AMC 10 · 2006 · #14

학년 7 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta

vieta-formulasquadratic-equationspolynomial-roots convert-to-algebra ↑ 선수 지식: quadratic-equationsvieta-formulas

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 수 a와 b는 x²-mx+2=0의 해이고, 여기서 m은 정해지지 않은 상수이다. 이 두 수로 새로운 두 수 a+

\frac{1}{b}

와 b+

\frac{1}{a}

를 만들면, 이 둘은 x²-px+q=0의 해가 된다. 이때 두 번째 방정식에서 상수항 역할을 하는 값인 q를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{5}{2}$

(B)

$\frac{7}{2}$

(C)

(D)

$\frac{9}{2}$

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

방정식 x²-px+q=0은 q를 두 근의 곱으로 숨기고 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)를 영리하게 쓴다. 복잡한 근 a, b 자체를 찾는 대신, 그 곱 ab를 하나의 덩어리로 다루면 비에트 관계가 첫 번째 방정식에서 그 값을 공짜로 준다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 핵심 수이다. "a와 b가 무엇인가?"에서 "곱으로 표현된 q는 무엇인가?"로 시선을 옮기면, 그 곱이 오직 ab만으로 이루어진 식으로 줄어든다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 두 조각으로 나눈다. 먼저 첫 번째 방정식에서 ab를 읽어내고, 다음으로 q를 정의하는 곱을 전개한다.

1STEP 1

첫 번째 방정식에서 곱 ab 읽어내기

(x-a)(x-b)=x²-(a+b)x+ab를 x²-mx+2와 항끼리 맞추면 상수항에서 ab=2가 나온다.

(x-a)(x-b)=x²-(a+b)x+ab=x²-mx+2 → ab=2

2STEP 2

q를 두 근이 아니라 하나의 곱으로 보기

같은 규칙으로 x²-px+q=0에서 q=(a+ $\frac{1}{b}$ )(b+ $\frac{1}{a}$ )이다. 풀 것이 아니라 곱할 것이다.

q=(a+dfrac1b)(b+dfrac1a)

3STEP 3

곱 전개하기

분배하면 ab, a· $\frac{1}{a}$ =1, $\frac{1}{b}$ ·b=1, $\frac{1}{ab}$ 이므로 q=ab+ $\frac{1}{ab}$ +2이다.

q=ab+a·dfrac1a+dfrac1b · b+1/ab=ab+1+1+1/ab=ab+1/ab+2

4STEP 4

ab = 2 대입하기

ab=2이므로 역수는 $\frac{1}{2}$ 이고, q=2+ $\frac{1}{2}$ +2= $\frac{9}{2}$ , 곧 선택지 (D)이다.

q=ab+1/ab+2=2+1/2+2=9/2 → (D)

정답

9/2

답에 m이 전혀 쓰이지 않았는데, 이것이 바로 옳다. 문제가 m을 자유롭게 남겨 두었으므로 올바른 q 값은 m에 무관해야 하고,

\frac{9}{2}

가 그러하다. 구체적인 확인: ab=2가 되도록 a=b=

\sqrt{2}

(즉 m=2

\sqrt{2}

)로 잡자. 그러면 a+

\frac{1}{b}

\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}

이고 다른 근도 마찬가지이므로, 두 근의 곱은

\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{9}{2}

로 일치한다. 이 값은 선택지 (C) 4와 (E) 8 사이에 자연스럽게 놓이며, (D)와 같다.

💡핵심 정리

x²-px+q의 상수항은 두 근의 곱일 뿐이므로 a+ $\frac{1}{b}$ 와 b+ $\frac{1}{a}$ 를 곱하면 ab+ $\frac{1}{ab}$ +2로 무너지고, ab=2이면 $\frac{9}{2}$ 이다.

첫 번째 방정식에서 곱 ab 읽어내기
q를 두 근이 아니라 하나의 곱으로 보기
곱 전개하기
ab = 2 대입하기

첫 번째 방정식에서 곱 ab 읽어내기

q를 두 근이 아니라 하나의 곱으로 보기

곱 전개하기

ab = 2 대입하기

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