AMC 10 · 2006 · #2

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

function-evaluationdifference-of-squaresorder-of-operations identify-subproblems ↑ 선수 지식: function-evaluation

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

실수 $x$ 와 $y$ 에 대하여 $x \spadesuit y = (x+y)(x-y)$ 로 정의한다. $3 \spadesuit (4 \spadesuit 5)$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-72

(B)

-27

(C)

-24

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 실수 $x$, $y$에 대해 새로 정의된 연산 $\spadesuit$가 $x \spadesuit y = (x+y)(x-y)$로 주어진다. 이 규칙을 이용해 $3 \spadesuit (4 \spadesuit 5)$의 값을 구하라.

주어진 것: 임의의 실수 $x$, $y$에 대한 규칙 $x \spadesuit y = (x+y)(x-y)$; 괄호 안의 연산을 먼저 하도록 되어 있는 중첩 식 $3 \spadesuit (4 \spadesuit 5)$; 선택지: (A) $-72$, (B) $-27$, (C) $-24$, (D) $24$, (E) $72$

구하는 것: $3 \spadesuit (4 \spadesuit 5)$가 나타내는 하나의 값

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

식은 한 $\spadesuit$가 다른 $\spadesuit$를 감싼 모양이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)에 따라 안쪽 연산 $4 \spadesuit 5$를 먼저 풀어 하나의 수를 얻은 뒤, 그 수를 바깥쪽 $3 \spadesuit (\;)$에 넣는다. $(x+y)(x-y)$가 곱셈 공식 $x^2-y^2$(제곱의 차)임을 알아채면 각 $\spadesuit$가 '제곱 빼기 제곱'으로 빠르게 계산된다. 도구 #3(가능성 지우기)은 핵심 함정을 막는다: 이 연산은 결합법칙이 성립하지 않으므로 $3$과 $4$를 먼저 잡거나 $x$와 $y$를 바꾸면 오답 선택지로 빠진다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 1

규칙을 제곱의 차로 읽기

규칙 $x \spadesuit y = (x+y)(x-y)$는 합과 차를 곱한다.
$(x+y)(x-y)$를 전개하면 $x^2 - y^2$이 되는데, 교차항 $+xy$와 $-xy$가 서로 상쇄되기 때문이다.
따라서 모든 $\spadesuit$는 '첫 번째 수의 제곱 빼기 두 번째 수의 제곱'일 뿐이다.
두 연산 모두에 이 지름길을 쓴다.

$$x \spadesuit y = (x+y)(x-y) = x^2 - y^2$$

💡 합과 그에 대응하는 차의 곱은 언제나 한 제곱에서 다른 제곱을 뺀 것으로 정리된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 2

안쪽 연산 먼저 하기

다른 것보다 먼저 괄호 안의 연산 $4 \spadesuit 5$를 계산한다.
여기서 왼쪽 수는 $x=4$, 오른쪽 수는 $y=5$이므로 $4^2 - 5^2 = 16 - 25$이다.
$25$가 $16$보다 크므로 결과는 $0$ 아래로 내려가 $-9$가 된다.

$$4 \spadesuit 5 = 4^2 - 5^2 = 16 - 25 = -9$$

💡 더 큰 두 번째 수를 제곱하면 그 차는 음수가 된다.

#3 가능성 지우기 7.NS.A.1 단계 3

그 결과를 바깥쪽 연산에 넣기

이제 문제는 $3 \spadesuit (-9)$이고, $x=3$, $y=-9$이다.
따라서 $3^2 - (-9)^2 = 9 - 81$이다.
$-9$의 제곱은 음수 곱하기 음수가 양수이므로 $+81$이 되고, $9 - 81 = -72$이다.
이것이 선택지 (A)이다.
대신 $3 \spadesuit 4$를 먼저 하면 $3^2-4^2=-7$이 되어 괄호를 무시하게 되므로, 이 결합법칙이 성립하지 않는 함정이 (A)를 다른 선택지와 갈라놓는다.

$$3 \spadesuit (-9) = 3^2 - (-9)^2 = 9 - 81 = -72 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 작은 제곱에서 훨씬 큰 제곱을 빼면 $0$보다 한참 아래로 내려간다.

[1] #7 6.EE.A.2 규칙 $x \spadesuit y = (x+y)(x-y)$는 합과 차를 곱한다. $(x+y)(x-y)$를 전개하면 $x^2 - y^2$이 되는데

[2] #7 6.EE.A.1 다른 것보다 먼저 괄호 안의 연산 $4 \spadesuit 5$를 계산한다. 여기서 왼쪽 수는 $x=4$, 오른쪽 수는 $y=5$이므로 $4^2

[3] #3 7.NS.A.1 이제 문제는 $3 \spadesuit (-9)$이고, $x=3$, $y=-9$이다. 따라서 $3^2 - (-9)^2 = 9 - 81$이다. $-

검토

합리성 확인: 각 $\spadesuit$는 '제곱 빼기 제곱'이고, 마지막 단계에서 $9$에서 $81$을 빼므로 큰 음수가 나오는 것이 자연스럽다 — 따라서 양수 선택지 (D) $24$와 (E) $72$는 바로 배제된다. $-9$를 제대로 $+81$로 제곱한 것(($-81$이 아니라))이 핵심이며, $-81$로 잘못 보면 $9-(-81)=90$이 되어 선택지에도 없으므로 부호를 옳게 다뤘음이 확인된다. 크기 $72$도 $81-9$와 일치하므로 $-72$는 앞뒤가 맞는다.

대안 접근: 제곱의 차 지름길을 쓰지 않고 곱셈 형태를 직접 써도 된다. 안쪽: $4 \spadesuit 5 = (4+5)(4-5) = (9)(-1) = -9$. 바깥쪽: $3 \spadesuit (-9) = (3+(-9))(3-(-9)) = (-6)(12) = -72$. 제곱을 빼는 대신 합과 차를 곱해도 같은 답 (A)에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (정의된 연산 $x \spadesuit y = (x+y)(x-y)$을 읽고, 문자 $x$와 $y$에 구체적인 수를 대입하는 데 사용.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents (제곱의 차 형태를 적용할 때 제곱 $4^2=16$, $5^2=25$, $3^2=9$, $(-9)^2=81$을 계산하는 데 사용.)
7.NS.A.1 Apply and extend understanding of addition and subtraction to rational numbers ($0$을 넘어 $16-25=-9$, $9-81=-72$을 빼며 음수 결과를 관리하는 데 사용.)

⭐ 새로 정의된 기호가 공식으로 주어지면 괄호 안의 연산을 먼저 하고 그 수를 바깥쪽 연산에 넣어라 — 제곱을 뺄 때는 부호를 조심해야 한다.