AMC 10 · 2006 · #13

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

ratio-proportionfraction-arithmeticpercentage identify-subproblems ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Joe와 JoAnn은 각각 16온스 컵에 커피 12온스를 담고 시작한다. Joe는 먼저 커피 2온스를 마신 뒤 크림 2온스를 넣는다. JoAnn은 먼저 크림 2온스를 넣고 잘 저은 뒤 혼합액 2온스를 마신다. 이제 Joe의 컵에 든 크림과 JoAnn의 컵에 든 크림의 비를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{6}{7}$

(B)

$\frac{13}{14}$

(C)

(D)

$\frac{14}{13}$

(E)

$\frac{7}{6}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

문제는 서로 다른 두 컵을 비교하므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 'Joe의 컵에 남는 크림'과 'JoAnn의 컵에 남는 크림'을 따로 구한 뒤 나눈다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 크림의 온스와 전체 액체의 온스를 나란히 추적하여 계산을 깔끔하게 해 주는데, 이 문제의 핵심이 바로 그 추적이다. 결정적인 대목은 JoAnn이 저은 뒤 마시는 부분이다. 혼합액이 균일하므로 전체 액체의 어떤 비율만큼 마시면 크림도 같은 비율만큼 덜어진다 — 이것이 비의 아이디어다. 도구 #4(변수 도입하기)는 양에 이름을 붙이는 가벼운 보조 수단이지만, 두 소문제는 직접 계산할 만큼 구체적이다.

1STEP 1

Joe의 컵 속 크림 구하기

Joe는 커피만 있을 때 먼저 마시므로 크림은 빠지지 않고, 나중에 넣은 2온스가 그대로 남는다.

Joe의 크림=2 온스

2STEP 2

JoAnn의 혼합액 설정하기

JoAnn은 커피 12온스에 크림 2온스를 저어 14온스가 되고, 크림은 모든 모금의 $\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$ 이다.

전체=12+2=14 온스, 크림 비율=2/14=1/7

3STEP 3

JoAnn이 저은 한 모금 덜어내기

그 2온스는 균일한 컵의 $\frac{1}{7}$ 이므로 크림도 $\frac{1}{7}$ 이 빠져 $\frac{12}{7}$ 온스가 남는다.

마신 크림=1/7 × 2=2/7; 남은 크림=2-2/7=12/7 온스

4STEP 4

두 양 비교하기

Joe의 크림을 JoAnn의 크림으로 나누면 $2 \div \frac{12}{7} = 2 \cdot \frac{7}{12}$ , 곧 $\frac{7}{6}$ 이고 답은 (E)이다.

2/ 12/7 =2×7/12=14/12=7/6 → (E)

정답

7/6

두 컵 모두 같은 크림 2온스를 받았지만, JoAnn은 그중 일부를 다시 마셔 내보냈고 Joe는 그러지 않았으므로 Joe의 크림이 더 많아 비가 1보다 커야 한다. 결과 7/6≈ 1.17은 실제로 1을 조금 넘어 그 예상과 맞고, 1 이하인 선택지 (A), (B), (C)를 배제한다. JoAnn은 크림의 1/7(2/7온스)만 잃었으므로 손실이 작아 비가 1을 살짝만 넘어야 하는데, 이는 큰 값보다 7/6에 더 잘 들어맞는다.

💡핵심 정리

잘 저은 음료에서는 크림이 고르게 퍼지므로 컵의 1/7을 마시면 크림의 1/7을 마시는 셈이고, Joe는 크림을 맨 마지막에 넣어 한 모금도 마셔 없애지 않았으므로 크림이 조금 더 많다.

Joe의 컵 속 크림 구하기
JoAnn의 혼합액 설정하기
JoAnn이 저은 한 모금 덜어내기
두 양 비교하기

Joe의 컵 속 크림 구하기

JoAnn의 혼합액 설정하기

JoAnn이 저은 한 모금 덜어내기

두 양 비교하기

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