AMC 10 · 2006 · #21

학년 7 probability

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

probability-basicratio-proportionsystematic-enumeration identify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 주사위는 1,2,3,4,5,6이 나올 확률이 1:2:3:4:5:6의 비를 이루도록 무게가 실려 있다 — 큰 눈일수록 그 숫자에 정확히 비례해서 잘 나온다. 이런 똑같은 주사위 두 개를 던진다. 두 눈의 합이 7이 될 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{4}{63}$

(B)

$\frac{1}{8}$

(C)

$\frac{8}{63}$

(D)

$\frac{1}{6}$

(E)

$\frac{2}{7}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

비 1:2:3:4:5:6은 확률을 직접 알려주지 않으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 빠진 배율을 채운다. 가장 작은 확률을 p라 하고 여섯 확률을 p,2p,…,6p로 쓴 뒤, 그 합이 1이라는 사실로 p를 확정한다. 각 눈의 확률이 정해지면 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 합이 7이 되는 모든 눈의 짝을 훑어, 하나도 빠뜨리거나 중복하지 않는다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 깔끔하게 나눈다 — 먼저 한 주사위의 확률을 구하고, 다음으로 각 짝의 확률을 곱으로 구하고, 마지막에 조각들을 더한다. 곱의 합이 하나의 분수로 정리된다.

1STEP 1

변수로 배율 이름 붙이기

비는 모든 눈의 확률이 한 공통 조각의 배수라는 뜻이다. p=P(1)이라 하면 P(k)=kp.

P(k)=k p (k=1,2,3,4,5,6)

2STEP 2

전체 확률로 p 구하기

여섯 확률의 합은 1이므로 21p=1, 즉 p=1/21이고 각 눈은 P(k)=k/21이다.

p+2p+3p+4p+5p+6p=21p=1 → p=1/21, P(k)=k/21

3STEP 3

합이 7이 되는 눈의 짝 모두 나열하기

합이 7인 순서쌍은 (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) 여섯 개. 독립이므로 P(a,b)=ab/441.

P(a,b)=a/21·b/21=a b/441

4STEP 4

짝의 확률을 더해 정리하기

분자 6,10,12,12,10,6의 합은 56이므로 P=56/441=8/63, 선택지 (C)이다.

P(합=7)=(6+10+12+12+10+6)/441=56/441=8/63 → (C)

정답

8/63

크기를 빠르게 점검하면: 공정한 주사위라면 합 7의 확률은 6/36=1/6≈0.167이다. 여기서는 8/63≈0.127로 조금 더 작은데, 이는 이치에 맞다 — 무게가 실려 6 같은 큰 눈 쪽으로 던지기가 쏠리고, 한 주사위가 큰 눈이면 합이 7이 되려면 다른 주사위가 작은 눈(확률 겨우 1/21이나 2/21)이어야 하므로 7은 살짝 더 어려워진다. 또 이 값 바로 옆에는 가깝게 붙어 있는 함정 답 4/63이 있는데, 이는 정확히 우리 답의 절반 — 순서쌍 여섯 개 대신 짝 세 개만 세면 나오는 수로, 두 순서를 모두 세야 함을 일깨워 준다.

💡핵심 정리

비는 변수를 붙이고 합이 1이 되게 하여 확률로 바꾸고, 합의 확률은 그 합을 만드는 모든 순서쌍의 확률을 더한 값이며, 각 순서쌍의 확률은 독립인 두 확률을 곱한 것이다.

변수로 배율 이름 붙이기
전체 확률로 p 구하기
합이 7이 되는 눈의 짝 모두 나열하기
짝의 확률을 더해 정리하기

변수로 배율 이름 붙이기

전체 확률로 p 구하기

합이 7이 되는 눈의 짝 모두 나열하기

짝의 확률을 더해 정리하기

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