AMC 10 · 2006 · #24
학년 8 geometry-2d중심이 O와 P인 원의 반지름이 각각 2와 4이고, 두 원은 외접한다. 중심이 O인 원 위의 점 A, B와 중심이 P인 원 위의 점 C, D는 AD와 BC가 두 원의 공통외접선이 되도록 잡는다. 오목육각형 AOBCPD의 넓이는 얼마인가?
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 작은 원(중심 $O$, 반지름 $2$)과 큰 원(중심 $P$, 반지름 $4$)이 서로 바깥쪽에서 접한다. 두 원에 동시에 접하는 직선 두 개를 긋는다: 하나는 작은 원의 $A$와 큰 원의 $D$에서 접하고, 다른 하나는 $B$와 $C$에서 접한다. $O$와 $P$에서 안쪽으로 오목하게 들어간 육각형 $AOBCPD$의 넓이를 구하여라.
주어진 것: 원 $O$의 반지름은 $2$, 원 $P$의 반지름은 $4$이다; 두 원은 바깥쪽에서 접하므로 밖에서 한 점에서 맞닿는다; 직선 $AD$는 두 원의 공통접선이다($A$는 원 $O$ 위, $D$는 원 $P$ 위); 직선 $BC$는 두 원의 공통접선이다($B$는 원 $O$ 위, $C$는 원 $P$ 위); 선택지: (A) $18\sqrt{3}$, (B) $24\sqrt{2}$, (C) $36$, (D) $24\sqrt{3}$, (E) $32\sqrt{2}$
구하는 것: 접선 선분 $AD$의 길이; 오목한 육각형 $AOBCPD$의 넓이
이해
문제 재정리: 작은 원(중심 $O$, 반지름 $2$)과 큰 원(중심 $P$, 반지름 $4$)이 서로 바깥쪽에서 접한다. 두 원에 동시에 접하는 직선 두 개를 긋는다: 하나는 작은 원의 $A$와 큰 원의 $D$에서 접하고, 다른 하나는 $B$와 $C$에서 접한다. $O$와 $P$에서 안쪽으로 오목하게 들어간 육각형 $AOBCPD$의 넓이를 구하여라.
주어진 것: 원 $O$의 반지름은 $2$, 원 $P$의 반지름은 $4$이다; 두 원은 바깥쪽에서 접하므로 밖에서 한 점에서 맞닿는다; 직선 $AD$는 두 원의 공통접선이다($A$는 원 $O$ 위, $D$는 원 $P$ 위); 직선 $BC$는 두 원의 공통접선이다($B$는 원 $O$ 위, $C$는 원 $P$ 위); 선택지: (A) $18\sqrt{3}$, (B) $24\sqrt{2}$, (C) $36$, (D) $24\sqrt{3}$, (E) $32\sqrt{2}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #17 공간 상상하기
오목한 육각형은 무서워 보이지만, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이미 아는 조각들로 바꿀 수 있다. 직선 $OP$가 도형을 거울처럼 똑같은 두 반쪽으로 나누고, 각 반쪽은 사각형 $OADP$일 뿐이다 — 두 반지름 $OA$와 $PD$가 같은 접선 $AD$에 수직이라 서로 평행하므로 이것은 직각사다리꼴이다. 그래서 계획은 이렇다: (1) 접점으로 반지름을 그어 직각을 표시하고(도구 #1, 그림 그리기), (2) 직각삼각형을 만들어 피타고라스 정리로 접선 길이 $AD$를 구하고, (3) 직각사다리꼴 $OADP$의 넓이를 구하고, (4) 대칭(도구 #17)으로 아래 반쪽이 위 반쪽과 합동이므로 두 배 한다. 이상한 도형 하나가 익숙한 도형 둘로 바뀐다.
실행 — 정답: B
4.G.A.1 단계 1 반지름을 긋고 평행한 변을 찾기
- 두 원이 바깥에서 접하므로 중심 사이 거리는 $OP=2+4=6$이다.
- 직선 $AD$가 작은 원과 접하는 점으로 반지름 $OA$를, 큰 원과 접하는 점으로 반지름 $PD$를 긋는다.
- 접선은 그 반지름과 직각으로 만나므로 $OA\perp AD$이고 $PD\perp AD$이다.
- 같은 직선에 둘 다 수직인 두 선분은 평행하므로 $OA\parallel PD$이다.
- 따라서 사각형 $OADP$는 직각사다리꼴이고, 평행한 두 변은 $OA=2$와 $PD=4$이다.
💡 두 반지름이 같은 접선에 직각으로 기대어 있으니 같은 방향을 가리켜 평행하다.
8.G.B.7 단계 2 직각삼각형을 만들어 AD 구하기
- 사다리꼴 $OADP$에서 평행한 변 $OA=2$와 $PD=4$의 길이가 다르므로, $O$에서 옆으로 옮겨 본다: $O$에서 직선 $PD$에 수직인 선분을 내려 발을 $Q$라 하자.
- 그러면 $OADQ$는 직사각형이므로 $OQ=AD$이고 $QD=OA=2$이다.
- 남은 부분은 $PQ=PD-QD=4-2=2$이다.
- 삼각형 $OQP$는 $Q$에서 직각이고 빗변 $OP=6$, 한 변 $PQ=2$이므로 피타고라스 정리로 $OQ=\sqrt{6^{2}-2^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$이다.
- 따라서 $AD=4\sqrt{2}$이다.
💡 직사각형 하나를 잘라내면 접선 길이가 곧 빠진 변인 깔끔한 직각삼각형 하나가 남는다.
6.G.A.1 단계 3 사다리꼴 OADP의 넓이 구하기
- 직각사다리꼴 $OADP$는 평행한 두 변이 $OA=2$와 $PD=4$이고, 그 두 변 사이의 거리는 접선 선분 $AD=4\sqrt{2}$이다(두 변 모두에 수직이므로).
- 사다리꼴의 넓이는 평행한 두 변의 평균에 그 사이 거리를 곱한 것이다: $\frac{1}{2}(2+4)(4\sqrt{2})=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\sqrt{2}=12\sqrt{2}$.
💡 사다리꼴 넓이는 평균 너비에 평행한 변끼리 떨어진 거리를 곱한 것일 뿐이다.
4.G.A.3 단계 4 대칭을 이용해 두 배 하기
- 직선 $OP$는 대칭축이다: 그 위쪽(사다리꼴 $OADP$)은 아래쪽(사다리꼴 $OBCP$)의 거울상이므로 두 반쪽의 넓이가 같다.
- 오목한 육각형 $AOBCPD$는 정확히 이 두 사다리꼴을 $OP$를 따라 붙인 것이다.
- 따라서 넓이는 $2\times 12\sqrt{2}=24\sqrt{2}$이고, 이는 선택지 (B)이다.
💡 $OP$에 대한 거울 대칭 덕분에 아래 반쪽은 위 반쪽의 공짜 복사본이라 두 배만 하면 된다.
4.G.A.1 두 원이 바깥에서 접하므로 중심 사이 거리는 $OP=2+4=6$이다. 직선 $AD$가 작은 원과 접하는 점으로 반지름 $OA$를, 큰 원과 접하 8.G.B.7 사다리꼴 $OADP$에서 평행한 변 $OA=2$와 $PD=4$의 길이가 다르므로, $O$에서 옆으로 옮겨 본다: $O$에서 직선 $PD$에 수직 6.G.A.1 직각사다리꼴 $OADP$는 평행한 두 변이 $OA=2$와 $PD=4$이고, 그 두 변 사이의 거리는 접선 선분 $AD=4\sqrt{2}$이다(두 4.G.A.3 직선 $OP$는 대칭축이다: 그 위쪽(사다리꼴 $OADP$)은 아래쪽(사다리꼴 $OBCP$)의 거울상이므로 두 반쪽의 넓이가 같다. 오목한 육각 검토
합리성 확인: 답을 소수로 바꿔 점검하자: $24\sqrt{2}\approx 33.9$이다. 접선 길이는 $4\sqrt{2}\approx 5.66$, 사다리꼴 하나는 약 $17$로 나왔는데, 이는 너비가 대략 $6$이고 평균 높이가 $3$인 띠에 알맞다. 다른 선택지들은 확연히 떨어져 있어 — $18\sqrt{3}\approx 31.2$, $36$, $24\sqrt{3}\approx 41.6$, $32\sqrt{2}\approx 45.3$ — 오직 $24\sqrt{2}$만이 계산값과 일치하므로 반올림으로 헷갈릴 여지가 없다. $\sqrt{32}$인 접선 길이에서 나온 $\sqrt{2}$가 그대로 남는 것도 예상된 바이다.
대안 접근: 두 접선을 작은 원 왼쪽에서 만날 때까지 연장해 그 점을 $X$라 하자. 대칭에 의해 $X$, $O$, $P$는 한 직선 위에 있고, $X$에서 각 원은 한 쌍의 접선 사이에 놓인다. $X$에서 원 $O$까지의 접선 길이는 $\sqrt{XO^{2}-2^{2}}$, 원 $P$까지는 $\sqrt{XP^{2}-4^{2}}$이고, $XO=6$, $XP=12$이므로 각각 $4\sqrt{2}$와 $8\sqrt{2}$이다. 연 $XAOB$의 넓이는 $XA\cdot AO=4\sqrt{2}\cdot 2=8\sqrt{2}$, 연 $XDPC$의 넓이는 $XD\cdot DP=8\sqrt{2}\cdot 4=32\sqrt{2}$이다. 육각형은 큰 연에서 작은 연을 뺀 것이다: $32\sqrt{2}-8\sqrt{2}=24\sqrt{2}$ — 전혀 다른 길로도 같은 답이 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
4.G.A.1점, 직선, 선분, 반직선, 각, 수직선과 평행선 그리기 (반지름 $OA$와 $PD$가 둘 다 접선 $AD$에 수직이라 평행하고, 따라서 $OADP$가 직각사다리꼴임을 알아내는 데 사용.)8.G.B.7직각삼각형에서 피타고라스 정리로 미지의 변의 길이 구하기 (직각삼각형 $OQP$에서 접선 길이 $AD=\sqrt{6^{2}-2^{2}}=4\sqrt{2}$를 구하는 데 사용.)6.G.A.1합성과 분해로 삼각형과 특별한 사각형의 넓이 구하기 (직각사다리꼴 $OADP=\frac{1}{2}(2+4)(4\sqrt{2})=12\sqrt{2}$의 넓이를 구하는 데 사용.)4.G.A.3이차원 도형의 대칭축 알아보기 ($OP$에 대한 거울 대칭으로 사다리꼴 하나를 두 배 하여 전체 육각형 넓이 $24\sqrt{2}$를 얻는 데 사용.)
⭐ 반지름은 접선과 항상 직각으로 만나므로, 접선 문제에는 직각삼각형과 간단한 사다리꼴이 숨어 있다 — 그것들을 찾으면 피타고라스 정리가 빠진 길이를 알려 준다.
⭐ 반지름은 접선과 항상 직각으로 만나므로, 접선 문제에는 직각삼각형과 간단한 사다리꼴이 숨어 있다 — 그것들을 찾으면 피타고라스 정리가 빠진 길이를 알려 준다.
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