AMC 10 · 2006 · #22

학년 6 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration
linear-diophantineprime-factorizationfactors casework ↑ 선수 지식: linear-diophantineprime-factorization
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
Elmo는 샌드위치를 N개 만든다. 샌드위치 하나에는 한 덩이에 4센트인 땅콩버터 B덩이와 한 덩이에 5센트인 잼 J덩이가 들어간다. 샌드위치 N개를 모두 만드는 데 든 땅콩버터와 잼의 비용은 2.53달러이다. B, J, N은 모두 양의 정수이고 N은 1보다 크다. Elmo가 사용한 잼에만 든 비용은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1.05
(B)
1.25
(C)
1.45
(D)
1.65
(E)
1.85

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

비용이 덩이마다 정해져 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이야기를 하나의 식 N(4B+5J)=253으로 바꾼다. 이 식을 깔끔하게 만드는 것이 도구 #8(단위 살펴보기)이다. 달러를 센트로 바꾸면 2.53이 정수 253이 되어 모든 값이 정수가 된다. 핵심은 253이 거의 소인수분해되지 않는다는 점이다. 253=11 × 23이므로 N이 될 수 있는 값은 몇 개뿐이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 약수들을 적고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 B와 J가 정수가 되지 않는 경우를 지워 하나만 남긴다.

1STEP 1

이야기를 하나의 식으로 바꾸기

센트로 바꾸면 샌드위치 하나가 4B+5J이고, 총액 2.53달러는 253센트이므로 N(4B+5J)=253이다.

N(4B+5J)=253
2STEP 2

253을 소인수분해해 N을 좁히기

N과 4B+5J가 정수이므로 N은 253=11×23의 약수인 1, 11, 23, 253 중 하나이고, 1은 제외된다.

253=11 × 23, N∈{11, 23, 253}
3STEP 3

각 N을 시험해 안 되는 경우 지우기

4B+5J=253÷N이어야 하는데, N=253은 1(최소 9 미만), N=23은 11로 안 되고 N=11만 남는다.

N=253 : 4B+5J=1 (불가); N=23 : 4B+5J=11 (불가); N=11 : 4B+5J=23
4STEP 4

B와 J를 구하고 잼 값 계산하기

4B+5J=23에서 J=3이면 4B=8, B=2이다. 잼 값은 11×3×5=165센트, 즉 1.65달러이다.

4B+5J=23→ B=2, J=3; 잼=N · J · 5=11 · 3 · 5=165센트=1.65 → (D)
정답
1.65
숫자를 이야기와 대조해 본다. 샌드위치 N=11개, 각각 땅콩버터 B=2덩이와 잼 J=3덩이. 샌드위치 하나당 4 · 2+5 · 3=8+15=23센트이고 11 × 23=253센트 =2.53로 정확히 맞는다. 잼 부분은 11 × 3 × 5=165센트 =1.65, 땅콩버터 부분은 11 × 2 × 4=88센트이며 165+88=253이다. 두 부분이 총액으로 다시 합쳐지므로 1.65, 보기 (D)가 맞다.
💡핵심 정리

총액이 정수 센트일 때는 소인수분해해 보자. 253=11 × 23은 선택지가 거의 없어서 N은 샌드위치 11개일 수밖에 없고, 잼은 1.65가 된다.

  • 이야기를 하나의 식으로 바꾸기
  • 253을 소인수분해해 N을 좁히기
  • 각 N을 시험해 안 되는 경우 지우기
  • B와 J를 구하고 잼 값 계산하기

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