AMC 10 · 2006 · #6

학년 7 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

circle-circumferenceperimeterspatial-visualization identify-subproblems ↑ 선수 지식: circle-circumferenceperimeter

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변의 길이가 $\frac{2}{\pi}$ 인 정사각형의 각 변 위에 그림과 같이 반원 호를 그려 만든 영역이 있다. 이 영역의 둘레의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{4}{\pi}$

(B)

(C)

$\frac{8}{\pi}$

(D)

(E)

$\frac{16}{\pi}$

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 2/π인 정사각형이 있다. 각 변을 지름으로 하는 반원 호를 그리고, 네 호가 바깥쪽으로 볼록하게 나와 꽃 모양의 영역을 이룬다. 이 영역의 둘레를 구하여라.

주어진 것: 한 변의 길이가 각각 2/π인 정사각형; 네 변 각각에 반원 호를 하나씩 그린다; 정사각형의 각 변이 그 반원의 지름이다; 네 호가 모여 하나의 영역을 이룬다

구하는 것: 영역의 둘레

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #17 공간 상상하기

둘레는 하나의 곡선 고리이지만, 똑같은 반원 호 네 개로 이루어져 있다. 문제를 작은 조각 하나로 쪼개어 반원 호 하나의 길이를 구한 뒤 4를 곱하면 된다. 호 하나를 구하려면 원의 둘레 공식이 필요하고, 그 전에 주어진 변에서 반지름을 먼저 구해야 한다.

실행 — 정답: D

#17 공간 상상하기 7.G.B.4 단계 1

변이 곧 지름

각 반원은 정사각형의 한 변 전체를 지름으로 쓴다.
변의 길이가 2/π이므로 지름은 2/π이다.
반지름은 지름의 절반이므로 (1/2)·(2/π) = 1/π이다.

$$r = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\pi} = \frac{1}{\pi}$$

💡 반지름은 언제나 지름의 절반이고, 여기서 지름은 곧 정사각형의 변이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

호 하나의 길이

반지름이 r인 온전한 원의 둘레는 2πr이다.
반원 호는 그 절반이므로 길이가 πr이다.
r = 1/π를 넣으면 호의 길이는 π·(1/π) = 1이다.
분자의 π가 분모의 π와 약분되어 1만 남는다.

\text{호} = \pi r = \pi\cdot\frac{1}{\pi} = 1

💡 원 둘레의 절반은 반지름의 π배이고, 고른 반지름 덕분에 π가 깔끔하게 약분된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.C.7 단계 3

네 호를 더하기

영역의 경계는 정확히 이 반원 호 네 개로, 정사각형의 변마다 하나씩이다.
각각의 길이가 1이므로 둘레는 4·1 = 4이다.
정답은 (D)이다.

$$P = 4\cdot 1 = 4$$

💡 똑같은 호 네 개는 호 하나 길이의 네 배인 둘레를 만든다.

[1] #17 7.G.B.4 각 반원은 정사각형의 한 변 전체를 지름으로 쓴다. 변의 길이가 2/π이므로 지름은 2/π이다. 반지름은 지름의 절반이므로 (1/2)·(2/π)

[2] #7 7.G.B.4 반지름이 r인 온전한 원의 둘레는 2πr이다. 반원 호는 그 절반이므로 길이가 πr이다. r = 1/π를 넣으면 호의 길이는 π·(1/π) =

[3] #7 3.OA.C.7 영역의 경계는 정확히 이 반원 호 네 개로, 정사각형의 변마다 하나씩이다. 각각의 길이가 1이므로 둘레는 4·1 = 4이다. 정답은 (D)이다.

검토

합리성 확인: 결과 4는 보기 중 하나이며 깔끔한 정수인데, 이는 변을 2/π로 골라 π가 약분되도록 한 설계와 잘 맞는다. 검산으로, 반원 네 개는 온전한 원 두 개와 같다. 둘레 두 개의 합은 2·(2πr) = 4πr = 4π·(1/π) = 4로 같은 답이다. 직선 변은 영역 안쪽에 있으므로 옳게 무시했다.

대안 접근: 호를 마지막이 아니라 먼저 합칠 수도 있다. 반원 네 개는 온전한 원 두 개로 합쳐지고, 각 원의 둘레는 2πr = 2π·(1/π) = 2이다. 두 개면 2·2 = 4로 같은 둘레가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 Know the formulas for the area and circumference of a circle and use them to solve problems (지름에서 반지름을 구하고 둘레 공식으로 각 반원 호의 길이를 구하는 데 사용)
3.OA.C.7 Fluently multiply and divide within 100 (똑같은 호 네 개의 길이를 곱해 전체 둘레를 구하는 데 사용)

⭐ 경계가 똑같은 곡선 조각들로 되어 있으면 한 조각을 재서 곱하면 되고, 반지름을 잘 고르면 π가 약분되어 정수가 되기도 한다.