AMC 10 · 2006 · #15
학년 8 geometry-2d
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문제 전체가 하나의 그림 안에 담겨 있으므로 도구 #1(그림 그리기)이 핵심이다. 마름모를 잘 읽으면 BD가 두 마름모 모두의 대각선이라는 것과, 60° 각이 삼각형 ABD를 정삼각형으로 만든다는 것을 알 수 있다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 작업을 두 갈래로 나눈다 — 먼저 넓이에서 ABCD의 두 대각선을 확정하고, 그다음 두 마름모를 비교한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 공통 변의 길이를 s로 두어 모든 대각선을 한 문자로 나타내게 하며, 바로 이것이 공유 대각선 BD가 큰 마름모와 작은 마름모를 잇게 하는 열쇠이다.
60도 각이 정삼각형을 만든다
변을 s라 하고 대각선 BD를 긋자. AB=AD=s이고 낀 각이 60°이므로 삼각형 ABD는 정삼각형, 즉 BD=s이다.
길이가 같은 두 변과 그 사이의 60도 각이 있으면 나머지 변도 같아지므로, 짧은 대각선이 변과 같아진다.
같은 두 변 사이에 60도 각이 있으면 셋째 변도 같아질 수밖에 없다.
▸ 왜?
변이 같으면 마주보는 두 각이 같아지므로, 나머지 두 각이 서로 같아야 한다.
▸ 왜?
세 각의 합이 평각이므로, 60도 옆의 같은 두 각도 각각 60도여야 한다.
긴 대각선과 넓이를 구한다
두 대각선은 직각으로 서로를 이등분하므로 AC=s√3이고, 넓이는 1/2·BD·AC, 즉 √3/2s²=24이다.
마름모를 두 대각선으로 자르면 네 개의 직각삼각형이 생기므로, 피타고라스 정리가 남은 대각선을 알려준다.
8.G.B.7Identify Subproblems작은 마름모 안에서 BD의 위치를 찾는다
닮음이므로 BFDE의 긴 대각선은 변의 √3배이고, BD=s가 그 긴 대각선이니 t=s/√3, t²=s²/3이다.
공유하는 대각선이 큰 마름모에는 짧은 대각선이지만 작은 마름모에는 긴 대각선이며, 바로 그래서 안쪽 마름모가 작아진다.
8.G.A.4Introduce A VariableBFDE의 넓이를 계산한다
같은 모양이니 넓이 공식도 같아서 √3/2t²=1/3(√3/2s²)=1/3·24=8, 즉 (C)이다.
작은 마름모는 같은 모양을 줄여 만든 것이므로, 그 넓이는 큰 것의 깔끔한 분수가 된다.
7.RP.A.3Identify Subproblems닮은 두 도형이 한 선분을 공유할 때, 그 선분이 각 도형에서 긴 대각선인지 짧은 대각선인지를 따져 보라 — 여기서 BD는 큰 마름모에는 짧은 대각선이지만 작은 마름모에는 긴 대각선이어서, 작은 넓이가 정확히 삼분의 일인 8이 된다.
- 60도 각이 정삼각형을 만든다
- 긴 대각선과 넓이를 구한다
- 작은 마름모 안에서 BD의 위치를 찾는다
- BFDE의 넓이를 계산한다
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