AMC 10 · 2006 · #14
학년 7 algebraa와 b를 방정식 x2−mx+2=0의 근이라 하자. a+b1와 b+a1가 방정식 x2−px+q=0의 근이라고 하자. q는 얼마인가?
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 수 $a$와 $b$는 $x^2-mx+2=0$의 해이다. 이 두 수로 새로운 수 $a+\frac1b$와 $b+\frac1a$를 만들면, 이 둘은 $x^2-px+q=0$의 해가 된다. 이때 두 번째 방정식에서 상수항 역할을 하는 값인 $q$를 구하여라.
주어진 것: $a$와 $b$는 $x^2-mx+2=0$의 근이다; $a+\frac1b$와 $b+\frac1a$는 $x^2-px+q=0$의 근이다; 선택지: (A) $\frac52$, (B) $\frac72$, (C) $4$, (D) $\frac92$, (E) $8$
구하는 것: $q$의 값
이해
문제 재정리: 두 수 $a$와 $b$는 $x^2-mx+2=0$의 해이다. 이 두 수로 새로운 수 $a+\frac1b$와 $b+\frac1a$를 만들면, 이 둘은 $x^2-px+q=0$의 해가 된다. 이때 두 번째 방정식에서 상수항 역할을 하는 값인 $q$를 구하여라.
주어진 것: $a$와 $b$는 $x^2-mx+2=0$의 근이다; $a+\frac1b$와 $b+\frac1a$는 $x^2-px+q=0$의 근이다; 선택지: (A) $\frac52$, (B) $\frac72$, (C) $4$, (D) $\frac92$, (E) $8$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #16 관점 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기
방정식 $x^2-px+q=0$은 $q$를 두 근의 곱으로 숨기고 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)를 영리하게 쓴다. 복잡한 근 $a$, $b$ 자체를 찾는 대신, 그 곱 $ab$를 하나의 덩어리로 다루면 비에트 관계가 첫 번째 방정식에서 그 값을 공짜로 준다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 핵심 수이다. "$a$와 $b$가 무엇인가?"에서 "곱으로 표현된 $q$는 무엇인가?"로 시선을 옮기면, 그 곱이 오직 $ab$만으로 이루어진 식으로 줄어든다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 두 조각으로 나눈다. 먼저 첫 번째 방정식에서 $ab$를 읽어내고, 다음으로 $q$를 정의하는 곱을 전개한다.
실행 — 정답: D
6.EE.A.3 단계 1 첫 번째 방정식에서 곱 ab 읽어내기
- 근이 $a$, $b$인 최고차항 계수가 1인 이차식은 $(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$로 인수분해된다.
- 이것을 $x^2-mx+2$와 항끼리 맞추면 상수항이 서로 같아야 하므로 $ab=2$이다.
- (일차항끼리 맞추면 $a+b=m$이 나오지만, 이 값은 쓸 필요조차 없다.)
💡 같은 근을 가진 두 이차식은 계수끼리 맞아떨어져야 하므로, 상수항은 곧 두 근의 곱이다.
6.EE.A.2 단계 2 q를 두 근이 아니라 하나의 곱으로 보기
- $x^2-px+q=0$에도 같은 규칙이 적용된다.
- $q$는 이 방정식의 두 근의 곱이다.
- 그 근은 $a+\frac1b$와 $b+\frac1a$이므로 $q=\left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1a\right)$이다.
- 이것이 핵심이다.
- $a$와 $b$를 결코 구하지 않고, 이 두 식을 곱하기만 하면 된다.
💡 최고차항 계수가 1인 이차식의 상수항은 언제나 두 근의 곱이므로, $q$를 구하는 것은 방정식을 푸는 것이 아니라 곱하는 것이다.
6.EE.A.3 단계 3 곱 전개하기
- 두 괄호를 분배법칙으로 한 쌍씩 곱한다.
- $a\cdot b$, 그다음 $a\cdot\frac1a=1$, 그다음 $\frac1b\cdot b=1$, 마지막으로 $\frac1b\cdot\frac1a=\frac1{ab}$.
- 가운데 두 조각은 각각 $1$이 되므로, 전체는 오직 $ab$와 그 역수에만 의존한다.
💡 교차항은 어떤 값과 그 역수를 짝지으므로 그냥 $1$로 무너지고, 곱 $ab$만 남는다.
7.NS.A.3 단계 4 ab = 2 대입하기
- 1단계에서 $ab=2$였으므로 그 역수는 $\frac12$이다.
- 둘을 전개한 식에 대입하고 유리수를 더하면 $2+\frac12+2=\frac92$이다.
- 따라서 $q=\frac92$, 곧 선택지 (D)이다.
💡 모든 문자를 알려진 곱으로 바꾸고 나면, 답은 짧은 분수 덧셈일 뿐이다.
6.EE.A.3 근이 $a$, $b$인 최고차항 계수가 1인 이차식은 $(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$로 인수분해된다. 이것을 $x^2-mx+2$ 6.EE.A.2 $x^2-px+q=0$에도 같은 규칙이 적용된다. $q$는 이 방정식의 두 근의 곱이다. 그 근은 $a+\frac1b$와 $b+\frac1a$이 6.EE.A.3 두 괄호를 분배법칙으로 한 쌍씩 곱한다. $a\cdot b$, 그다음 $a\cdot\frac1a=1$, 그다음 $\frac1b\cdot b=1$ 7.NS.A.3 1단계에서 $ab=2$였으므로 그 역수는 $\frac12$이다. 둘을 전개한 식에 대입하고 유리수를 더하면 $2+\frac12+2=\frac92 검토
합리성 확인: 답에 $m$이 전혀 쓰이지 않았는데, 이것이 바로 옳다. 문제가 $m$을 자유롭게 남겨 두었으므로 올바른 $q$ 값은 $m$에 무관해야 하고, $\frac92$가 그러하다. 구체적인 확인: $ab=2$가 되도록 $a=b=\sqrt2$ (즉 $m=2\sqrt2$)로 잡자. 그러면 $a+\frac1b=\sqrt2+\frac1{\sqrt2}=\frac{3}{\sqrt2}$이고 다른 근도 마찬가지이므로, 두 근의 곱은 $\frac{3}{\sqrt2}\cdot\frac{3}{\sqrt2}=\frac92$로 일치한다. 이 값은 선택지 (C) $4$와 (E) $8$ 사이에 자연스럽게 놓이며, (D)와 같다.
대안 접근: 두 번째 방정식에 비에트를 쓰는 대신, 각 근을 공통분모로 정리한 뒤 곱을 직접 계산해도 된다. $a+\frac1b=\frac{ab+1}{b}$, $b+\frac1a=\frac{ab+1}{a}$이므로 $q=\frac{(ab+1)^2}{ab}$이다. $ab=2$이면 이는 $\frac{(2+1)^2}{2}=\frac{9}{2}$로 같은 답이며, 왜 $ab$만이 중요한지도 깔끔하게 보여 준다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.EE.A.2Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers ($a$, $b$, $m$, $q$와 곱 $ab$를 기호로 다루고, $q$를 두 번째 방정식의 근의 곱으로 읽어내는 데 사용.)6.EE.A.3Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($(x-a)(x-b)$를 전개해 계수를 맞춰 $ab=2$를 얻고, $\left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1a\right)$를 분배법칙으로 전개하는 데 사용.)7.NS.A.3Solve real-world problems involving the four operations with rational numbers ($ab=2$를 대입하고 유리수 $2+\frac12+2$를 더해 $\frac92$을 얻는 데 사용.)
⭐ $x^2-px+q$의 상수항은 두 근의 곱일 뿐이므로 $a+\frac1b$와 $b+\frac1a$를 곱하면 $ab+\frac1{ab}+2$로 무너지고, $ab=2$이면 $\frac92$이다.
⭐ $x^2-px+q$의 상수항은 두 근의 곱일 뿐이므로 $a+\frac1b$와 $b+\frac1a$를 곱하면 $ab+\frac1{ab}+2$로 무너지고, $ab=2$이면 $\frac92$이다.
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