AMC 10 · 2006 · #15
학년 8 geometry-2d마름모 ABCD는 마름모 BFDE와 닮음이다. 마름모 ABCD의 넓이는 24이고 ∠BAD=60∘이다. 마름모 BFDE의 넓이는 얼마인가?
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 마름모 $ABCD$의 넓이는 $24$이고 한 각 $\angle BAD=60^\circ$이다. 두 번째 마름모 $BFDE$는 같은 모양(즉 $ABCD$와 닮음)이며 대각선 $BD$를 공유한다. 마름모 $BFDE$의 넓이를 구하여라.
주어진 것: $ABCD$는 $\angle BAD=60^\circ$인 마름모이다; 마름모 $ABCD$의 넓이는 $24$이다; 마름모 $BFDE$는 마름모 $ABCD$와 닮음이다; $B$와 $D$는 두 마름모 모두의 꼭짓점이므로 선분 $BD$는 두 마름모 각각의 대각선이다; 선택지: (A) $6$, (B) $4\sqrt{3}$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $6\sqrt{3}$
구하는 것: 마름모 $BFDE$의 넓이
이해
문제 재정리: 마름모 $ABCD$의 넓이는 $24$이고 한 각 $\angle BAD=60^\circ$이다. 두 번째 마름모 $BFDE$는 같은 모양(즉 $ABCD$와 닮음)이며 대각선 $BD$를 공유한다. 마름모 $BFDE$의 넓이를 구하여라.
주어진 것: $ABCD$는 $\angle BAD=60^\circ$인 마름모이다; 마름모 $ABCD$의 넓이는 $24$이다; 마름모 $BFDE$는 마름모 $ABCD$와 닮음이다; $B$와 $D$는 두 마름모 모두의 꼭짓점이므로 선분 $BD$는 두 마름모 각각의 대각선이다; 선택지: (A) $6$, (B) $4\sqrt{3}$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $6\sqrt{3}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기
문제 전체가 하나의 그림 안에 담겨 있으므로 도구 #1(그림 그리기)이 핵심이다. 마름모를 잘 읽으면 $BD$가 두 마름모 모두의 대각선이라는 것과, $60^\circ$ 각이 삼각형 $ABD$를 정삼각형으로 만든다는 것을 알 수 있다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 작업을 두 갈래로 나눈다 — 먼저 넓이에서 $ABCD$의 두 대각선을 확정하고, 그다음 두 마름모를 비교한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 공통 변의 길이를 $s$로 두어 모든 대각선을 한 문자로 나타내게 하며, 바로 이것이 공유 대각선 $BD$가 큰 마름모와 작은 마름모를 잇게 하는 열쇠이다.
실행 — 정답: C
7.G.A.2 단계 1 60도 각이 정삼각형을 만든다
- 마름모 $ABCD$의 각 변을 $s$라 하자.
- 대각선 $BD$를 그으면 삼각형 $ABD$에서 두 변 $AB$와 $AD$가 모두 $s$이고 그 사이 각이 $\angle BAD=60^\circ$이다.
- 꼭지각이 $60^\circ$인 이등변삼각형은 정삼각형이므로 나머지 변 $BD$도 $s$와 같다.
- 이 $BD$는 $ABCD$의 짧은 대각선(두 $120^\circ$ 꼭짓점 $B$와 $D$를 잇는다)이며, 안쪽 마름모 $BFDE$의 대각선이 될 바로 그 선분이다.
💡 길이가 같은 두 변과 그 사이의 60도 각이 있으면 나머지 변도 같아지므로, 짧은 대각선이 변과 같아진다.
8.G.B.7 단계 2 긴 대각선과 넓이를 구한다
- 마름모의 두 대각선은 직각으로 만나 서로를 이등분한다.
- $BD$의 절반은 $\tfrac{s}{2}$이고, 이는 변 $s$를 빗변으로, 긴 대각선 $AC$의 절반을 다른 한 변으로 하는 직각삼각형을 이룬다.
- 따라서 $\left(\tfrac{AC}{2}\right)^2=s^2-\left(\tfrac{s}{2}\right)^2=\tfrac{3s^2}{4}$이고 $AC=s\sqrt{3}$이다.
- 마름모의 넓이는 두 대각선 곱의 절반이므로 $\tfrac12\cdot BD\cdot AC=\tfrac12\cdot s\cdot s\sqrt3=\tfrac{\sqrt3}{2}s^2$이다.
- 이것이 $24$와 같으므로 $\tfrac{\sqrt3}{2}s^2=24$이다.
💡 마름모를 두 대각선으로 자르면 네 개의 직각삼각형이 생기므로, 피타고라스 정리가 남은 대각선을 알려준다.
8.G.A.4 단계 3 작은 마름모 안에서 BD의 위치를 찾는다
- 마름모 $BFDE$는 $ABCD$와 닮음이므로 같은 $60^\circ/120^\circ$ 모양을 가지며 같은 규칙을 따른다: 짧은 대각선은 변과 같고, 긴 대각선은 변의 $\sqrt3$배이다.
- 선분 $BD=s$는 $BFDE$의 대각선이기도 하다.
- 만약 $BD$가 $BFDE$의 짧은 대각선이라면 $BFDE$의 변도 $s$가 되어 $ABCD$와 합동이 되지만, $BFDE$는 더 작은 안쪽 마름모이므로 그럴 수 없다.
- 따라서 $BD$는 $BFDE$의 긴 대각선이다.
- $BFDE$의 변을 $t$라 하면 긴 대각선은 $t\sqrt3$이므로 $t\sqrt3=s$이고, 이로부터 $t=\tfrac{s}{\sqrt3}$, $t^2=\tfrac{s^2}{3}$이다.
💡 공유하는 대각선이 큰 마름모에는 짧은 대각선이지만 작은 마름모에는 긴 대각선이며, 바로 그래서 안쪽 마름모가 작아진다.
7.RP.A.3 단계 4 BFDE의 넓이를 계산한다
- 마름모 $BFDE$는 $ABCD$와 같은 모양이므로 그 넓이도 같은 공식 $\tfrac{\sqrt3}{2}(\text{변})^2$을 따른다.
- $t^2=\tfrac{s^2}{3}$을 쓰면 $\text{넓이}_{BFDE}=\tfrac{\sqrt3}{2}t^2=\tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{s^2}{3}=\tfrac13\left(\tfrac{\sqrt3}{2}s^2\right)=\tfrac13\cdot 24=8$이다.
- 마름모 $BFDE$의 넓이는 $8$이며, 이는 선택지 (C)이다.
💡 작은 마름모는 같은 모양을 줄여 만든 것이므로, 그 넓이는 큰 것의 깔끔한 분수가 된다.
7.G.A.2 마름모 $ABCD$의 각 변을 $s$라 하자. 대각선 $BD$를 그으면 삼각형 $ABD$에서 두 변 $AB$와 $AD$가 모두 $s$이고 그 사 8.G.B.7 마름모의 두 대각선은 직각으로 만나 서로를 이등분한다. $BD$의 절반은 $\tfrac{s}{2}$이고, 이는 변 $s$를 빗변으로, 긴 대각선 8.G.A.4 마름모 $BFDE$는 $ABCD$와 닮음이므로 같은 $60^\circ/120^\circ$ 모양을 가지며 같은 규칙을 따른다: 짧은 대각선은 변과 7.RP.A.3 마름모 $BFDE$는 $ABCD$와 같은 모양이므로 그 넓이도 같은 공식 $\tfrac{\sqrt3}{2}(\text{변})^2$을 따른다. $ 검토
합리성 확인: 답 $8$은 주어진 넓이 $24$의 정확히 삼분의 일이며, 이는 그림과 잘 맞는다: 안쪽 마름모 $BFDE$는 분명히 $ABCD$보다 작고, 넓이의 삼분의 일은 그럴듯한 줄어듦이다. 또한 닮음 검사도 통과한다 — 넓이는 길이 비의 제곱으로 변하고 변의 비가 $t/s=1/\sqrt3$이므로 넓이 비는 $(1/\sqrt3)^2=1/3$으로 $24\to 8$과 일치한다. 오답 $9$, $6$, $6\sqrt3$, $4\sqrt3$은 이 깔끔한 $1/3$ 비례에서 나오지 않는다.
대안 접근: 그림을 직접 분할한다. $ABCD$의 두 대각선과 대각선 $AC$를 그으면 $60^\circ$ 마름모 $ABCD$가 두 정삼각형 $ABD$와 $CBD$로 나뉘고, 안쪽 마름모 $BFDE$는 합동인 더 작은 삼각형들로 이루어짐을 알 수 있다. 이 합동 조각들을 세어 보면 $BFDE$가 $ABCD$의 정확히 삼분의 일을 덮으므로, 변의 길이를 계산하지 않고도 넓이는 $\tfrac13\cdot 24=8$이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
7.G.A.2Draw geometric shapes with given conditions including triangles ($60^\circ$ 각을 가진 이등변삼각형이 정삼각형임을 알아차려 대각선 $BD$가 변 $s$와 같음을 얻는 데 사용.)8.G.B.7Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (절반 대각선이 이루는 직각삼각형에서 긴 대각선 $AC=s\sqrt3$을 구하고 넓이 $\tfrac{\sqrt3}{2}s^2$을 얻는 데 사용.)8.G.A.4Understand that a two-dimensional figure is similar to another using transformations ($BFDE$가 $ABCD$와 닮음임을 이용해 $BD$가 $BFDE$의 긴 대각선이고 $t=s/\sqrt3$임을 결론짓는 데 사용.)7.RP.A.3Use proportional relationships to solve multi-step ratio and percent problems (넓이를 비 $t^2/s^2=1/3$로 축소하여 $\tfrac13\cdot 24=8$을 얻는 데 사용.)
⭐ 닮은 두 도형이 한 선분을 공유할 때, 그 선분이 각 도형에서 긴 대각선인지 짧은 대각선인지를 따져 보라 — 여기서 $BD$는 큰 마름모에는 짧은 대각선이지만 작은 마름모에는 긴 대각선이어서, 작은 넓이가 정확히 삼분의 일인 $8$이 된다.
⭐ 닮은 두 도형이 한 선분을 공유할 때, 그 선분이 각 도형에서 긴 대각선인지 짧은 대각선인지를 따져 보라 — 여기서 $BD$는 큰 마름모에는 짧은 대각선이지만 작은 마름모에는 긴 대각선이어서, 작은 넓이가 정확히 삼분의 일인 $8$이 된다.
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