AMC 10 · 2006 · #9
학년 6 arithmetic합이 15 인, 둘 이상의 연속하는 양의 정수로 이루어진 집합은 몇 개인가?
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 개 이상의 연속된 양의 정수로 이루어진 묶음(예: $4,5,6$) 중에서 합이 정확히 $15$ 가 되는 것이 몇 개인지 센다.
주어진 것: 각 묶음의 정수들은 연속된다(각 수는 앞의 수보다 $1$ 크다); 쓰이는 모든 정수는 양의 정수여야 한다($1, 2, 3, \dots$); 각 묶음에는 적어도 $2$ 개의 수가 들어 있어야 한다; 한 묶음의 수들의 합은 $15$ 여야 한다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$
구하는 것: 이런 연속된 양의 정수 묶음이 몇 개 있는가
이해
문제 재정리: 두 개 이상의 연속된 양의 정수로 이루어진 묶음(예: $4,5,6$) 중에서 합이 정확히 $15$ 가 되는 것이 몇 개인지 센다.
주어진 것: 각 묶음의 정수들은 연속된다(각 수는 앞의 수보다 $1$ 크다); 쓰이는 모든 정수는 양의 정수여야 한다($1, 2, 3, \dots$); 각 묶음에는 적어도 $2$ 개의 수가 들어 있어야 한다; 한 묶음의 수들의 합은 $15$ 여야 한다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #14 극단의 원리, #2 빠짐없이 나열하기
연속된 정수 묶음은 두 가지 값으로 완전히 정해진다: 어디서 시작하는지와 몇 개인지. 도구 #4(변수 도입하기)로 이 둘을 $a$ 와 $n$ 이라 이름 붙이면 합이 하나의 깔끔한 식 $n(2a+n-1)=30$ 으로 바뀐다. 이어 도구 #14(극단의 원리)로 묶음이 얼마나 길 수 있는지 한계를 정한다 — 양의 정수 $n$ 개로 만드는 가장 작은 묶음의 합이 이미 $1+2+\cdots+n$ 인데 이것이 $15$ 를 넘을 수 없기 때문이다 — 그래서 가능한 길이는 몇 개뿐이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 몇 안 되는 길이를 하나씩 확인하며 성공하는 것을 센다.
실행 — 정답: C
6.EE.A.2 단계 1 시작값과 길이에 이름 붙이기
- 묶음이 양의 정수 $a$ 에서 시작해 $n$ 개의 항을 갖는다고 하자.
- 그러면 묶음은 $a, a+1, \dots, a+(n-1)$ 이다.
- 그 합은 $a$ 를 $n$ 번 더한 것에 나머지 $0+1+\cdots+(n-1) = \tfrac{n(n-1)}{2}$ 를 더한 것이다.
- 이를 $15$ 와 같다고 놓고 양변을 $2$ 배 하면 분수가 사라지고 깔끔한 곱셈 식이 된다.
💡 연속된 수의 묶음은 어디서 시작하고 몇 개인지로 정해지므로 그 둘 모두에 이름을 붙인다.
4.OA.B.4 단계 2 묶음의 길이에 한계 두기
- 모든 항이 적어도 $1$ 이므로 두 번째 인수 $2a+n-1$ 은 적어도 $n+1$ 이고, 이는 $n$ 자체보다 크다.
- 따라서 곱 $n(2a+n-1)=30$ 에서 길이 $n$ 은 더 작은 인수이고, 이는 $n \times n < 30$ 을 뜻한다.
- 그래서 $n \le 5$ 이고, 묶음에는 적어도 $2$ 개의 수가 필요하므로 확인할 값은 $n = 2, 3, 4, 5$ 뿐이다.
💡 시작하는 수가 합을 빠르게 끌어올리므로 합이 겨우 $15$ 인 묶음은 길 수 없다.
6.EE.B.7 단계 3 가능한 길이마다 확인하기
- 각 후보 $n$ 에 대해 다른 인수는 $\tfrac{30}{n}$ 이어야 하고, 그러면 $a = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{30}{n} - n + 1\right)$ 이 양의 정수로 나와야 한다.
- $n=2$: $\tfrac{30}{2}=15$ 이므로 $a=7$, 묶음 $\{7,8\}$.
- $n=3$: $\tfrac{30}{3}=10$ 이므로 $a=4$, 묶음 $\{4,5,6\}$.
- $n=4$: $\tfrac{30}{4}=7.5$ 는 정수가 아니므로 묶음이 없다.
- $n=5$: $\tfrac{30}{5}=6$ 이므로 $a=1$, 묶음 $\{1,2,3,4,5\}$.
💡 $30$ 을 나누어떨어지게 하고 시작값이 양수로 남는 길이만 실제로 성립한다.
4.OA.B.4 단계 4 성립하는 묶음 세기
- 세 개의 길이가 연속된 양의 정수 묶음을 만들어 냈다 — $\{7,8\}$, $\{4,5,6\}$, $\{1,2,3,4,5\}$ — 반면 $n=4$ 는 실패했다.
- 모두 $3$ 개의 묶음이고, 이는 선택지 (C)다.
💡 각 길이는 많아야 하나의 묶음을 주므로 살아남은 것만 세면 된다.
6.EE.A.2 묶음이 양의 정수 $a$ 에서 시작해 $n$ 개의 항을 갖는다고 하자. 그러면 묶음은 $a, a+1, \dots, a+(n-1)$ 이다. 그 합 4.OA.B.4 모든 항이 적어도 $1$ 이므로 두 번째 인수 $2a+n-1$ 은 적어도 $n+1$ 이고, 이는 $n$ 자체보다 크다. 따라서 곱 $n(2a+n 6.EE.B.7 각 후보 $n$ 에 대해 다른 인수는 $\tfrac{30}{n}$ 이어야 하고, 그러면 $a = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{3 4.OA.B.4 세 개의 길이가 연속된 양의 정수 묶음을 만들어 냈다 — $\{7,8\}$, $\{4,5,6\}$, $\{1,2,3,4,5\}$ — 반면 $n= 검토
합리성 확인: 찾은 각 묶음은 정말로 합이 $15$ 다: $7+8=15$, $4+5+6=15$, $1+2+3+4+5=15$. 한계 $n \le 5$ 는 안전한데, 가장 작은 양의 정수 $6$ 개로 이루어진 묶음의 합이 이미 $1+2+3+4+5+6=21 > 15$ 이므로 $5$ 를 넘는 길이에서 놓친 것이 없다. $3$ 은 선택지 한가운데에 무리 없이 들어가고 양 끝이 아니다.
대안 접근: 대수 대신 평균을 쓴다. 연속된 정수 묶음은 그 한가운데에 정확히 놓이는 평균을 가지므로 (합) = (평균)$\times$(개수), 즉 평균은 $\tfrac{15}{n}$ 이어야 한다. 홀수 길이 묶음은 가운데가 정수이므로 $n$ 이 $15$ 를 나눠야 한다: $n=3$ 이면 가운데가 $5$ 로 $\{4,5,6\}$, $n=5$ 이면 가운데가 $3$ 으로 $\{1,2,3,4,5\}$($n=15$ 는 너무 길다). 짝수 길이 묶음은 평균이 반정수이므로 $\tfrac{15}{n}$ 이 $.5$ 로 끝나야 하는데 $n=2$ 만 성립해 $\{7,8\}$ 을 준다. 역시 $3$ 개 묶음, 선택지 (C)다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.2Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (시작값 $a$ 와 길이 $n$ 에 이름을 붙이고 합을 $n(2a+n-1)=30$ 으로 쓰기.)4.OA.B.4Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (길이를 $30$ 의 더 작은 인수로 다뤄 $n$ 의 한계를 정하고, 어떤 길이가 $30$ 을 나눠떨어지게 하는지 세기.)6.EE.B.7Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q (각 후보 길이에서 $2a+n-1=\tfrac{30}{n}$ 을 풀어 시작값 $a$ 구하기.)
⭐ 연속된 수의 묶음을 어디서 시작하고 몇 개인지로 나타내고, 합을 $n(2a+n-1)=30$ 으로 바꾼 뒤, 짧은 묶음만이 겨우 $15$ 를 이룰 수 있음을 기억하라.
⭐ 연속된 수의 묶음을 어디서 시작하고 몇 개인지로 나타내고, 합을 $n(2a+n-1)=30$ 으로 바꾼 뒤, 짧은 묶음만이 겨우 $15$ 를 이룰 수 있음을 기억하라.
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