AMC 10 · 2007 · #10

학년 7 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation
mean-median-mode-rangeweighted-averagelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
한 가족은 어머니, 아버지, 그리고 몇 명의 자녀로 이루어져 있습니다. 가족 전체의 나이 평균은 20입니다. 아버지는 48세입니다. 어머니와 자녀들을 함께 본 평균은 16입니다. 자녀가 몇 명인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
3
(C)
4
(D)
5
(E)
6

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

자녀 수를 모르므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 그것을 n이라 이름 붙이면 다른 모든 양을 n으로 표현할 수 있습니다. 평균을 쓸모 있게 만드는 요령은 그것을 다시 합으로 되돌리는 것입니다: 나이의 합 = 평균 × 사람 수. 두 합을 n으로 쓰고 나면, 도구 #13(대수로 바꾸기)이 '아버지 더하기 나머지 = 가족 전체'라는 문장을 하나의 방정식으로 바꾸고, 그것을 풀어 n을 구합니다. 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)이 답을 도로 넣어 평균이 맞게 나오는지 확인합니다.

1STEP 1

모르는 값에 이름 붙이고 사람 수 세기

자녀 수를 n이라 하면 가족은 n + 2명, 아버지를 뺀 어머니-자녀 무리는 n + 1명입니다.

가족 = n + 2 명, 어머니+자녀 = n + 1 명
2STEP 2

각 평균을 합으로 되돌리기

합 = 평균 × 개수이므로 가족의 합은 20(n + 2), 어머니-자녀의 합은 16(n + 1)입니다.

가족 합 = 20(n+2), 어머니+자녀 합 = 16(n+1)
3STEP 3

가족의 합을 두 갈래로 나누기

가족은 아버지에 그 무리를 더한 것이므로, 가족의 합을 쓴 두 방법은 서로 같아야 합니다.

20(n+2) = 48 + 16(n+1)
4STEP 4

방정식 풀기

전개하면 20n + 40 = 16n + 64, 즉 4n = 24이므로 n = 6. 자녀는 6명, 답은 (E)입니다.

20n + 40 = 16n + 64 → 4n = 24 → n = 6 → (E)
정답
6
n = 6으로 숫자를 확인합니다. 가족은 8명이므로 가족의 합은 20 × 8 = 160이어야 합니다. 어머니와 자녀 6명은 7명이고 평균 16이므로 합은 16 × 7 = 112입니다. 아버지를 더하면 112 + 48 = 160으로 가족의 합과 정확히 맞습니다. 평균이 서로 어긋나지 않으므로 자녀 6명이 맞습니다.
💡핵심 정리

모든 평균을 사람 수로 곱해 합으로 되돌린 다음, 전체를 부분들의 합과 맞춰 모르는 값을 구하세요.

  • 모르는 값에 이름 붙이고 사람 수 세기
  • 각 평균을 합으로 되돌리기
  • 가족의 합을 두 갈래로 나누기
  • 방정식 풀기

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