AMC 10 · 2006 · #22

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

linear-diophantineprime-factorizationfactors casework ↑ 선수 지식: linear-diophantineprime-factorization

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Elmo는 모금 행사를 위해 샌드위치 $N$ 개를 만든다. 각 샌드위치마다 그는 땅콩버터를 글롭당 $4\cent$ 인 것으로 $B$ 글롭, 잼을 블롭당 $5\cent$ 인 것으로 $J$ 블롭 사용한다. 모든 샌드위치를 만드는 데 드는 땅콩버터와 잼의 비용은 $$ 2.53 $이다.$ B $,$ J $,$ N $은$ N>1$인 양의 정수라고 가정하자. Elmo가 샌드위치를 만드는 데 사용하는 잼의 비용은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1.05

(B)

1.25

(C)

1.45

(D)

1.65

(E)

1.85

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Elmo는 샌드위치를 $N$개 만든다. 각 샌드위치에는 한 덩이에 $4$센트인 땅콩버터 $B$덩이와 한 덩이에 $5$센트인 잼 $J$덩이가 들어간다. 모든 샌드위치에 들어간 땅콩버터와 잼의 비용은 $\$2.53$이다. $B$, $J$, $N$이 모두 양의 정수이고 $N>1$일 때, 잼에만 든 비용은 얼마인가?

주어진 것: 땅콩버터는 한 덩이에 $4$센트, 잼은 한 덩이에 $5$센트이다; 각 샌드위치에는 땅콩버터 $B$덩이와 잼 $J$덩이가 들어간다; 샌드위치는 모두 $N$개이고, 땅콩버터와 잼의 총비용은 $\$2.53$이다; $B$, $J$, $N$은 모두 양의 정수이고 $N>1$이다; 보기: (A) $\$1.05$, (B) $\$1.25$, (C) $\$1.45$, (D) $\$1.65$, (E) $\$1.85$

구하는 것: Elmo가 사용한 잼에만 든 총비용

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

비용이 덩이마다 정해져 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이야기를 하나의 식 $N(4B+5J)=253$으로 바꾼다. 이 식을 깔끔하게 만드는 것이 도구 #8(단위 살펴보기)이다. 달러를 센트로 바꾸면 $\$2.53$이 정수 $253$이 되어 모든 값이 정수가 된다. 핵심은 $253$이 거의 소인수분해되지 않는다는 점이다. $253=11\times 23$이므로 $N$이 될 수 있는 값은 몇 개뿐이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 약수들을 적고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 $B$와 $J$가 정수가 되지 않는 경우를 지워 하나만 남긴다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 1

이야기를 하나의 식으로 바꾸기

모든 값이 정수가 되도록 센트 단위로 계산한다.
샌드위치 하나에는 $4$센트짜리 땅콩버터 $B$덩이와 $5$센트짜리 잼 $J$덩이가 들어가므로 $4B+5J$센트이다.
$N$개 전체는 그것의 $N$배이다.
총액이 $\$2.53=253$센트이므로 $N(4B+5J)=253$이다.

$$N(4B+5J)=253$$

💡 센트로 세면 모든 양이 정수여서 총액이 깔끔한 정수의 곱이 된다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 2

253을 소인수분해해 N을 좁히기

식 $N(4B+5J)=253$에서 $N$과 $4B+5J$가 모두 정수이므로 $N$은 $253$의 약수여야 한다.
소인수분해하면 $253=11\times 23$이고, $11$과 $23$은 모두 소수이므로 $253$의 약수는 $1,\,11,\,23,\,253$뿐이다.
$N>1$이므로 남는 것은 $N=11$, $N=23$, $N=253$이다.

$$253=11\times 23,\qquad N\in\{11,\,23,\,253\}$$

💡 두 정수의 곱은 약수가 허락하는 방식으로만 쪼개지는데, $253$은 거의 쪼개지지 않는다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 3

각 N을 시험해 안 되는 경우 지우기

각 후보에서 $4B+5J$는 $B,J\ge 1$인 채로 $253\div N$과 같아야 한다.
$N=253$이면 $4B+5J=1$인데 $4B+5J\ge 9$이므로 불가능하다.
$N=23$이면 $4B+5J=11$인데, $J=1$이면 $4B=6$이 되어 안 되고 다른 $J$도 맞지 않아 정수 해가 없다.
$N=11$이면 $4B+5J=23$이고 이것은 해가 있다.
오직 $N=11$만 살아남는다.

$$N=253\!:\,4B+5J=1\;(\text{불가});\quad N=23\!:\,4B+5J=11\;(\text{불가});\quad N=11\!:\,4B+5J=23$$

💡 샌드위치 하나의 최소 비용은 $4+5=9$센트이므로 그보다 작은 목표값은 바로 제외된다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 4

B와 J를 구하고 잼 값 계산하기

$4B+5J=23$을 정수로 푼다.
잼 항 $5J$을 뺀 값이 $4$의 배수여야 한다.
$J=1$이면 $4B=18$(불가), $J=2$이면 $4B=13$(불가), $J=3$이면 $4B=8$이므로 $B=2$(가능)이다.
그러므로 각 샌드위치에는 잼이 $J=3$덩이 들어가고 샌드위치는 $N=11$개이다.
잼은 한 덩이에 $5$센트이므로 잼의 총비용은 $11\times 3\times 5 = 165$센트 $=\$1.65$, 즉 보기 (D)이다.

$4B+5J=23\Rightarrow B=2,\;J=3;\quad \text{잼}=N\cdot J\cdot 5=11\cdot 3\cdot 5=165\text{센트}=\$1.65\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$

💡 $N$이 정해지면 남은 식은 정수 해가 하나뿐이고, 잼 값이 곧바로 나온다.

[1] #4 6.EE.B.7 모든 값이 정수가 되도록 센트 단위로 계산한다. 샌드위치 하나에는 $4$센트짜리 땅콩버터 $B$덩이와 $5$센트짜리 잼 $J$덩이가 들어가므로

[2] #2 4.OA.B.4 식 $N(4B+5J)=253$에서 $N$과 $4B+5J$가 모두 정수이므로 $N$은 $253$의 약수여야 한다. 소인수분해하면 $253=11\t

[3] #3 6.EE.B.5 각 후보에서 $4B+5J$는 $B,J\ge 1$인 채로 $253\div N$과 같아야 한다. $N=253$이면 $4B+5J=1$인데 $4B+5J

[4] #3 4.OA.A.3 $4B+5J=23$을 정수로 푼다. 잼 항 $5J$을 뺀 값이 $4$의 배수여야 한다. $J=1$이면 $4B=18$(불가), $J=2$이면 $4

검토

합리성 확인: 숫자를 이야기와 대조해 본다. 샌드위치 $N=11$개, 각각 땅콩버터 $B=2$덩이와 잼 $J=3$덩이. 샌드위치 하나당 $4\cdot 2+5\cdot 3=8+15=23$센트이고 $11\times 23=253$센트 $=\$2.53$로 정확히 맞는다. 잼 부분은 $11\times 3\times 5=165$센트 $=\$1.65$, 땅콩버터 부분은 $11\times 2\times 4=88$센트이며 $165+88=253$이다. 두 부분이 총액으로 다시 합쳐지므로 $\$1.65$, 보기 (D)가 맞다.

대안 접근: $253$을 각 약수로 나누는 대신, $253=11\times 23$을 바로 $N=11$개의 샌드위치가 각각 $23$센트라고 읽는다. $N>1$이고 샌드위치 하나의 비용 $4B+5J$가 적어도 $9$여야 하므로 $N=253$은 제외되고, $N=23$은 $11$센트짜리 샌드위치를 요구하는데 이에 맞는 $B,J$가 없다. 그런 다음 $23=4B+5J$를 $8+15$로 쪼개면 $B=2$, $J=3$이 되어 잼 값은 $11\times 15=\$1.65$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.7 px = q 꼴의 식을 세워 실생활 문제 풀기 (샌드위치 이야기를 센트 단위의 하나의 식 $N(4B+5J)=253$으로 옮기기.)
4.OA.B.4 정수의 모든 약수 쌍을 찾고 소수와 합성수 구분하기 ($253=11\times 23$으로 소인수분해해 모든 약수를 나열하고 $N$을 $\{11,23,253\}$으로 좁히기.)
6.EE.B.5 식을 푸는 것을 어떤 값이 식을 참으로 만드는지 찾는 과정으로 이해하기 (각 후보 $N$에 대해 $4B+5J=253/N$이 양의 정수 해를 갖는지 확인하기.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 이용해 여러 단계의 정수 문장제 풀기 ($4B+5J=23$을 풀어 $B=2,J=3$을 얻고 잼 값 $11\times 3\times 5=165$센트를 계산하기.)

⭐ 총액이 정수 센트일 때는 소인수분해해 보자. $253=11\times 23$은 선택지가 거의 없어서 $N$은 샌드위치 $11$개일 수밖에 없고, 잼은 $\$1.65$가 된다.