AMC 10 · 2006 · #1

학년 7 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
exponentsparitypattern-recognition identify-subproblems ↑ 선수 지식: exponentsparity
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
합 (-1)¹ + (-1)² + (-1)³ + … + (-1)²⁰⁰⁶에서 밑은 항상 -1이고, 지수는 1부터 2006까지의 모든 자연수를 차례로 지난다. 이 합 전체가 나타내는 하나의 수는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
-2006
(B)
-1
(C)
0
(D)
1
(E)
2006

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

항이 2006 개나 되므로 하나씩 더하는 것은 무리다. 도구 #5(패턴 찾기)로 각 항이 -1, +1, -1, +1, … 로 번갈아 나온다는 것을 알아챈다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 긴 합을 두 항씩 짝지으면 각 짝이 0으로 사라진다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 보면, (-1)ⁿ 은 항상 ± 1 뿐이므로 합이 ± 2006 처럼 커질 수 없어 (A)와 (E)는 계산하기도 전에 지워진다.

1STEP 1

각 항의 값 확인하기

-1을 곱할 때마다 부호가 뒤집히므로 (-1)ⁿ은 홀수 지수에서 -1, 짝수 지수에서 +1이다.

(-1)¹=-1, (-1)²=+1, (-1)³=-1, (-1)⁴=+1, …
2STEP 2

두 항씩 짝짓기

홀수 번째 항과 바로 뒤의 짝수 번째 항을 묶으면 모든 짝이 (-1) + (+1) = 0이다.

(-1+1)₀ + (-1+1)₀ + … = 0 + 0 + …
3STEP 3

짝의 개수를 세고 마무리하기

2006은 짝수라서 항은 남김없이 1003개의 완전한 짝을 이루므로, 총합은 0, 즉 (C)다.

2006 ÷ 2 = 1003 개의 짝, 1003 × 0 = 0 → (C)
정답
0
각 항은 -1 또는 +1뿐이라 누적 합이 0에서 멀리 벗어날 수 없으므로, 그것만으로 (A) -2006과 (E) 2006은 곧바로 지워진다. 2006이 짝수이므로 -1의 개수와 +1의 개수가 각각 1003개로 같아 정확히 상쇄되고, 남는 ± 1이 없어 (B)와 (D)도 제거되며 0이 확정된다. 짧은 경우로 확인해 보면 (-1)¹+(-1)²=0, (-1)¹+…+(-1)⁴=0처럼 항의 개수가 짝수인 합은 언제나 0에 놓인다.
💡핵심 정리

-1의 거듭제곱은 -1과 +1 사이를 오갈 뿐이니 두 개씩 짝지어라 — 각 짝은 0으로 상쇄되고, 항의 개수가 짝수이면 아무것도 남지 않는다.

  • 각 항의 값 확인하기
  • 두 항씩 짝짓기
  • 짝의 개수를 세고 마무리하기

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