AMC 10 · 2006 · #25

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

divisibility-rulesdigit-constraintsdigit-sum casework ↑ 선수 지식: divisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Mr. Jones에게는 나이가 모두 다른 여덟 명의 자녀가 있다. 가족 여행 중에 9살인 맏이가 두 개의 숫자가 각각 두 번씩 나타나는 4자리 숫자가 적힌 번호판을 발견한다. "봐요, 아빠!" 그녀가 외친다. "저 숫자는 우리 아이들 각각의 나이로 나누어떨어져요!" "맞아," Mr. Jones가 대답한다, "그리고 마지막 두 자리는 마침 내 나이란다." 다음 중 Mr. Jones의 자녀의 나이가 아닌 것은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 존스 씨에게는 나이가 모두 다른 여덟 명의 아이가 있고, 가장 나이가 많은 아이는 $9$살입니다. 어떤 $4$자리 자동차 번호판은 서로 다른 두 개의 숫자만 쓰는데, 각 숫자가 두 번씩 나타납니다(예: $aabb$나 $abab$ 모양). 이 번호는 여덟 아이 각각의 나이로 모두 나누어떨어지고, 마지막 두 자리는 존스 씨 자신의 나이와 같습니다. 보기 $4,5,6,7,8$ 중에서 아이들 중 누구의 나이도 $\textbf{아닌}$ 것을 고르세요.

주어진 것: 아이는 $8$명이고 나이가 모두 다르며, 가장 나이 많은 아이는 $9$살이다; 번호판은 서로 다른 두 숫자만 쓰고 각 숫자가 정확히 두 번씩 나오는 $4$자리 수이다; 번호판은 모든 아이의 나이로 나누어떨어진다; 번호판의 마지막 두 자리는 존스 씨의 나이와 같다; 보기: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $8$

구하는 것: $4,5,6,7,8$ 중에서 여덟 아이의 나이가 아닌 값

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #14 극단의 원리, #5 패턴 찾기, #6 추측하고 확인하기

문제가 '어느 것이 나이가 아닌가'를 묻고 있으므로 도구 #3(가능성 지우기)이 잘 맞습니다. 한 후보가 불가능함을 보이면 그것이 답이 됩니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 두 번씩 나오는 두 숫자를 $a$, $b$로 이름 붙이면, $9$로 나누어떨어지는 규칙이 $a+b$에 대한 깔끔한 식으로 바뀝니다. 도구 #14(극단의 원리)는 후보들을 아무렇게나 시험하지 말고 나눗셈 규칙이 가장 까다로운 것부터 공략하라고 말합니다. $5$의 배수는 반드시 $0$이나 $5$로 끝나야 하는데, 이는 보기 중 마지막 자리 조건이 가장 엄격하므로 $5$가 가장 먼저 깨질 가능성이 높습니다. 바로 그 지점을 파고드는 것이 문제를 푸는 열쇠입니다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 4.OA.B.4 단계 1

나이 집합과 숫자 모양 정하기

서로 다른 여덟 개의 나이가 모두 $9$ 이하이므로, 나이는 $1$부터 $9$까지 중에서 정확히 하나를 뺀 값들입니다.
가장 나이 많은 아이가 $9$살이므로 $9$는 항상 나이에 들어가고, 빠지는 값은 $1$부터 $8$ 중 하나입니다.
번호판은 모든 나이로 나누어떨어지므로 여덟 나이 전부의 공배수입니다.
번호판에서 두 번씩 나오는 두 숫자를 $a$, $b$라 하면, 네 자리 숫자의 합은 $a+a+b+b=2(a+b)$입니다.

$$\text{나이}=\{1,2,\dots,9\}\setminus\{m\},\ m\in\{1,\dots,8\},\quad 9\ \text{는 항상 포함};\ \ \text{자릿수 합}=2(a+b)$$

💡 서로 다른 여덟 나이가 $9$ 이하이면 값 하나만 뺄 수 있고, 모든 나이로 나누어떨어진다는 것은 그 모든 수의 공배수라는 뜻이다.

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 2

9로 나누어떨어짐 → a + b = 9

$9$는 항상 아이의 나이이므로 번호판은 $9$로 나누어떨어지고, 따라서 자릿수 합 $2(a+b)$가 $9$의 배수입니다.
$2$는 $9$와 공약수가 없으므로 $9$라는 인수는 $a+b$ 안에 있어야 하고, $a+b$가 $9$의 배수가 됩니다.
두 숫자는 서로 다르므로 $a+b$의 최댓값은 $9+8=17$이고, 그 범위에서 $9$의 배수는 $9$뿐입니다.
따라서 $a+b=9$입니다.

$$9\mid 2(a+b)\ \Rightarrow\ 9\mid (a+b),\quad 0\le a+b\le 17\ \Rightarrow\ a+b=9$$

💡 어떤 수가 $9$의 배수인 것은 자릿수의 합이 $9$의 배수일 때뿐이고, 서로 다른 두 숫자는 $18$이 아니라 $9$에만 도달할 수 있다.

#14 극단의 원리 4.OA.B.4 단계 3

나이 5를 시험: 숫자가 0과 9로 강제된다

$5$가 나이 중 하나라고 가정해 봅시다.
그러면 번호판은 $5$로 나누어떨어지므로 $0$ 또는 $5$로 끝납니다.
빠지는 나이는 하나뿐이므로 짝수 나이 $2,4,6,8$ 중 적어도 셋은 남아 번호판은 짝수이고, $5$로 끝날 수 없습니다.
따라서 $0$으로 끝납니다.
마지막 자리 $0$은 두 번 쓰이는 두 숫자 중 하나여야 하므로 $0$이 두 번 쓰입니다.
그 짝인 $b$는 $0+b=9$를 만족하므로 $b=9$입니다.
즉 네 숫자는 $0,0,9,9$여야만 합니다.

$$5\mid N\ \text{이고}\ 2\mid N\ \Rightarrow\ N\ \text{은 }0\text{으로 끝남}\ \Rightarrow\ \{a,b\}=\{0,9\},\ \text{숫자 }0,0,9,9$$

💡 $5$로도 $2$로도 나누어떨어지면 반드시 $0$으로 끝나야 하고, 그러면 자릿수 합 규칙이 짝이 되는 숫자를 하나로 못박는다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.B.6 단계 4

0,0,9,9로는 번호판을 만들 수 없어 5는 불가능

$0,0,9,9$로 이루어지고 $0$으로 끝나는 짝수 $4$자리 수는 $9900$ 아니면 $9090$입니다.
그런데 $9900$은 $00$으로 끝나 존스 씨가 $0$살이 되므로 불가능합니다.
또 번호판은 $4$로 나누어떨어져야 합니다.
$4$와 $8$ 중 어느 것이 포함되든 $4\mid N$을 강제하고(빠지는 나이는 하나뿐이라 둘 중 적어도 하나는 포함), $9090$은 $90$이 $4$로 나누어떨어지지 않으므로 $4$로 나누어떨어지지 않습니다.
두 경우 모두 실패하므로 $5$는 나이가 될 수 없습니다.
소거법에 의해 아이들의 나이가 아닌 값은 $5$, 즉 보기 (B)입니다.

$$\{9900,\,9090\}:\ 9900\!\to\!\text{나이 }00\ (\text{불가}),\quad 4\nmid 9090\ (\text{불가})\ \Rightarrow\ 5\ \text{는 나이가 아님}\ \Rightarrow\ \textbf{(B)}$$

💡 그 숫자들로 만든 모든 후보 번호판은 아버지를 $0$살로 만들거나 $4$로 나누어떨어지지 않아, 합법적인 수가 하나도 남지 않는다.

#6 추측하고 확인하기 6.NS.B.4 단계 5

실제 번호판으로 5가 빠진 나이임을 확인

$5$가 빠진 나이라면 나이는 $1,2,3,4,6,7,8,9$입니다.
이들의 최소공배수는 $\operatorname{lcm}=2^3\cdot 3^2\cdot 7=504$이므로 번호판은 $504$의 배수여야 합니다.
네 자리 배수 $504\times 11=5544$는 두 숫자 $5$와 $4$만을 각각 두 번씩 쓰고, 마지막 두 자리 $44$는 존스 씨의 나이로 그럴듯합니다.
이런 번호판이 실제로 존재하므로, $5$를 빼는 것은 앞뒤가 맞고 다른 보기를 빼는 것은 맞지 않음을 확인합니다.

$$\operatorname{lcm}(1,2,3,4,6,7,8,9)=504,\quad 504\times 11=5544\ (\text{숫자 }5,5,4,4;\ \text{나이 }44)$$

💡 $5$를 빼는 경우에 대해 실제로 작동하는 번호판을 만들어 보이면, 불가능 논증이 우연이 아니었음이 증명된다.

[1] #4 4.OA.B.4 서로 다른 여덟 개의 나이가 모두 $9$ 이하이므로, 나이는 $1$부터 $9$까지 중에서 정확히 하나를 뺀 값들입니다. 가장 나이 많은 아이가

[2] #5 4.OA.B.4 $9$는 항상 아이의 나이이므로 번호판은 $9$로 나누어떨어지고, 따라서 자릿수 합 $2(a+b)$가 $9$의 배수입니다. $2$는 $9$와 공

[3] #14 4.OA.B.4 $5$가 나이 중 하나라고 가정해 봅시다. 그러면 번호판은 $5$로 나누어떨어지므로 $0$ 또는 $5$로 끝납니다. 빠지는 나이는 하나뿐이므로

[4] #3 4.NBT.B.6 $0,0,9,9$로 이루어지고 $0$으로 끝나는 짝수 $4$자리 수는 $9900$ 아니면 $9090$입니다. 그런데 $9900$은 $00$으로

[5] #6 6.NS.B.4 $5$가 빠진 나이라면 나이는 $1,2,3,4,6,7,8,9$입니다. 이들의 최소공배수는 $\operatorname{lcm}=2^3\cdot 3

검토

합리성 확인: 논리는 깨지지 않는 두 규칙에 달려 있습니다. $9$로 나누어떨어짐($9$살 아이가 있으니 보장됨)은 두 숫자의 합이 $9$가 되도록 강제합니다. $5$로 나누어떨어짐은 숫자가 $0$과 $9$가 되도록 강제하는데, $0,0,9,9$의 어떤 배열도 진짜 번호판이 될 수 없습니다 — 아버지를 $0$살로 만들거나 $4$로 나누어떨어지지 않기 때문입니다. 반면 구체적인 번호판 $5544$는 $5$를 뺀 세계가 완벽히 일관됨을 보여줍니다: $5544=504\times 11$은 $1,2,3,4,6,7,8,9$로 나누어떨어지지만 $5$로는 아닙니다. 모든 것이 $5$를 가리킵니다.

대안 접근: 곧바로 수를 만들어 보는 방법도 있습니다. 다른 보기 $4,6,8$은 $8$과 $9$가 번호판을 나누는 순간 자동으로 처리되고($8$이 $4$를 데려오고, $2\cdot3$이 $6$을 데려옴), $7$과 $9$도 강제되므로 진짜 긴장은 오직 $5$ 대 나머지입니다. $\operatorname{lcm}(1,2,3,4,6,7,8,9)=504$의 배수 중 두 숫자를 반복하는 가장 작은 네 자리 수를 찾으면 바로 $5544$에 도달하고, $5544$는 $5$로 나누어떨어지지 않으므로 홀로 남는 값은 $5$입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (번호판을 여덟 나이 전부의 공배수로 다루고, $9$의 배수에 대한 자릿수 합 규칙으로 $a+b=9$를 강제하는 데 사용.)
4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends (후보 번호판 9900과 9090의 $4$ 나누어떨어짐을 확인하여 $0,0,9,9$의 모든 배열을 배제하는 데 사용.)
6.NS.B.4 Find greatest common factor and least common multiple of two numbers ($\operatorname{lcm}(1,2,3,4,6,7,8,9)=504$를 계산하고 $5$가 빠진 나이임을 확인하는 배수 $5544$를 찾는 데 사용.)

⭐ $9$살 아이가 있으니 두 반복 숫자의 합은 $9$가 되어야 하고, $5$라면 숫자가 $0$과 $9$가 되어야 하는데 그것으로는 결코 진짜 번호판을 만들 수 없으므로, 아무도 갖지 않은 나이는 $5$이고 $5544$가 그것을 증명한다.