AMC 10 · 2006 · #13
학년 6 rate-ratioJoe와 JoAnn은 각각 16온스짜리 컵에 커피 12온스를 샀다. Joe는 자신의 커피를 2온스 마신 다음 크림 2온스를 넣었다. JoAnn은 크림 2온스를 넣고 커피를 잘 저은 다음 2온스를 마셨다. Joe의 커피에 든 크림의 양과 JoAnn의 커피에 든 크림의 양의 비는 얼마인가?
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 사람이 각각 $16$온스 컵에 커피 $12$온스를 담고 시작한다. Joe는 먼저 커피 $2$온스를 마신 뒤 크림 $2$온스를 넣는다. JoAnn은 먼저 크림 $2$온스를 넣고 잘 저은 뒤 혼합액 $2$온스를 마신다. 이제 Joe의 컵에 든 크림과 JoAnn의 컵에 든 크림의 비를 구하여라.
주어진 것: 각 컵은 순수한 커피 $12$온스로 시작한다 (컵 용량은 최대 $16$온스); Joe: 커피 $2$온스를 마신 뒤 크림 $2$온스를 넣는다; JoAnn: 크림 $2$온스를 넣고 잘 저은 뒤 혼합액 $2$온스를 마신다; 선택지: (A) $\frac{6}{7}$, (B) $\frac{13}{14}$, (C) $1$, (D) $\frac{14}{13}$, (E) $\frac{7}{6}$
구하는 것: (Joe의 컵 속 크림) : (JoAnn의 컵 속 크림)의 비
이해
문제 재정리: 두 사람이 각각 $16$온스 컵에 커피 $12$온스를 담고 시작한다. Joe는 먼저 커피 $2$온스를 마신 뒤 크림 $2$온스를 넣는다. JoAnn은 먼저 크림 $2$온스를 넣고 잘 저은 뒤 혼합액 $2$온스를 마신다. 이제 Joe의 컵에 든 크림과 JoAnn의 컵에 든 크림의 비를 구하여라.
주어진 것: 각 컵은 순수한 커피 $12$온스로 시작한다 (컵 용량은 최대 $16$온스); Joe: 커피 $2$온스를 마신 뒤 크림 $2$온스를 넣는다; JoAnn: 크림 $2$온스를 넣고 잘 저은 뒤 혼합액 $2$온스를 마신다; 선택지: (A) $\frac{6}{7}$, (B) $\frac{13}{14}$, (C) $1$, (D) $\frac{14}{13}$, (E) $\frac{7}{6}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #8 단위 살펴보기, #4 변수 도입하기
문제는 서로 다른 두 컵을 비교하므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 'Joe의 컵에 남는 크림'과 'JoAnn의 컵에 남는 크림'을 따로 구한 뒤 나눈다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 크림의 온스와 전체 액체의 온스를 나란히 추적하여 계산을 깔끔하게 해 주는데, 이 문제의 핵심이 바로 그 추적이다. 결정적인 대목은 JoAnn이 저은 뒤 마시는 부분이다. 혼합액이 균일하므로 전체 액체의 어떤 비율만큼 마시면 크림도 같은 비율만큼 덜어진다 — 이것이 비의 아이디어다. 도구 #4(변수 도입하기)는 양에 이름을 붙이는 가벼운 보조 수단이지만, 두 소문제는 직접 계산할 만큼 구체적이다.
실행 — 정답: E
4.OA.A.3 단계 1 Joe의 컵 속 크림 구하기
- Joe는 먼저 $2$온스를 마시는데, 이때 컵에는 커피만 있으므로 그 모금은 커피만 덜어내고 크림은 전혀 덜어내지 않는다.
- 그다음 크림 $2$온스를 붓는다.
- 크림을 넣은 뒤로는 컵에서 빠져나가는 것이 없으므로 그 크림은 전부 그대로 남는다.
💡 크림을 맨 마지막에 넣으면 마셔서 없어질 크림이 없으므로 Joe는 $2$온스를 온전히 지킨다.
6.RP.A.1 단계 2 JoAnn의 혼합액 설정하기
- JoAnn은 마시기 전에 커피 $12$온스에 크림 $2$온스를 넣어 $12+2=14$온스의 액체가 되고, 그중 $2$온스가 크림이다.
- 저은 뒤에는 크림이 고르게 퍼지므로, 크림은 모든 모금에서 $\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$을 차지한다.
💡 잘 저은 음료는 어디를 떠도 크림 대 액체의 비가 같으므로 컵 전체를 한 숫자로 나타낼 수 있다.
6.RP.A.3 단계 3 JoAnn이 저은 한 모금 덜어내기
- JoAnn은 $14$온스 혼합액 중 $2$온스를 마시는데, 이는 컵 속 전체의 $\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$이다.
- 균일하므로 그 모금은 크림도 $\frac{1}{7}$만큼 함께 가져간다.
- 즉 $\frac{1}{7}\times 2=\frac{2}{7}$온스의 크림이 빠져나간다.
- 남은 크림은 $2-\frac{2}{7}=\frac{14}{7}-\frac{2}{7}=\frac{12}{7}$온스다.
💡 저은 컵의 $\frac{1}{7}$을 마시면 그 안의 크림도 $\frac{1}{7}$을 마시는 것이다.
6.NS.A.1 단계 4 두 양 비교하기
- 이제 Joe의 크림을 JoAnn의 크림으로 나눈다.
- Joe는 $2$온스, JoAnn은 $\frac{12}{7}$온스다.
- 분수로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것이므로 $2\div\frac{12}{7}=2\times\frac{7}{12}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}$이다.
- 따라서 비는 $\frac{7}{6}$이고, 이는 선택지 (E)이다.
💡 비는 Joe의 크림이 몇 배 더 많은지를 묻는 것이므로 한 양을 다른 양으로 나눈다.
4.OA.A.3 Joe는 먼저 $2$온스를 마시는데, 이때 컵에는 커피만 있으므로 그 모금은 커피만 덜어내고 크림은 전혀 덜어내지 않는다. 그다음 크림 $2$온 6.RP.A.1 JoAnn은 마시기 전에 커피 $12$온스에 크림 $2$온스를 넣어 $12+2=14$온스의 액체가 되고, 그중 $2$온스가 크림이다. 저은 뒤에 6.RP.A.3 JoAnn은 $14$온스 혼합액 중 $2$온스를 마시는데, 이는 컵 속 전체의 $\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$이다. 균일하므로 6.NS.A.1 이제 Joe의 크림을 JoAnn의 크림으로 나눈다. Joe는 $2$온스, JoAnn은 $\frac{12}{7}$온스다. 분수로 나누는 것은 그 검토
합리성 확인: 두 컵 모두 같은 크림 $2$온스를 받았지만, JoAnn은 그중 일부를 다시 마셔 내보냈고 Joe는 그러지 않았으므로 Joe의 크림이 더 많아 비가 $1$보다 커야 한다. 결과 $\frac{7}{6}\approx 1.17$은 실제로 $1$을 조금 넘어 그 예상과 맞고, $1$ 이하인 선택지 (A), (B), (C)를 배제한다. JoAnn은 크림의 $\frac{1}{7}$($\frac{2}{7}$온스)만 잃었으므로 손실이 작아 비가 $1$을 살짝만 넘어야 하는데, 이는 큰 값보다 $\frac{7}{6}$에 더 잘 들어맞는다.
대안 접근: 분수의 분수를 피하고 정확한 온스로 계산할 수도 있다. JoAnn의 컵은 전체 $14$온스에 크림 $2$온스이므로 크림은 $\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$이다. $2$온스를 마신 뒤 같은 균일 혼합액 $12$온스가 남으므로 남은 크림은 $\frac{1}{7}\times 12=\frac{12}{7}$온스다. Joe는 여전히 $2=\frac{14}{7}$온스를 가지므로 비 $\frac{14/7}{12/7}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}$으로 다시 (E)가 된다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (Joe의 컵을 단계별로 추적하여 넣은 크림 $2$온스가 결코 빠져나가지 않음을 확인함.)6.RP.A.1Understand the concept of a ratio and use ratio language (JoAnn의 저은 컵에서 크림이 전체 액체의 $\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$임을 나타냄.)6.RP.A.3Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (균일 혼합액의 $\frac{1}{7}$을 마시면 크림도 $\frac{1}{7}$이 빠져 $\frac{12}{7}$온스가 남는다는 결론을 내림.)6.NS.A.1Interpret and compute quotients of fractions and solve word problems ($2$를 $\frac{12}{7}$로 나누어 최종 비 $\frac{7}{6}$을 구함.)
⭐ 잘 저은 음료에서는 크림이 고르게 퍼지므로 컵의 $\frac{1}{7}$을 마시면 크림의 $\frac{1}{7}$을 마시는 셈이고, Joe는 크림을 맨 마지막에 넣어 한 모금도 마셔 없애지 않았으므로 크림이 조금 더 많다.
⭐ 잘 저은 음료에서는 크림이 고르게 퍼지므로 컵의 $\frac{1}{7}$을 마시면 크림의 $\frac{1}{7}$을 마시는 셈이고, Joe는 크림을 맨 마지막에 넣어 한 모금도 마셔 없애지 않았으므로 크림이 조금 더 많다.
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