AMC 10 · 2006 · #24

학년 8 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
tangent-circlespythagorean-theoremsimilar-triangles area-difference ↑ 선수 지식: tangent-circlespythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형
문제
중심이 OO인 작은 원의 반지름은 22, 중심이 PP인 큰 원의 반지름은 44이고, 두 원은 바깥에서 서로 접한다. 두 원의 공통외접선 두 개를 긋는데, 하나는 작은 원의 AA와 큰 원의 DD에서 접하고 다른 하나는 BB와 CC에서 접한다. OO와 PP에서 안쪽으로 오목하게 들어간 육각형 AOBCPDAOBCPD의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$18\sqrt{3}$
(B)
$24\sqrt{2}$
(C)
36
(D)
$24\sqrt{3}$
(E)
$32\sqrt{2}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

오목한 육각형은 무서워 보이지만, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이미 아는 조각들로 바꿀 수 있다. 직선 OP가 도형을 거울처럼 똑같은 두 반쪽으로 나누고, 각 반쪽은 사각형 OADP일 뿐이다 — 두 반지름 OA와 PD가 같은 접선 AD에 수직이라 서로 평행하므로 이것은 직각사다리꼴이다. 그래서 계획은 이렇다: (1) 접점으로 반지름을 그어 직각을 표시하고(도구 #1, 그림 그리기), (2) 직각삼각형을 만들어 피타고라스 정리로 접선 길이 AD를 구하고, (3) 직각사다리꼴 OADP의 넓이를 구하고, (4) 대칭(도구 #17)으로 아래 반쪽이 위 반쪽과 합동이므로 두 배 한다. 이상한 도형 하나가 익숙한 도형 둘로 바뀐다.

1STEP 1

반지름을 긋고 평행한 변을 찾기

외접이므로 OP=6OP=6이고, 반지름 OAOA와 PDPD가 접선 ADAD에 모두 수직이라 서로 평행하고 OADPOADP는 직각사다리꼴이다.

OP=2+4=6, OA ⊥ AD, PD ⊥ AD → OA ∥ PD
2STEP 2

직각삼각형을 만들어 AD 구하기

OO에서 PDPD에 수선 OQOQ를 내리면 OADQOADQ가 직사각형이라 PQ=4−2=2PQ=4-2=2이고, 피타고라스 정리로 AD=OQ=42AD=OQ=4\sqrt{2}이다.

PQ=4-2=2, AD=OQ=√(6²-2²)=√(32)=4√(2)
3STEP 3

사다리꼴 OADP의 넓이 구하기

ADAD가 평행한 두 변 모두에 수직이므로 [OADP]=12(2+4)⋅42[OADP]=\frac{1}{2}(2+4)\cdot 4\sqrt{2}, 곧 12212\sqrt{2}이다.

[OADP]=1/2(OA+PD) · AD=1/2(2+4)(4√(2))=12√(2)
4STEP 4

대칭을 이용해 두 배 하기

OPOP가 대칭축이라 아래 반쪽은 위쪽의 거울상이므로 넓이는 2⋅122=2422\cdot 12\sqrt{2}=24\sqrt{2}, 곧 (B)이다.

[AOBCPD]=2·[OADP]=2 · 12√(2)=24√(2) → (B)
정답
24√(2)
답을 소수로 바꿔 점검하자: 24√(2)≈ 33.9이다. 접선 길이는 4√(2)≈ 5.66, 사다리꼴 하나는 약 17로 나왔는데, 이는 너비가 대략 6이고 평균 높이가 3인 띠에 알맞다. 다른 선택지들은 확연히 떨어져 있어 — 18√(3)≈ 31.2, 36, 24√(3)≈ 41.6, 32√(2)≈ 45.3 — 오직 24√(2)만이 계산값과 일치하므로 반올림으로 헷갈릴 여지가 없다. √(32)인 접선 길이에서 나온 √(2)가 그대로 남는 것도 예상된 바이다.
💡핵심 정리

반지름은 접선과 항상 직각으로 만나므로, 접선 문제에는 직각삼각형과 간단한 사다리꼴이 숨어 있다 — 그것들을 찾으면 피타고라스 정리가 빠진 길이를 알려 준다.

  • 반지름을 긋고 평행한 변을 찾기
  • 직각삼각형을 만들어 AD 구하기
  • 사다리꼴 OADP의 넓이 구하기
  • 대칭을 이용해 두 배 하기

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