AMC 10 · 2006 · #1

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

exponentsparitypattern-recognition identify-subproblems ↑ 선수 지식: exponentsparity

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

$(-1)^{1} + (-1)^{2} + ... + (-1)^{2006}$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-2006

(B)

-1

(C)

(D)

(E)

2006

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 지수가 $1$부터 $2006$까지의 모든 자연수를 차례로 지날 때, 거듭제곱의 합 $(-1)^1 + (-1)^2 + (-1)^3 + \cdots + (-1)^{2006}$ 을 구한다.

주어진 것: 합 $(-1)^1 + (-1)^2 + \cdots + (-1)^{2006}$; 밑은 항상 $-1$ 이고, 지수만 $1,2,3,\dots,2006$ 으로 변한다; 선택지: (A) $-2006$, (B) $-1$, (C) $0$, (D) $1$, (E) $2006$

구하는 것: 이 합 전체가 나타내는 하나의 수

이해

문제 재정리: 지수가 $1$부터 $2006$까지의 모든 자연수를 차례로 지날 때, 거듭제곱의 합 $(-1)^1 + (-1)^2 + (-1)^3 + \cdots + (-1)^{2006}$ 을 구한다.

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

항이 $2006$ 개나 되므로 하나씩 더하는 것은 무리다. 도구 #5(패턴 찾기)로 각 항이 $-1, +1, -1, +1, \dots$ 로 번갈아 나온다는 것을 알아챈다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 긴 합을 두 항씩 짝지으면 각 짝이 $0$ 으로 사라진다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 보면, $(-1)^n$ 은 항상 $\pm 1$ 뿐이므로 합이 $\pm 2006$ 처럼 커질 수 없어 (A)와 (E)는 계산하기도 전에 지워진다.

실행 — 정답: C

#5 패턴 찾기 6.EE.A.1 단계 1

각 항의 값 확인하기

밑 $-1$ 을 계속 곱하면 부호가 매번 뒤집힌다.
곱한 개수가 홀수이면 음수로 남고 짝수이면 양수가 되므로, $n$ 이 홀수이면 $(-1)^n = -1$, 짝수이면 $(-1)^n = +1$ 이다.
따라서 합은 $-1 + 1 - 1 + 1 - \cdots$ 처럼 $2006$ 번째 항까지 계속 번갈아 나타난다.

$$(-1)^1=-1,\ (-1)^2=+1,\ (-1)^3=-1,\ (-1)^4=+1,\ \dots$$

💡 $-1$ 의 거듭제곱은 지수가 $1$ 씩 늘 때마다 바뀌며 오직 $-1$ 또는 $+1$ 에만 놓인다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.1 단계 2

두 항씩 짝짓기

합을 이웃한 두 항씩, 즉 홀수 번째 항과 바로 뒤의 짝수 번째 항으로 묶는다.
각 짝은 $(-1) + (+1) = 0$ 이다.
예를 들어 $(-1)^1 + (-1)^2 = -1 + 1 = 0$ 이고, 뒤따르는 모든 짝에서도 똑같은 일이 일어난다.

$$\underbrace{(-1+1)}_{0} + \underbrace{(-1+1)}_{0} + \cdots = 0 + 0 + \cdots$$

💡 음수와 짝이 되는 양수가 서로 상쇄되어 각 짝이 조용히 사라진다.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.2 단계 3

짝의 개수를 세고 마무리하기

항은 $2006$ 개이고 $2006$ 은 짝수이므로, 남는 항 없이 정확히 $2006 \div 2 = 1003$ 개의 완전한 짝으로 나뉜다.
각 짝이 $0$ 이므로 총합은 $1003 \times 0 = 0$ 이다.
이것이 선택지 (C)다.
각 항은 $\pm 1$ 만 더하므로 (A) $-2006$ 과 (E) $2006$ 같은 큰 값은 불가능하고, 완벽하게 짝이 맞아떨어져 남는 $-1$ 이나 $+1$ 이 없으므로 (B)와 (D)도 지워진다.

$$2006 \div 2 = 1003 \text{ 개의 짝},\quad 1003 \times 0 = 0 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 항의 개수가 짝수이면 빈틈없이 짝지어지고, 아무리 모아도 $0$ 은 $0$ 이다.

[1] #5 6.EE.A.1 밑 $-1$ 을 계속 곱하면 부호가 매번 뒤집힌다. 곱한 개수가 홀수이면 음수로 남고 짝수이면 양수가 되므로, $n$ 이 홀수이면 $(-1)^n

[2] #7 7.NS.A.1 합을 이웃한 두 항씩, 즉 홀수 번째 항과 바로 뒤의 짝수 번째 항으로 묶는다. 각 짝은 $(-1) + (+1) = 0$ 이다. 예를 들어 $(

[3] #3 6.NS.B.2 항은 $2006$ 개이고 $2006$ 은 짝수이므로, 남는 항 없이 정확히 $2006 \div 2 = 1003$ 개의 완전한 짝으로 나뉜다. 각

검토

합리성 확인: 각 항은 $-1$ 또는 $+1$ 뿐이라 누적 합이 $0$ 에서 멀리 벗어날 수 없으므로, 그것만으로 (A) $-2006$ 과 (E) $2006$ 은 곧바로 지워진다. $2006$ 이 짝수이므로 $-1$ 의 개수와 $+1$ 의 개수가 각각 $1003$ 개로 같아 정확히 상쇄되고, 남는 $\pm 1$ 이 없어 (B)와 (D)도 제거되며 $0$ 이 확정된다. 짧은 경우로 확인해 보면 $(-1)^1+(-1)^2=0$, $(-1)^1+\cdots+(-1)^4=0$ 처럼 항의 개수가 짝수인 합은 언제나 $0$ 에 놓인다.

대안 접근: 두 종류의 항을 따로 센다. $1$ 부터 $2006$ 까지 홀수 지수는 $1003$ 개(각각 $-1$), 짝수 지수도 $1003$ 개(각각 $+1$)다. 따라서 합은 $1003 \times (-1) + 1003 \times (+1) = -1003 + 1003 = 0$ 으로, 똑같이 (C)가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (각 거듭제곱 $(-1)^n$ 을 홀수 $n$ 에서는 $-1$, 짝수 $n$ 에서는 $+1$ 로 계산하기.)
7.NS.A.1 Apply and extend previous understandings of addition and subtraction to add and subtract rational numbers (각 짝 $(-1) + (+1) = 0$ 을 더하고 음수와 양수가 상쇄됨을 파악하기.)
6.NS.B.2 Fluently divide multi-digit numbers using the standard algorithm ($2006$ 개의 항을 $2006 \div 2 = 1003$ 개의 완전한 짝으로 나누기.)

⭐ $-1$ 의 거듭제곱은 $-1$ 과 $+1$ 사이를 오갈 뿐이니 두 개씩 짝지어라 — 각 짝은 $0$ 으로 상쇄되고, 항의 개수가 짝수이면 아무것도 남지 않는다.