AMC 8 · 2012 · #17

학년 4 geometry-2d

유형 Grid Tiling / Packing with Divisibility └ 세부 유형 Divisibility-Selected Items — Minimize Bounding Footprint

area-rectanglesperfect-squaresspatial-visualizationsystematic-enumeration bound-inequality-then-enumeratephysical-representation ↑ 선수 지식: area-rectanglesperfect-squares

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 변의 길이가 정수 S 인 정사각형이 있습니다. 이 정사각형을 정확히 10 개의 작은 정사각형으로 자르는데, 작은 정사각형들의 변의 길이도 모두 정수이고 그중 적어도 8 개는 넓이가 1 (즉 한 변이 1) 입니다. S 의 가능한 가장 작은 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}3$

(B)

$hspace{.05in}4$

(C)

$hspace{.05in}5$

(D)

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(E)

$hspace{.05in}7$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 관련 문제 풀기

처음부터 대수를 세우지 말고 도구 #9(더 쉬운 관련 문제) 로 선택지를 작은 쪽부터 직접 시험합니다 — "S = 3 이 되나? S = 4 가 되나?" 만 물어보면 됩니다. 넓이의 합 S² = (10 개 작은 넓이 합) 에서 바로 하한이 나오기 때문에 작은 선택지는 즉시 걸러집니다. 살아남은 후보에 대해 도구 #2(체계적으로 나열하기) 로 남은 두 정사각형의 변 (s₉, s₁0) 후보를 모두 적어 보고, 도구 #1(그림 그리기) 로 그 조각들이 실제로 맞물려 정사각형을 채우는지를 확인합니다.

1STEP 1

10 조각이 S × S 정사각형을 한 번씩 덮으므로 넓이의 합은 S² 입니다.

S² = s₁² + s₂² + … + s₁0²

2STEP 2

8 개는 넓이가 1, 나머지 2 개도 변이 정수라 넓이가 각각 ≥ 1 이므로 총 넓이 S² 는 최소 10 입니다.

S² ≥ 8 · 1 + 1 + 1 = 10

3STEP 3

가장 작은 선택지 S = 3 은 S² = 9 로 10 보다 작아 단위 정사각형 10 개조차 담을 수 없습니다. (A) 탈락.

3² = 9 ＜ 10 → S = 3 불가능

4STEP 4

S = 4 면 S² = 16. 단위 8 개가 8 을 쓰고 남은 8 은 s₉² + s₁0² = 8 → (2, 2), 즉 2 × 2 두 개.

s₉² + s₁0² = 16 - 8 = 8 → (s₉, s₁0) = (2, 2)

5STEP 5

2 × 2 둘은 위쪽 4 × 2 띠, 1 × 1 여덟은 아래쪽 4 × 2 띠를 채웁니다. 그래서 S = 4 로 타일링이 성립 — (B) 4.

2 × 2_왼쪽 위 2 × 2_오른쪽 위 / 8 × (1 × 1)_아래쪽 4 × 2 → (B) 4

정답

hspace{.05in}4

넓이도 정확히 맞습니다: 8 · 1 + 2 · 4 = 8 + 8 = 16 = 4². 개수도 맞습니다 — 작은 정사각형 8 + 2 = 10 개, 그중 8 개가 조건대로 넓이 1 입니다. 또 S = 3 은 넓이 하한 때문에 이미 탈락시켰으므로 4 가 진짜 최솟값입니다 — 답은 (B).

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 넓이와 사칙연산만으로 풀 수 있어요 — 가장 작은 변부터 하나씩 시도해 보고 조각이 실제로 들어맞는지만 확인하면 돼요!

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