AMC 10 · 2006 · #11
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
합은 수천 자리 수인 2006!까지 뻗어 있으므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 핵심이다 — 십의 자리 숫자만 물으므로 거의 모든 항을 버릴 수 있어 문제가 아주 작은 합으로 줄어든다. 도구 #5(패턴 찾기)는 왜 줄어드는지를 설명한다 — 계승은 커질수록 뒤에 붙는 0이 점점 늘어나므로, 10!부터는 각 항이 00으로 끝나 십의 자리에 영향을 줄 수 없다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 매 단계에서 마지막 두 자리에만 집중하게 하여, 거대한 곱셈이나 덧셈이 전혀 필요 없게 한다.
10!이 두 개의 0으로 끝나는 이유
10!의 인수에는 5와 10이 있고 짝수도 넉넉해 100의 배수가 된다. 실제로 10!=3628800이고 00으로 끝난다.
곱이 10 하나와 짝수들에 짝지어진 또 다른 5를 모으면, 그 곱은 반드시 두 개의 0으로 끝난다.
4.OA.B.4Solve An Easier Related Problem더 큰 계승은 모두 그 0들을 유지한다
이후 계승은 10!에 자연수를 더 곱한 것이고 끝의 0은 그대로 남으므로, 11!,12!,…,2006!도 모두 00으로 끝난다.
자연수를 곱해도 뒤에 붙은 0은 절대 사라지지 않으므로, 한 항이 00으로 끝나면 영원히 무해하게 남는다.
정수를 곱해도 끝의 0은 사라지지 않으므로, 00으로 끝나는 항은 계속 무해하다.
▸ 왜?
두 개의 0으로 끝난다는 것은 100의 배수라는 뜻이며, 마지막 두 자리가 그것을 기록한다.
▸ 왜?
곱하기는 소인수를 더할 뿐이므로, 그 0을 만드는 2와 5는 결코 사라지지 않는다.
의미 있는 세 항만 남기기
따라서 십의 자리는 10!보다 작은 항들만으로 정해진다: 7!=5040, 8!=40320, 9!=362880.
00으로 끝나는 항을 모두 버리면 2000개짜리 합이 단 세 개의 수로 줄어든다.
5.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem마지막 두 자리만 더하기
마지막 두 자리끼리 더하면 40+20+80=140이라 합은 40으로 끝나고, 십의 자리는 4, 곧 (C)이다.
합의 마지막 두 자리는 부분들의 마지막 두 자리에만 달려 있으므로, 두 자리 덧셈 하나로 모든 것이 결정된다.
5.NBT.A.1Change Focus Count The Complement마지막 자리들만 중요할 때는 0으로 끝나는 수를 모두 버려라 — 여기서는 10!부터의 모든 계승이 사라지고 7!+8!+9!만 남으며, 이 합이 40으로 끝나므로 십의 자리 숫자는 4이다.
- 10!이 두 개의 0으로 끝나는 이유
- 더 큰 계승은 모두 그 0들을 유지한다
- 의미 있는 세 항만 남기기
- 마지막 두 자리만 더하기