AMC 10 · 2007 · #11

학년 3 geometry-3d

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

symmetry-argumentdouble-countingmental-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: symmetry-argument

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

$1$ 부터 $8$ 까지의 수를 정육면체의 각 꼭짓점에 놓되, 각 면에 있는 네 수의 합이 모두 같도록 배치한다. 이때 공통인 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정육면체의 여덟 꼭짓점에 $1$부터 $8$까지의 수를 한 꼭짓점에 하나씩 놓습니다. 각 면의 네 꼭짓점에 놓인 수의 합이 모든 면에서 똑같아지도록 배치했습니다. 이 공통의 합을 구하세요.

주어진 것: 정육면체의 여덟 꼭짓점에 $1, 2, 3, \dots, 8$의 수를 한 꼭짓점에 하나씩 놓는다; 정육면체의 여섯 면 각각에서 네 꼭짓점 수의 합이 모두 같다; 선택지: (A) $14$, (B) $16$, (C) $18$, (D) $20$, (E) $24$

구하는 것: 여섯 면이 모두 공유하는 공통의 합

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #1 그림 그리기

$1$부터 $8$까지를 실제로 배치해 모든 면의 합을 맞추려고 하면 끝없는 추측의 미로에 빠집니다. 핵심은 도구 #17(공간 상상하기)입니다. 정육면체를 머릿속에 그려 보면, 한 면과 그 맞은편 면은 꼭짓점을 하나도 공유하지 않지만 둘을 합치면 여덟 꼭짓점을 모두 쓴다는 것을 알 수 있습니다. 이 한 가지 공간적 사실 덕분에 도구 #16(관점 바꾸기)으로 개별 배치는 잊고 합만 따질 수 있습니다. 마주 보는 두 면이 여덟 개의 수를 모두 담아야 하기 때문입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 윗면과 아랫면의 꼭짓점을 헷갈리지 않게 정리해 줍니다.

실행 — 정답: C

#16 관점 바꾸기 2.NBT.B.5 단계 1

여덟 수를 모두 더한다

어떻게 배치하든 여덟 꼭짓점에는 항상 $1$부터 $8$까지의 수가 놓입니다.
한 번 다 더해 봅니다: $1+2+3+4+5+6+7+8 = 36$.
이것이 정육면체에 적힌 모든 수의 전체 합입니다.

$$1+2+3+4+5+6+7+8 = 36$$

💡 꼭짓점에는 항상 같은 여덟 수가 놓이므로, 배치를 시작하기도 전에 전체 합은 이미 정해져 있습니다.

#17 공간 상상하기 K.G.B.4 단계 2

한 면과 그 맞은편 면을 본다

정육면체의 윗면과 아랫면을 떠올려 봅니다.
윗면은 네 꼭짓점 위에, 아랫면은 나머지 네 꼭짓점 위에 놓이며, 어느 꼭짓점도 두 면에 동시에 속하지 않습니다.
따라서 윗면과 아랫면을 합치면 정육면체의 여덟 꼭짓점을 정확히 한 번씩 모두 덮습니다.

$$4 \text{ (윗면 꼭짓점)} + 4 \text{ (아랫면 꼭짓점)} = 8 \text{ (모든 꼭짓점, 중복 없음)}$$

💡 정육면체의 마주 보는 두 면은 서로 반대쪽을 향하므로 꼭짓점을 공유할 수 없고, 둘이 합쳐 모든 꼭짓점을 쓸어 담습니다.

#16 관점 바꾸기 3.OA.C.7 단계 3

전체 합을 반으로 나눈다

공통의 면 합을 $S$라고 합시다.
윗면의 합도 $S$, 아랫면의 합도 $S$입니다.
이 두 면이 여덟 수를 모두 담고 있으므로, 두 합을 더하면 전체 합이 됩니다: $S + S = 36$.
즉 $2S = 36$이고, $S = 36 \div 2 = 18$입니다.
공통의 합은 $18$, 곧 선택지 (C)입니다.

$$S + S = 36 \;\Rightarrow\; 2S = 36 \;\Rightarrow\; S = 18 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 같은 크기의 두 묶음이 합쳐서 $36$이면, 한 묶음은 $36$의 절반입니다.

[1] #16 2.NBT.B.5 어떻게 배치하든 여덟 꼭짓점에는 항상 $1$부터 $8$까지의 수가 놓입니다. 한 번 다 더해 봅니다: $1+2+3+4+5+6+7+8 = 36$.

[2] #17 K.G.B.4 정육면체의 윗면과 아랫면을 떠올려 봅니다. 윗면은 네 꼭짓점 위에, 아랫면은 나머지 네 꼭짓점 위에 놓이며, 어느 꼭짓점도 두 면에 동시에 속하

[3] #16 3.OA.C.7 공통의 면 합을 $S$라고 합시다. 윗면의 합도 $S$, 아랫면의 합도 $S$입니다. 이 두 면이 여덟 수를 모두 담고 있으므로, 두 합을 더하

검토

합리성 확인: 결과 $18$은 선택지 중 하나이고, 중간쯤에 놓이는 것이 자연스럽습니다. 가장 작은 네 수 $1,2,3,4$의 합은 $10$, 가장 큰 네 수 $5,6,7,8$의 합은 $26$이므로 어떤 면의 합도 $10$과 $26$ 사이에 있어야 하는데, $18$은 그 범위 안에 넉넉히 들어갑니다. 다른 방식으로도 확인됩니다. 각 꼭짓점은 $3$개의 면에 닿으므로 여섯 면의 합을 모두 더하면 각 수를 세 번씩 세게 되어 $3 \times 36 = 108$이고, 이를 여섯 면에 나누면 $108 \div 6 = 18$로 같은 답이 나옵니다.

대안 접근: 면을 짝짓는 대신 각 꼭짓점의 기여를 세어 봅니다. 모든 꼭짓점 수는 정확히 $3$개의 면에서 쓰이므로, 여섯 면의 합을 모두 더하면 실제로는 각 수를 세 번씩 더하는 셈입니다: 여섯 면의 합은 $3 \times (1+2+\dots+8) = 3 \times 36 = 108$입니다. 여섯 면이 모두 공통의 합 $S$를 가지므로 이 전체 값은 $6S$이기도 합니다. $6S = 108$에서 $S = 18$을 얻습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

2.NBT.B.5 Fluently add and subtract within 100 (여덟 꼭짓점 수 $1+2+\dots+8$을 더해 전체 합 $36$을 구함.)
K.G.B.4 Analyze and compare two- and three-dimensional shapes (정육면체의 마주 보는 두 면이 꼭짓점을 공유하지 않고 합쳐서 여덟 꼭짓점을 모두 덮는다는 것을 인식함.)
3.OA.C.7 Fluently multiply and divide within 100 (전체 합을 반으로 나누어($2S = 36$이므로 $S = 18$) 공통의 면 합을 구함.)

⭐ 정육면체의 마주 보는 두 면은 여덟 꼭짓점을 한 번씩 모두 쓰므로, 각 면은 전체 합 $1+2+\dots+8 = 36$의 절반인 $18$을 담습니다.