)^2)^7 = (49x^2)^7 이 된다.
이제 좌변은 (49x^2)^7, 우변은 (14x)^7 으로 둘 다 어떤 밑의 7제곱이다.

$$(7x)^{14} = \big((7x)^2\big)^7 = (49x^2)^7$$

💡 지수 14를 2 곱하기 7로 쪼개면 양변이 같은 바깥 지수를 갖게 된다.

#15 다르게 정리하기 8.EE.A.1 단계 2

밑을 같게 놓기

이제 양변은 모두 어떤 것을 7제곱한 꼴이다: (49x^2)^7 = (14x)^7.
7처럼 홀수 제곱은 실수에서 일대일이므로, 7제곱이 같으려면 밑이 같아야만 한다.
따라서 49x^2 = 14x 이다.

$$(49x^2)^7 = (14x)^7 \;\Rightarrow\; 49x^2 = 14x$$

💡 홀수 제곱은 서로 다른 두 실수를 겹치게 만들지 않으므로, 7제곱이 같으면 밑도 같다.

#3 가능성 지우기 8.EE.C.7 단계 3

0이 아니라는 조건 쓰기

방정식 49x^2 = 14x 는 x = 0 일 때도 성립하지만, 문제는 0이 아닌 값을 요구하므로 양변을 7x로 나눌 수 있다.
그러면 7x = 2, 즉 x = 2/7 이다.
이것은 보기 (B)와 일치한다.

$$\frac{49x^2}{7x} = \frac{14x}{7x} \;\Rightarrow\; 7x = 2 \;\Rightarrow\; x = \tfrac{2}{7}$$

💡 x가 0이 아니라는 말은 공통 인수 7x를 나눠 없앨 수 있게 해주는 허가증과 같다.

[1] #5 8.EE.A.1 14 = 2 x 7 이므로 좌변을 7제곱 꼴로 다시 쓸 수 있다. 7x를 14번 곱한 것을 두 개씩 일곱 묶음으로 묶으면 (7x)^{14} =

[2] #15 8.EE.A.1 이제 양변은 모두 어떤 것을 7제곱한 꼴이다: (49x^2)^7 = (14x)^7. 7처럼 홀수 제곱은 실수에서 일대일이므로, 7제곱이 같으려면

[3] #3 8.EE.C.7 방정식 49x^2 = 14x 는 x = 0 일 때도 성립하지만, 문제는 0이 아닌 값을 요구하므로 양변을 7x로 나눌 수 있다. 그러면 7x =

검토

합리성 확인: x = 2/7을 대입하면 7x = 2, 14x = 4이다. 좌변은 2^{14} = 16384이고 우변은 4^7 = (2^2)^7 = 2^{14} = 16384이다. 양변이 일치하므로 x = 2/7이 맞다.

대안 접근: 양변에 직접 7제곱근을 취한다(홀수 제곱근은 실수에서 유일하므로 가능). (7x)^{14/7} = 14x, 즉 (7x)^2 = 14x 이므로 49x^2 = 14x가 되고, 다시 7x = 2, x = 2/7을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.1 Know and apply the properties of integer exponents ((7x)^{14}을 (49x^2)^7으로 바꿔 양변이 지수 7을 공유하게 하고, 7제곱이 같으면 밑이 같음을 이끌어내는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (0이 아니라는 조건 아래 49x^2 = 14x를 7x로 나눠 x를 구하는 데 사용.)

⭐ 두 거듭제곱이 안 맞아 보이면, 한쪽을 고쳐 써서 지수를 같게 만들어라. 그러면 안쪽 값끼리 같아질 수밖에 없다.