AMC 10 · 2006 · #25
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문제가 '어느 것이 나이가 아닌가'를 묻고 있으므로 도구 #3(가능성 지우기)이 잘 맞습니다. 한 후보가 불가능함을 보이면 그것이 답이 됩니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 두 번씩 나오는 두 숫자를 a, b로 이름 붙이면, 9로 나누어떨어지는 규칙이 a+b에 대한 깔끔한 식으로 바뀝니다. 도구 #14(극단의 원리)는 후보들을 아무렇게나 시험하지 말고 나눗셈 규칙이 가장 까다로운 것부터 공략하라고 말합니다. 5의 배수는 반드시 0이나 5로 끝나야 하는데, 이는 보기 중 마지막 자리 조건이 가장 엄격하므로 5가 가장 먼저 깨질 가능성이 높습니다. 바로 그 지점을 파고드는 것이 문제를 푸는 열쇠입니다.
나이 집합과 숫자 모양 정하기
9 이하의 서로 다른 여덟 나이는 1~9에서 하나가 빠진 것이고 9는 남습니다. 반복 숫자 a, b의 자릿수 합은 2(a+b)입니다.
서로 다른 여덟 나이가 9 이하이면 값 하나만 뺄 수 있고, 모든 나이로 나누어떨어진다는 것은 그 모든 수의 공배수라는 뜻이다.
4.OA.B.4Introduce A Variable9로 나누어떨어짐 → a + b = 9
번호판이 9의 배수이므로 2(a+b)도 9의 배수이고, 2는 9와 서로소이며 a+b는 최대 17이므로 a+b=9입니다.
어떤 수가 9의 배수인 것은 자릿수의 합이 9의 배수일 때뿐이고, 서로 다른 두 숫자는 18이 아니라 9에만 도달할 수 있다.
어떤 수가 9의 배수인 것은 그 자릿수의 합이 9의 배수일 때뿐이다.
▸ 왜?
각 자리의 값은 9의 배수보다 1 크므로, 남는 것은 자릿수의 합뿐이다.
▸ 왜?
수는 자릿수에 자리의 무게를 곱한 것이며, 그래서 남는 것을 모아 낼 수 있다.
나이 5를 시험: 숫자가 0과 9로 강제된다
5가 나이라면 번호판은 10의 배수라 0이 반복되고, 짝은 9이므로 숫자는 0,0,9,9입니다.
5로도 2로도 나누어떨어지면 반드시 0으로 끝나야 하고, 그러면 자릿수 합 규칙이 짝이 되는 숫자를 하나로 못박는다.
4.OA.B.4Extreme Principle0,0,9,9로는 번호판을 만들 수 없어 5는 불가능
9900과 9090만 가능한데 9900은 아버지를 0살로 만들고 9090은 4의 배수가 아니므로 빠진 나이는 5입니다.
그 숫자들로 만든 모든 후보 번호판은 아버지를 0살로 만들거나 4로 나누어떨어지지 않아, 합법적인 수가 하나도 남지 않는다.
4.NBT.B.6Eliminate Possibilities실제 번호판으로 5가 빠진 나이임을 확인
5를 빼면 나이는 1,2,3,4,6,7,8,9이고 최소공배수는 504이며, 504 × 11 = 5544가 조건을 만족합니다.
5를 빼는 경우에 대해 실제로 작동하는 번호판을 만들어 보이면, 불가능 논증이 우연이 아니었음이 증명된다.
6.NS.B.4Guess And Check9살 아이가 있으니 두 반복 숫자의 합은 9가 되어야 하고, 5라면 숫자가 0과 9가 되어야 하는데 그것으로는 결코 진짜 번호판을 만들 수 없으므로, 아무도 갖지 않은 나이는 5이고 5544가 그것을 증명한다.
- 나이 집합과 숫자 모양 정하기
- 9로 나누어떨어짐 → a + b = 9
- 나이 5를 시험: 숫자가 0과 9로 강제된다
- 0,0,9,9로는 번호판을 만들 수 없어 5는 불가능
- 실제 번호판으로 5가 빠진 나이임을 확인