AMC 10 · 2006 · #6
학년 7 geometry-2d circle-circumferenceperimeterspatial-visualization identify-subproblems ↑ 선수 지식: circle-circumferenceperimeter
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
한 변의 길이가 2/π인 정사각형이 있다. 각 변을 지름으로 하는 반원 호를 그리고, 네 호가 바깥쪽으로 볼록하게 나와 꽃 모양의 영역을 이룬다. 이 영역의 둘레를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{4}{\pi}$
(B)
2
(C)
$\frac{8}{\pi}$
(D)
4
(E)
$\frac{16}{\pi}$
AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
둘레는 하나의 곡선 고리이지만, 똑같은 반원 호 네 개로 이루어져 있다. 문제를 작은 조각 하나로 쪼개어 반원 호 하나의 길이를 구한 뒤 4를 곱하면 된다. 호 하나를 구하려면 원의 둘레 공식이 필요하고, 그 전에 주어진 변에서 반지름을 먼저 구해야 한다.
1STEP 1
변이 곧 지름
각 반원은 한 변 전체를 지름으로 쓰므로 지름은 2/π이고, 반지름은 그 절반인 1/π이다.
r = 1/2·2/π = 1/π
반지름은 언제나 지름의 절반이고, 여기서 지름은 곧 정사각형의 변이다.
7.G.B.4Visualize Spatial Relationships2STEP 2
호 하나의 길이
반원 호는 2πr의 절반인 πr이고, r = 1/π를 넣으면 π가 약분되어 길이가 1이 된다.
호 = π r = π·1/π = 1
원 둘레의 절반은 반지름의 π배이고, 고른 반지름 덕분에 π가 깔끔하게 약분된다.
원 둘레의 절반은 파이 곱하기 반지름이며, 고른 반지름 덕분에 파이가 깔끔하게 지워진다.
▸ 왜?
원 전체의 둘레는 2파이 곱하기 반지름이며, 그것이 그 어떤 부분의 크기도 정한다.
원의 둘레반지름이 r인 원의 둘레는 2πr이다.
▸ 왜?
호는 둘레 전체의 정해진 몫이므로, 반 바퀴는 길이의 절반을 준다.
호와 부채꼴은 원 전체의 일부중심각이 한 바퀴에서 차지하는 몫은 그 호가 둘레에서, 그 부채꼴이 넓이에서 차지하는 몫과 같다.
3STEP 3
네 호를 더하기
경계는 변마다 하나씩 이런 호 네 개뿐이므로 둘레는 4·1 = 4, 정답은 (D)이다.
P = 4 · 1 = 4
똑같은 호 네 개는 호 하나 길이의 네 배인 둘레를 만든다.
3.OA.C.7Identify Subproblems정답
4
결과 4는 보기 중 하나이며 깔끔한 정수인데, 이는 변을 2/π로 골라 π가 약분되도록 한 설계와 잘 맞는다. 검산으로, 반원 네 개는 온전한 원 두 개와 같다. 둘레 두 개의 합은 2·(2πr) = 4πr = 4π·(1/π) = 4로 같은 답이다. 직선 변은 영역 안쪽에 있으므로 옳게 무시했다.
💡핵심 정리
경계가 똑같은 곡선 조각들로 되어 있으면 한 조각을 재서 곱하면 되고, 반지름을 잘 고르면 π가 약분되어 정수가 되기도 한다.
- 변이 곧 지름
- 호 하나의 길이
- 네 호를 더하기