AMC 10 · 2006 · #7

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Rectilinear Frame / Box Border

area-rectanglesspatial-visualization convert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

$8\times18$ 직사각형 $ABCD$ 를 그림과 같이 두 개의 합동인 육각형으로 자른다. 이때 두 육각형을 겹치지 않게 다시 배치하면 정사각형을 만들 수 있다. $y$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 6$

(B)

$\ 7$

(C)

$\ 8$

(D)

$\ 9$

(E)

$\ 10$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 가로 $18$, 세로 $8$인 직사각형 $ABCD$를 계단 모양의 선을 따라 두 개의 똑같은 육각형으로 자릅니다. 이 두 육각형은 (뒤집지 않고, 겹치지 않게) 움직여서 하나의 완전한 정사각형으로 맞출 수 있습니다. 그림에서 $y$는 왼쪽 위 모서리를 따라 나 있는 자른 선의 짧은 평평한 부분의 길이입니다(오른쪽 아래에도 똑같은 것이 있습니다). $y$를 구하세요.

주어진 것: 직사각형은 세로 $8$, 가로 $18$이므로 $8 \times 18$입니다; 한 번의 계단 모양 자르기로 합동인(똑같은) 두 육각형으로 나뉩니다; 두 육각형은 겹치지 않게 다시 배치하여 정사각형을 만들 수 있습니다; $y$는 자른 선의 왼쪽 위 평평한 부분으로, 모서리에서부터 $18$ 길이의 변을 따라 나 있습니다; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$

구하는 것: 길이 $y$

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #6 추측하고 확인하기

문제의 핵심은 두 육각형이 미끄러져 정사각형으로 합쳐지는 모습을 상상하는 것이므로 도구 #17(공간 상상하기)이 앞장섭니다: 조각이 움직이는 모습을 머릿속에 그립니다. 도구 #1(그림 그리기)이 이를 돕습니다 — 완성된 정사각형을 그려 $y$가 어디에 놓이는지 봅니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 작은 계산 한 단계를 맡습니다: 자기 자신과 곱해서 정사각형의 넓이가 되는 수를 찾습니다. 흐름은 짧습니다: 넓이가 보존되므로 정사각형의 한 변이 정해지고, $y$는 그 변의 간단한 일부입니다.

실행 — 정답: A

#17 공간 상상하기 4.MD.A.3 단계 1

넓이는 변하지 않는다

도형을 자르고 조각을 겹치지 않게 밀어 옮겨도 넓이는 늘지도 줄지도 않습니다.
그래서 정사각형은 원래 직사각형과 넓이가 같아야 합니다.
직사각형은 $8 \times 18$이므로 넓이는 $8 \times 18 = 144$입니다.

$$\text{넓이} = 8 \times 18 = 144$$

💡 조각을 다시 배치하는 것은 퍼즐 조각을 옮기는 것과 같아서, 차지하는 공간의 전체 양은 그대로입니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.A.4 단계 2

정사각형의 한 변 구하기

넓이가 $144$인 정사각형은 한 변 $s$가 $s \times s = 144$를 만족합니다.
$s = 12$를 넣으면 $12 \times 12 = 144$가 되어 맞습니다.
그러므로 정사각형의 한 변은 $12$입니다.

$$s \times s = 144 \;\Rightarrow\; s = 12 \quad (12 \times 12 = 144)$$

💡 정사각형의 넓이는 한 변을 자기 자신과 곱한 값이므로, 어떤 수를 제곱하면 $144$가 되는지 묻습니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 3

정사각형에서 y의 위치 찾기

두 육각형을 밀어서 $12 \times 12$ 정사각형으로 합칩니다.
원래 자른 선에 있던 길이 $y$의 평평한 부분은 정사각형의 한 변을 따라 놓이게 되는데, 한 꼭짓점에서 그 변의 정확히 가운데까지 이어집니다.
합동인 두 조각이 중심에서 만나기 때문입니다.
즉 $y$는 한 변의 절반입니다: $y = 12 \div 2 = 6$.
그래서 $y = 6$이고, 선택지 (A)입니다.

$$y = \dfrac{12}{2} = 6 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 똑같은 두 조각이 가운데에서 만나므로, 이음새는 정사각형 변의 딱 절반까지 이릅니다.

[1] #17 4.MD.A.3 도형을 자르고 조각을 겹치지 않게 밀어 옮겨도 넓이는 늘지도 줄지도 않습니다. 그래서 정사각형은 원래 직사각형과 넓이가 같아야 합니다. 직사각형

[2] #6 3.OA.A.4 넓이가 $144$인 정사각형은 한 변 $s$가 $s \times s = 144$를 만족합니다. $s = 12$를 넣으면 $12 \times 12

[3] #1 6.G.A.1 두 육각형을 밀어서 $12 \times 12$ 정사각형으로 합칩니다. 원래 자른 선에 있던 길이 $y$의 평평한 부분은 정사각형의 한 변을 따라

검토

합리성 확인: 숫자를 그림과 맞춰 봅니다: 한 변 $12$는 $8 \times 18$ 블록으로 만드는 정사각형으로 그럴듯한데, $12$가 $8$과 $18$ 사이에 있기 때문입니다. 그리고 $y = 6$은 $18$ 길이 변의 삼분의 일로, 자른 선이 가운데보다 훨씬 앞에서 시작하는 것과 맞습니다. 값 $6$은 주어진 선택지 중 가장 작고 깔끔한 정수이며, 정사각형에 빈틈을 남기지 않습니다.

대안 접근: 이음새 대신 가로 폭을 따라가 봅니다. 직사각형은 가로가 $18$인데 완성된 정사각형은 가로가 $12$뿐이므로, 다시 배치할 때 폭이 $18 - 12 = 6$만큼 줄어들어야 합니다. 그 줄어듦은 한 육각형을 그 평평한 계단 길이만큼 옆으로 미는 데서 전부 나오므로, 그 계단 길이는 $6$이고, 역시 $y = 6$입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.MD.A.3 직사각형의 넓이와 둘레 공식을 적용하기 (직사각형의 넓이 $8 \times 18 = 144$를 계산하며, 이는 정사각형의 넓이와 같습니다.)
3.OA.A.4 곱셈 또는 나눗셈 식에서 모르는 자연수 구하기 ($s \times s = 144$에서 정사각형의 한 변 $s$를 구해 $s = 12$를 얻습니다.)
6.G.A.1 다각형의 넓이를 직사각형으로 합치거나 삼각형 등으로 나누어 구하기 (합동인 두 육각형이 $12 \times 12$ 정사각형으로 다시 합쳐지고 $y$가 한 변의 가운데에 이른다는 것을 추론합니다.)

⭐ 자르고 다시 배치해도 넓이는 그대로이므로, 먼저 정사각형의 한 변을 구한 다음 표시된 길이가 어디에 놓이는지 읽어내세요.