AMC 10 · 2006 · #9

학년 6 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

sequences-arithmeticfactorssystematic-enumeration casework ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

묶음은 연속된 양의 정수 두 개 이상을 차례로 늘어놓은 것이다(예: 4,5,6). 합이 정확히 15가 되는 서로 다른 묶음은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

연속된 정수 묶음은 두 가지 값으로 완전히 정해진다: 어디서 시작하는지와 몇 개인지. 도구 #4(변수 도입하기)로 이 둘을 a 와 n 이라 이름 붙이면 합이 하나의 깔끔한 식 n(2a+n-1)=30으로 바뀐다. 이어 도구 #14(극단의 원리)로 묶음이 얼마나 길 수 있는지 한계를 정한다 — 양의 정수 n 개로 만드는 가장 작은 묶음의 합이 이미 1+2+…+n 인데 이것이 15를 넘을 수 없기 때문이다 — 그래서 가능한 길이는 몇 개뿐이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 몇 안 되는 길이를 하나씩 확인하며 성공하는 것을 센다.

1STEP 1

시작값과 길이에 이름 붙이기

묶음이 a에서 시작해 항이 n 개라 하자. 합이 15이므로 양변에 2를 곱하면 n(2a+n-1) = 30이다.

na + (n(n-1))/2 = 15 ⟹ n (2a + n - 1) = 30

2STEP 2

묶음의 길이에 한계 두기

모든 항이 1 이상이라 2a+n-1은 n보다 크다. 곱이 30이니 길이 n이 더 작은 인수이고, n = 2, 3, 4, 5만 확인하면 된다.

2a+n-1 ≥ n+1 ＞ n → n² ＜ 30 → 2 ≤ n ≤ 5

3STEP 3

가능한 길이마다 확인하기

다른 인수는 30/n이고, a = (30/n - n + 1)/2이 양의 정수인 n만 남는다. n=4는 a=7.5여서 탈락.

n=2→{7,8}; n=3→{4,5,6}; n=4→없음; n=5→{1,2,3,4,5}

4STEP 4

성립하는 묶음 세기

{7,8}, {4,5,6}, {1,2,3,4,5} 세 묶음이 성립하고 n=4는 실패하므로 답은 3 개, 선택지 (C)다.

3 개 묶음 → (C)

정답

찾은 각 묶음은 정말로 합이 15다: 7+8=15, 4+5+6=15, 1+2+3+4+5=15. 한계 n ≤ 5는 안전한데, 가장 작은 양의 정수 6 개로 이루어진 묶음의 합이 이미 1+2+3+4+5+6=21 ＞ 15이므로 5를 넘는 길이에서 놓친 것이 없다. 3은 선택지 한가운데에 무리 없이 들어가고 양 끝이 아니다.

💡핵심 정리

연속된 수의 묶음을 어디서 시작하고 몇 개인지로 나타내고, 합을 n(2a+n-1)=30으로 바꾼 뒤, 짧은 묶음만이 겨우 15를 이룰 수 있음을 기억하라.

시작값과 길이에 이름 붙이기
묶음의 길이에 한계 두기
가능한 길이마다 확인하기
성립하는 묶음 세기

시작값과 길이에 이름 붙이기

묶음의 길이에 한계 두기

가능한 길이마다 확인하기

성립하는 묶음 세기

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