AMC 10 · 2007 · #10

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

mean-median-mode-rangeweighted-averagelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Dunbar 가족은 어머니, 아버지, 그리고 몇 명의 자녀로 이루어져 있다. 가족 구성원의 평균 나이는 $20$ 세이고, 아버지는 $48$ 세이며, 어머니와 자녀들의 평균 나이는 $16$ 세이다. 이 가족에는 자녀가 몇 명인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 가족은 어머니, 아버지, 그리고 몇 명의 자녀로 이루어져 있습니다. 가족 전체의 나이 평균은 $20$입니다. 아버지는 $48$세입니다. 어머니와 자녀들을 함께 본 평균은 $16$입니다. 자녀가 몇 명인지 구하세요.

주어진 것: 가족 전체의 나이 평균은 $20$; 아버지는 $48$세; 어머니와 자녀들을 함께 본 나이 평균은 $16$; 가족은 어머니, 아버지, 그리고 알 수 없는 수의 자녀로 이루어짐; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$

구하는 것: 가족의 자녀 수

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #6 추측하고 확인하기

자녀 수를 모르므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 그것을 $n$이라 이름 붙이면 다른 모든 양을 $n$으로 표현할 수 있습니다. 평균을 쓸모 있게 만드는 요령은 그것을 다시 합으로 되돌리는 것입니다: 나이의 합 $=$ 평균 $\times$ 사람 수. 두 합을 $n$으로 쓰고 나면, 도구 #13(대수로 바꾸기)이 '아버지 더하기 나머지 = 가족 전체'라는 문장을 하나의 방정식으로 바꾸고, 그것을 풀어 $n$을 구합니다. 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)이 답을 도로 넣어 평균이 맞게 나오는지 확인합니다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

모르는 값에 이름 붙이고 사람 수 세기

자녀 수를 $n$이라 합시다.
가족 전체는 어머니, 아버지, 그리고 자녀 $n$명이므로 가족은 $n + 2$명입니다.
어머니-자녀 무리는 아버지를 빼므로 $n + 1$명입니다.

$$\text{가족} = n + 2 \text{명}, \qquad \text{어머니}+\text{자녀} = n + 1 \text{명}$$

💡 모르는 값에 이름을 붙이면 문제 속 모든 인원수를 $n$에 대한 짧은 식으로 쓸 수 있습니다.

#4 변수 도입하기 6.SP.A.3 단계 2

각 평균을 합으로 되돌리기

평균은 합을 개수로 나눈 것이므로, 합은 평균 곱하기 개수입니다.
가족 전체는 $n + 2$명에 평균 $20$이므로 가족의 합은 $20(n + 2)$입니다.
어머니-자녀 무리는 $n + 1$명에 평균 $16$이므로 합은 $16(n + 1)$입니다.

$$\text{가족 합} = 20(n+2), \qquad \text{어머니}+\text{자녀 합} = 16(n+1)$$

💡 평균에 사람 수를 도로 곱하면 처음 시작했던 합이 되살아납니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

가족의 합을 두 갈래로 나누기

가족 전체는 곧 아버지 더하기 어머니-자녀 무리입니다.
그래서 가족의 합은 아버지의 나이 더하기 어머니-자녀의 합과도 같습니다.
가족의 합을 쓴 두 방법을 같다고 놓으면 $n$에 대한 방정식 하나가 나옵니다.

$$20(n+2) = 48 + 16(n+1)$$

💡 하나의 전체 합은 한꺼번에 만들 수도, 부분들을 더해 만들 수도 있으며 두 방법은 반드시 일치합니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 4

방정식 풀기

양쪽을 전개합니다: $20n + 40 = 48 + 16n + 16$이므로 $20n + 40 = 16n + 64$.
양변에서 $16n$을 빼면 $4n + 40 = 64$, 다시 $40$을 빼면 $4n = 24$.
$4$로 나누면 $n = 6$.
자녀는 $6$명이고, 이는 선택지 (E)입니다.

$$20n + 40 = 16n + 64 \;\Rightarrow\; 4n = 24 \;\Rightarrow\; n = 6 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 $n$ 항은 한쪽으로, 순수한 숫자는 반대쪽으로 모은 다음 곱셈을 되돌립니다.

[1] #4 6.EE.B.6 자녀 수를 $n$이라 합시다. 가족 전체는 어머니, 아버지, 그리고 자녀 $n$명이므로 가족은 $n + 2$명입니다. 어머니-자녀 무리는 아버지

[2] #4 6.SP.A.3 평균은 합을 개수로 나눈 것이므로, 합은 평균 곱하기 개수입니다. 가족 전체는 $n + 2$명에 평균 $20$이므로 가족의 합은 $20(n +

[3] #13 7.EE.B.4 가족 전체는 곧 아버지 더하기 어머니-자녀 무리입니다. 그래서 가족의 합은 아버지의 나이 더하기 어머니-자녀의 합과도 같습니다. 가족의 합을 쓴

[4] #13 6.EE.B.7 양쪽을 전개합니다: $20n + 40 = 48 + 16n + 16$이므로 $20n + 40 = 16n + 64$. 양변에서 $16n$을 빼면 $

검토

합리성 확인: $n = 6$으로 숫자를 확인합니다. 가족은 $8$명이므로 가족의 합은 $20 \times 8 = 160$이어야 합니다. 어머니와 자녀 $6$명은 $7$명이고 평균 $16$이므로 합은 $16 \times 7 = 112$입니다. 아버지를 더하면 $112 + 48 = 160$으로 가족의 합과 정확히 맞습니다. 평균이 서로 어긋나지 않으므로 자녀 $6$명이 맞습니다.

대안 접근: 아버지가 평균을 얼마나 끌어올리는지로 생각합니다. 모든 구성원을 가족 평균 $20$과 비교합니다. 아버지는 그보다 $48 - 20 = 28$만큼 위에 있습니다. 어머니와 자녀들은 각각 평균 $16$으로 가족 평균보다 $20 - 16 = 4$만큼 아래이므로, $n + 1$명이 합쳐서 $4(n+1)$만큼 아래입니다. 평균이 균형을 이루려면 아버지의 초과분이 이들의 부족분을 상쇄해야 합니다: $28 = 4(n+1)$, 따라서 $n + 1 = 7$, $n = 6$입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (자녀 수를 $n$으로 놓고 가족 크기 $n+2$와 어머니-자녀 크기 $n+1$을 쓰는 데 사용.)
6.SP.A.3 Recognize that a measure of center summarizes all its values with a single number (각 평균을 합 $=$ 평균 $\times$ 개수로 되돌려 $20(n+2)$와 $16(n+1)$을 얻는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (가족이 아버지 더하기 어머니-자녀 무리라는 사실로부터 방정식 $20(n+2) = 48 + 16(n+1)$을 세우는 데 사용.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($4n = 24$로 정리하고 나누어 $n = 6$을 구하는 데 사용.)

⭐ 모든 평균을 사람 수로 곱해 합으로 되돌린 다음, 전체를 부분들의 합과 맞춰 모르는 값을 구하세요.