AMC 10 · 2006 · #21

학년 7 probability

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

probability-basicratio-proportionsystematic-enumeration identify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 특이한 주사위 한 쌍에서, 각 주사위로 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ 을 굴릴 확률의 비는 $1:2:3:4:5:6$ 이다. 두 주사위를 굴려 합이 $7$ 이 될 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{4}{63}$

(B)

$\frac{1}{8}$

(C)

$\frac{8}{63}$

(D)

$\frac{1}{6}$

(E)

$\frac{2}{7}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 주사위는 $1,2,3,4,5,6$이 나올 확률이 $1:2:3:4:5:6$의 비를 이루도록 무게가 실려 있다 — 큰 눈일수록 그 숫자에 정확히 비례해서 잘 나온다. 이런 똑같은 주사위 두 개를 던진다. 두 눈의 합이 $7$이 될 확률을 구하여라.

주어진 것: 한 주사위에서 $P(1):P(2):P(3):P(4):P(5):P(6)=1:2:3:4:5:6$; 두 주사위는 서로 똑같고 독립적으로 던져진다; 선택지: (A) $\frac{4}{63}$, (B) $\frac{1}{8}$, (C) $\frac{8}{63}$, (D) $\frac{1}{6}$, (E) $\frac{2}{7}$

구하는 것: 던진 두 눈의 합이 $7$이 될 확률

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기

비 $1:2:3:4:5:6$은 확률을 직접 알려주지 않으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 빠진 배율을 채운다. 가장 작은 확률을 $p$라 하고 여섯 확률을 $p,2p,\dots,6p$로 쓴 뒤, 그 합이 $1$이라는 사실로 $p$를 확정한다. 각 눈의 확률이 정해지면 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 합이 $7$이 되는 모든 눈의 짝을 훑어, 하나도 빠뜨리거나 중복하지 않는다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 깔끔하게 나눈다 — 먼저 한 주사위의 확률을 구하고, 다음으로 각 짝의 확률을 곱으로 구하고, 마지막에 조각들을 더한다. 곱의 합이 하나의 분수로 정리된다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 1

변수로 배율 이름 붙이기

비 $1:2:3:4:5:6$은 여섯 확률이 하나의 공통 조각을 같은 간격으로 곱한 값들임을 뜻한다.
그 조각을 $p=P(1)$이라 하자.
그러면 $P(2)=2p$, $P(3)=3p$, 이렇게 $P(6)=6p$까지 이어진다.
이렇게 하면 비가, 하나의 미지수 $p$를 공유하는 정직한 여섯 확률로 바뀐다.

$$P(k)=k\,p\quad(k=1,2,3,4,5,6)$$

💡 비는 상대적 크기만 정하므로, 변수 하나가 그것들을 함께 키우는 공통 단위를 정한다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 2

전체 확률로 p 구하기

한 주사위에서 가능한 경우는 이 여섯 눈뿐이므로 확률의 합은 $1$이어야 한다.
배수들을 더하면 $p(1+2+3+4+5+6)=21p$가 되고, 이를 $1$과 같다고 놓으면 배율이 정해진다: $21p=1$, 즉 $p=\tfrac{1}{21}$.
따라서 각 눈의 확률은 $P(k)=\tfrac{k}{21}$이다.

$$p+2p+3p+4p+5p+6p=21p=1\ \Rightarrow\ p=\tfrac{1}{21},\qquad P(k)=\tfrac{k}{21}$$

💡 한 주사위의 모든 확률은 온전한 $1$로 합쳐져야 하므로, 비가 단위 조각을 구하는 방정식 하나로 바뀐다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

합이 7이 되는 눈의 짝 모두 나열하기

합이 $7$이 되는 순서쌍 (첫째 주사위, 둘째 주사위)을 적는다: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ — 여섯 개다.
두 주사위는 독립적으로 던져지므로, 특정 짝 $(a,b)$의 확률은 곱 $P(a)\,P(b)=\tfrac{a}{21}\cdot\tfrac{b}{21}=\tfrac{a\,b}{441}$이다.
따라서 나열한 각 짝은 $\tfrac{a\,b}{441}$ 꼴의 항을 하나씩 기여한다.

$$P(a,b)=\dfrac{a}{21}\cdot\dfrac{b}{21}=\dfrac{a\,b}{441}$$

💡 독립인 두 던지기는 곱해지므로, 한 짝의 확률은 두 눈의 확률을 그냥 곱한 값이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

짝의 확률을 더해 정리하기

공통인 $\tfrac{1}{441}$을 묶어 여섯 항을 더한다: 분자는 $1\cdot6,\,2\cdot5,\,3\cdot4,\,4\cdot3,\,5\cdot2,\,6\cdot1$, 즉 $6,10,12,12,10,6$이고 합은 $56$이다.
따라서 확률은 $\tfrac{56}{441}$이다.
$441=7\cdot63$이고 $56=7\cdot8$이므로 공통인수 $7$이 약분되어 $\tfrac{56}{441}=\tfrac{8}{63}$.
이것이 선택지 (C)이다.

$$P(\text{합}=7)=\dfrac{6+10+12+12+10+6}{441}=\dfrac{56}{441}=\dfrac{8}{63}\ \Rightarrow\ \textbf{(C)}$$

💡 어떤 합이 나올 전체 확률은, 그 합을 만드는 모든 방법의 확률을 더한 값일 뿐이다.

[1] #4 6.RP.A.3 비 $1:2:3:4:5:6$은 여섯 확률이 하나의 공통 조각을 같은 간격으로 곱한 값들임을 뜻한다. 그 조각을 $p=P(1)$이라 하자. 그러면

[2] #4 6.EE.B.7 한 주사위에서 가능한 경우는 이 여섯 눈뿐이므로 확률의 합은 $1$이어야 한다. 배수들을 더하면 $p(1+2+3+4+5+6)=21p$가 되고,

[3] #2 7.SP.C.8 합이 $7$이 되는 순서쌍 (첫째 주사위, 둘째 주사위)을 적는다: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ — 여섯

[4] #7 7.SP.C.8 공통인 $\tfrac{1}{441}$을 묶어 여섯 항을 더한다: 분자는 $1\cdot6,\,2\cdot5,\,3\cdot4,\,4\cdot3,\

검토

합리성 확인: 크기를 빠르게 점검하면: 공정한 주사위라면 합 $7$의 확률은 $\tfrac{6}{36}=\tfrac16\approx0.167$이다. 여기서는 $\tfrac{8}{63}\approx0.127$로 조금 더 작은데, 이는 이치에 맞다 — 무게가 실려 $6$ 같은 큰 눈 쪽으로 던지기가 쏠리고, 한 주사위가 큰 눈이면 합이 $7$이 되려면 다른 주사위가 작은 눈(확률 겨우 $\tfrac{1}{21}$이나 $\tfrac{2}{21}$)이어야 하므로 $7$은 살짝 더 어려워진다. 또 이 값은 가깝게 붙어 있는 두 함정 답 $\tfrac{4}{63}$과 $\tfrac{8}{63}$ 사이에 놓이며, $\tfrac{4}{63}$은 정확히 우리 답의 절반 — 순서쌍 여섯 개 대신 짝 세 개만 세면 나오는 수로, 두 순서를 모두 세야 함을 일깨워 준다.

대안 접근: 짝을 나열하는 대신 생성함수를 쓸 수 있다. 한 주사위의 눈 가중치 $1,2,3,4,5,6$($21$로 나누기 전)은 $x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+6x^6$으로 담긴다. 두 주사위의 합은 이 다항식을 제곱해서 나오고, $x^7$의 계수는 두 눈의 합이 $7$이 되는 모든 방법을 모아 $1\cdot6+2\cdot5+3\cdot4+4\cdot3+5\cdot2+6\cdot1=56$이 된다. 이를 $21^2=441$로 나누면 다시 $\tfrac{56}{441}=\tfrac{8}{63}$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (비 $1:2:3:4:5:6$을 공통 단위 확률의 배수 $p,2p,\dots,6p$로 읽는 데 사용.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($21p=1$을 풀어 각 눈에 확률 $P(k)=\tfrac{k}{21}$을 주는 데 사용.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (합이 $7$이 되는 순서쌍 여섯 개를 나열하고, 독립인 두 주사위 확률을 곱해 더해 $\tfrac{56}{441}=\tfrac{8}{63}$을 얻는 데 사용.)

⭐ 비는 변수를 붙이고 합이 $1$이 되게 하여 확률로 바꾸고, 합의 확률은 그 합을 만드는 모든 순서쌍의 확률을 더한 값이며, 각 순서쌍의 확률은 독립인 두 확률을 곱한 것이다.