AMC 10 · 2007 · #11

학년 3 geometry-3d

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

symmetry-argumentdouble-countingmental-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: symmetry-argument

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

정육면체의 여덟 꼭짓점에 1부터 8까지의 수를 한 꼭짓점에 하나씩 놓습니다. 각 면의 네 꼭짓점에 놓인 수의 합이 모든 면에서 똑같아지도록 배치했습니다. 이 공통의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공간 상상하기

1부터 8까지를 실제로 배치해 모든 면의 합을 맞추려고 하면 끝없는 추측의 미로에 빠집니다. 핵심은 도구 #17(공간 상상하기)입니다. 정육면체를 머릿속에 그려 보면, 한 면과 그 맞은편 면은 꼭짓점을 하나도 공유하지 않지만 둘을 합치면 여덟 꼭짓점을 모두 쓴다는 것을 알 수 있습니다. 이 한 가지 공간적 사실 덕분에 도구 #16(관점 바꾸기)으로 개별 배치는 잊고 합만 따질 수 있습니다. 마주 보는 두 면이 여덟 개의 수를 모두 담아야 하기 때문입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 윗면과 아랫면의 꼭짓점을 헷갈리지 않게 정리해 줍니다.

1STEP 1

여덟 수를 모두 더한다

어떻게 놓아도 꼭짓점의 수는 1부터 8까지이므로 전체 합은 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36으로 고정입니다.

1+2+3+4+5+6+7+8 = 36

2STEP 2

한 면과 그 맞은편 면을 본다

윗면이 네 꼭짓점을, 아랫면이 나머지 네 꼭짓점을 쓰므로 마주 보는 두 면이 여덟 꼭짓점을 한 번씩 모두 덮습니다.

4 (윗면 꼭짓점) + 4 (아랫면 꼭짓점) = 8 (모든 꼭짓점, 중복 없음)

3STEP 3

전체 합을 반으로 나눈다

공통의 면 합을 S라 하면 윗면과 아랫면이 여덟 수를 모두 담으므로 S + S = 36, 곧 S = 18, 선택지 (C)입니다.

S + S = 36 → 2S = 36 → S = 18 → (C)

정답

결과 18은 선택지 중 하나이고, 중간쯤에 놓이는 것이 자연스럽습니다. 가장 작은 네 수 1,2,3,4의 합은 10, 가장 큰 네 수 5,6,7,8의 합은 26이므로 어떤 면의 합도 10과 26 사이에 있어야 하는데, 18은 그 범위 안에 넉넉히 들어갑니다. 다른 방식으로도 확인됩니다. 각 꼭짓점은 3개의 면에 닿으므로 여섯 면의 합을 모두 더하면 각 수를 세 번씩 세게 되어 3 × 36 = 108이고, 이를 여섯 면에 나누면 108 ÷ 6 = 18로 같은 답이 나옵니다.

💡핵심 정리

정육면체의 마주 보는 두 면은 여덟 꼭짓점을 한 번씩 모두 쓰므로, 각 면은 전체 합 1+2+…+8 = 36의 절반인 18을 담습니다.

여덟 수를 모두 더한다
한 면과 그 맞은편 면을 본다
전체 합을 반으로 나눈다

여덟 수를 모두 더한다

한 면과 그 맞은편 면을 본다

전체 합을 반으로 나눈다

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