AMC 10 · 2006 · #5

학년 4 geometry-2d

유형 Grid Tiling / Packing with Divisibility └ 세부 유형 Fixed Piece Set — Feasibility by Elimination

area-rectanglesspatial-visualizationoptimization guess-and-check ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

$2 \times 3$ 직사각형과 $3 \times 4$ 직사각형이 어느 점에서도 겹치지 않고 한 정사각형 안에 들어 있으며, 정사각형의 변은 두 직사각형의 변과 평행하다. 이 정사각형의 넓이의 최솟값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 2×3 직사각형과 3×4 직사각형을 한 정사각형 안에 서로 겹치지 않게 넣어야 하며, 각 직사각형의 변은 정사각형의 변과 평행해야 한다. 이 정사각형의 가능한 가장 작은 넓이를 구하라.

주어진 것: 2×3 직사각형; 3×4 직사각형; 두 직사각형은 하나의 정사각형 안에 놓인다; 두 직사각형은 어느 점에서도 겹치지 않는다; 각 직사각형의 변은 정사각형의 변과 평행하다

구하는 것: 정사각형의 가능한 가장 작은 넓이

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #1 그림 그리기, #17 공간 상상하기

문제가 가장 작은 값을 묻고 있으므로 최소 문제로 다룬다. 먼저 정사각형의 변이 넘어야 하는 하한을 찾고, 그다음 허용되는 가장 작은 크기가 실제로 두 직사각형을 담을 수 있음을 보인다. 그림과 공간 추론으로 실제 배치가 존재함을 확인한다.

실행 — 정답: B

#17 공간 상상하기 2.G.A.1 단계 1

큰 직사각형이 하한을 정한다

3×4 직사각형만으로도 공간이 필요하다.
가장 긴 변이 4이므로, 이를 담는 정사각형의 변은 적어도 4이어야 한다.
그러면 정사각형의 변은 4, 5, 6, 7, 8 중 하나가 되고, 이는 선택지의 넓이 16, 25, 36, 49, 64에 해당한다.
가장 작은 변 4부터 확인해 보자.

\text{한 변} \ge 4

💡 상자는 자기 자신보다 긴 막대를 담을 수 없다.

#14 극단의 원리 4.MD.A.3 단계 2

넓이가 변 4를 배제한다

두 직사각형의 넓이를 더한다.
2×3 = 6이고 3×4 = 12이므로 합쳐서 18의 넓이를 차지한다.
4×4 정사각형의 넓이는 16뿐이다.
18이 16보다 크므로, 두 직사각형은 겹치지 않고서는 4×4 정사각형 안에 함께 들어갈 수 없다.

$$2\cdot 3 + 3\cdot 4 = 6 + 12 = 18 > 16 = 4\cdot 4$$

💡 상자가 담을 수 있는 넓이보다 더 많은 넓이가 필요한 도형은 결코 그 안에 들어갈 수 없다.

#1 그림 그리기 2.G.A.1 단계 3

변 5는 실제로 된다

5×5 정사각형을 시도해 보자.
3×4 직사각형을 아래쪽에 가로 4, 세로 3으로 놓는다.
그러면 위쪽에 가로 5, 세로 2인 띠가 남는다.
그 띠에 2×3 직사각형을 가로 3, 세로 2로 놓는다.
두 직사각형이 겹치지 않고 정사각형 안에 들어간다.

3\times 4 \text{ (아래)} \;+\; 2\times 3 \text{ (위쪽 띠)} \subset 5\times 5

💡 한 직사각형을 아래에 놓고, 다른 하나를 그 위에 남은 띠에 밀어 넣는다.

#14 극단의 원리 3.OA.C.7 단계 4

가장 작은 정사각형을 찾다

변 4는 불가능하고 변 5는 되므로, 가장 작은 정사각형의 변은 5이다.
넓이는 5×5 = 25이다.
답은 (B)이다.

$$5\times 5 = 25$$

💡 두 직사각형을 겹치지 않게 담을 수 있는 가장 작은 변이 가장 작은 넓이를 준다.

[1] #17 2.G.A.1 3×4 직사각형만으로도 공간이 필요하다. 가장 긴 변이 4이므로, 이를 담는 정사각형의 변은 적어도 4이어야 한다. 그러면 정사각형의 변은 4,

[2] #14 4.MD.A.3 두 직사각형의 넓이를 더한다. 2×3 = 6이고 3×4 = 12이므로 합쳐서 18의 넓이를 차지한다. 4×4 정사각형의 넓이는 16뿐이다. 18

[3] #1 2.G.A.1 5×5 정사각형을 시도해 보자. 3×4 직사각형을 아래쪽에 가로 4, 세로 3으로 놓는다. 그러면 위쪽에 가로 5, 세로 2인 띠가 남는다. 그

[4] #14 3.OA.C.7 변 4는 불가능하고 변 5는 되므로, 가장 작은 정사각형의 변은 5이다. 넓이는 5×5 = 25이다. 답은 (B)이다.

검토

합리성 확인: 답 25는 주어진 선택지 중 하나이며 불가능한 16 바로 위에 놓인다. 두 직사각형은 18의 넓이를 차지하므로, 가능한 정사각형은 넓이가 적어도 18이어야 한다. 25는 18을 넘으면서 실제 배치도 허용하는 가장 작은 선택지 넓이이다. 변 5는 가장 긴 직사각형 변인 4를 넉넉히 담는다.

대안 접근: 큰 직사각형 대신 넓이에서 출발한다. 두 직사각형이 18의 넓이를 차지하므로 정사각형의 넓이는 적어도 18이어야 하고, 이는 16을 곧바로 배제한다. 그다음 선택지 25를 배치를 제시하여 확인하면 성공한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.G.A.1 Recognize and draw shapes having specified attributes (3×4 직사각형이 적어도 폭 4의 그릇을 필요로 함을 추론하고, 두 직사각형의 유효한 배치를 정사각형 안에 그리는 데 사용)
4.MD.A.3 Apply area and perimeter formulas for rectangles in real-world problems (직사각형 넓이를 이용해 합친 18의 넓이가 16의 정사각형에 들어갈 수 없음을 보이는 데 사용)
3.OA.C.7 Fluently multiply and divide within 100 (직사각형과 정사각형의 넓이 6, 12, 16, 25를 계산하는 데 사용)

⭐ 먼저 모두 담기에 너무 작은 크기를 찾고, 그다음 한 단계 큰 크기가 실제로 들어감을 보이면, 그 크기가 되는 가장 작은 크기이다.