AMC 10 · 2007 · #14

학년 8 geometry-2d

integer-pythagorean-triplespythagorean-theoremsimilar-trianglesarea-triangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 변의 길이가 3:4:5의 비인 삼각형이 반지름 3인 원 안에 세 꼭짓점이 모두 원에 닿도록 그려져 있다. 이 삼각형의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 8.64$

(B)

$\ 12$

(C)

$\ 5\pi$

(D)

$\ 17.28$

(E)

$\ 18$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 그림 한 장에 달려 있으므로 도구 #1(그림 그리기)이 핵심이다: 삼각형을 원 안에 그려 보면 가장 긴 변이 지름이라는 결정적 사실이 드러난다. 거기에 이르려면 도구 #5(패턴 찾기)로 3:4:5가 유명한 피타고라스 세 쌍임을 알아채야 하고, 이는 삼각형이 직각삼각형임을 뜻한다. 그다음 도구 #4(변수 도입하기)로 하나의 배율 k를 두어 비의 값 3,4,5를 실제 길이로 바꾸고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 깔끔한 단계로 나눈다 — 직각임을 밝히고, 지름을 찾고, 두 변을 배율로 늘리고, 넓이를 구한다.

1STEP 1

3-4-5 직각삼각형 알아보기

3²+4²=25=5²이므로 피타고라스 정리의 역에 의해 이 삼각형은 직각삼각형이고, 가장 긴 변이 직각과 마주 본다.

3²+4² = 9+16 = 25 = 5² → 직각삼각형

2STEP 2

빗변이 지름이다

원 위에 놓인 직각은 언제나 지름을 마주 보므로, 비의 5에 해당하는 빗변은 2r = 6이다.

빗변 = 지름 = 2r = 2 · 3 = 6

3STEP 3

비를 실제 길이로 늘리기

세 변을 3k, 4k, 5k로 두면 5k = 6에서 배율 k = 1.2가 되어 두 직각변은 3.6과 4.8이 된다.

5k = 6 → k = 6/5 = 1.2; 3k = 3.6, 4k = 4.8

4STEP 4

직각변 곱의 절반 구하기

두 직각변은 서로 수직이라 밑변과 높이가 되므로, 넓이는 3.6 × 4.8의 절반인 8.64이다.

넓이 = 1/2(3.6)(4.8) = 1/2(17.28) = 8.64 → (A)

정답

8.64

원의 넓이는 π r² = 9π ≈ 28.3이고 삼각형은 그 안에 들어가므로 넓이는 28보다 한참 작아야 하며, 8.64는 넉넉히 그보다 작다. 더 날카로운 확인: 기본 3-4-5 삼각형의 넓이는 1/2(3)(4)=6이고, 모든 길이를 k=1.2배 하면 넓이는 k²=1.44배가 되어 6 × 1.44 = 8.64 — 두 방법이 같은 답을 준다. 함정 답 (D) 17.28은 정확히 3.6 × 4.8, 즉 1/2을 빠뜨린 값이다; (C) 5π≈ 15.7은 π가 나오리라 잘못 기대한 것이다 (삼각형의 넓이에는 π가 붙지 않는다); (B) 12와 (E) 18은 어떤 올바른 단계에서도 나오지 않는다.

💡핵심 정리

3-4-5 삼각형은 직각삼각형이라서 가장 긴 변이 원을 가로질러 지름이 된다; 그에 맞게 전체를 배율로 늘린 뒤 직각변 곱의 절반을 구하면 된다.

3-4-5 직각삼각형 알아보기
빗변이 지름이다
비를 실제 길이로 늘리기
직각변 곱의 절반 구하기

3-4-5 직각삼각형 알아보기

빗변이 지름이다

비를 실제 길이로 늘리기

직각변 곱의 절반 구하기

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