AMC 10 · 2006 · #2

학년 7 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

function-evaluationdifference-of-squaresorder-of-operations identify-subproblems ↑ 선수 지식: function-evaluation

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

실수 x, y에 대해 새로 정의된 연산 ♠가 x ♠ y = (x+y)(x-y)로 주어진다. 이 규칙을 이용해 3 ♠ (4 ♠ 5)의 값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-72

(B)

-27

(C)

-24

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

식은 한 ♠가 다른 ♠를 감싼 모양이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)에 따라 안쪽 연산 4 ♠ 5를 먼저 풀어 하나의 수를 얻은 뒤, 그 수를 바깥쪽 3 ♠ ( )에 넣는다. (x+y)(x-y)가 곱셈 공식 x²-y²(제곱의 차)임을 알아채면 각 ♠가 '제곱 빼기 제곱'으로 빠르게 계산된다. 도구 #3(가능성 지우기)은 핵심 함정을 막는다: 이 연산은 결합법칙이 성립하지 않으므로 3과 4를 먼저 잡거나 x와 y를 바꾸면 오답 선택지로 빠진다.

1STEP 1

규칙을 제곱의 차로 읽기

(x+y)(x-y)를 전개하면 +xy와 -xy가 상쇄돼 x² - y²만 남는다. 모든 ♠는 제곱의 차일 뿐이다.

x ♠ y = (x+y)(x-y) = x² - y²

2STEP 2

안쪽 연산 먼저 하기

괄호 안은 x=4, y=5이므로 4 ♠ 5 = 16 - 25 = -9. 더 큰 제곱을 빼니 음수가 된다.

4 ♠ 5 = 4² - 5² = 16 - 25 = -9

3STEP 3

그 결과를 바깥쪽 연산에 넣기

이제 3 ♠ (-9)이므로 3² - (-9)² = 9 - 81 = -72, 곧 (A). -9의 제곱은 +81이다.

3 ♠ (-9) = 3² - (-9)² = 9 - 81 = -72 → (A)

정답

-72

각 ♠는 '제곱 빼기 제곱'이고, 마지막 단계에서 9에서 81을 빼므로 큰 음수가 나오는 것이 자연스럽다 — 따라서 양수 선택지 (D) 24와 (E) 72는 바로 배제된다. -9를 제대로 +81로 제곱한 것(-81이 아니라)이 핵심이며, -81로 잘못 보면 9-(-81)=90이 되어 선택지에도 없으므로 부호를 옳게 다뤘음이 확인된다. 크기 72도 81-9와 일치하므로 -72는 앞뒤가 맞는다.

💡핵심 정리

새로 정의된 기호가 공식으로 주어지면 괄호 안의 연산을 먼저 하고 그 수를 바깥쪽 연산에 넣어라 — 제곱을 뺄 때는 부호를 조심해야 한다.

규칙을 제곱의 차로 읽기
안쪽 연산 먼저 하기
그 결과를 바깥쪽 연산에 넣기

규칙을 제곱의 차로 읽기

안쪽 연산 먼저 하기

그 결과를 바깥쪽 연산에 넣기

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