AMC 10 · 2007 · #14

학년 8 geometry-2d

integer-pythagorean-triplespythagorean-theoremsimilar-trianglesarea-triangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

변의 길이의 비가 $3 : 4 : 5$ 인 삼각형이 반지름 3인 원에 내접해 있다. 이 삼각형의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 8.64$

(B)

$\ 12$

(C)

$\ 5\pi$

(D)

$\ 17.28$

(E)

$\ 18$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 변의 길이가 $3:4:5$의 비인 삼각형이 반지름 $3$인 원 안에 세 꼭짓점이 모두 원에 닿도록 그려져 있다. 이 삼각형의 넓이를 구하여라.

주어진 것: 삼각형의 세 변은 $3:4:5$의 비이다; 삼각형은 원에 내접한다 (세 꼭짓점이 모두 원 위에 있다); 원의 반지름은 $3$이다; 선택지: (A) 8.64, (B) 12, (C) $5\pi$, (D) 17.28, (E) 18

구하는 것: 내접한 삼각형의 실제 넓이

이해

문제 재정리: 세 변의 길이가 $3:4:5$의 비인 삼각형이 반지름 $3$인 원 안에 세 꼭짓점이 모두 원에 닿도록 그려져 있다. 이 삼각형의 넓이를 구하여라.

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제는 그림 한 장에 달려 있으므로 도구 #1(그림 그리기)이 핵심이다: 삼각형을 원 안에 그려 보면 가장 긴 변이 지름이라는 결정적 사실이 드러난다. 거기에 이르려면 도구 #5(패턴 찾기)로 $3:4:5$가 유명한 피타고라스 세 쌍임을 알아채야 하고, 이는 삼각형이 직각삼각형임을 뜻한다. 그다음 도구 #4(변수 도입하기)로 하나의 배율 $k$를 두어 비의 값 $3,4,5$를 실제 길이로 바꾸고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 깔끔한 단계로 나눈다 — 직각임을 밝히고, 지름을 찾고, 두 변을 배율로 늘리고, 넓이를 구한다.

실행 — 정답: A

#5 패턴 찾기 8.G.B.6 단계 1

3-4-5 직각삼각형 알아보기

세 변은 $3:4:5$의 비이고, $3^2+4^2=9+16=25=5^2$이다.
피타고라스 정리의 역에 의해, 세 변이 이 관계를 만족하는 삼각형은 직각삼각형이며, 가장 긴 변(비의 $5$)이 직각과 마주 본다.
따라서 이 내접 삼각형은 직각삼각형이다.

$$3^2+4^2 = 9+16 = 25 = 5^2 \;\Rightarrow\; \text{직각삼각형}$$

💡 $9+16=25$를 보는 순간 비 속에 숨은 고전적 직각삼각형 세 쌍이 드러난다.

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 2

빗변이 지름이다

직각삼각형을 세 꼭짓점이 모두 원 위에 오도록 그린다.
원 위에 놓인 직각은 언제나 지름을 마주 본다 — 직각과 마주 보는 변은 중심을 지나 곧게 뻗는다.
그 변이 바로 빗변, 즉 비의 $5$에 해당하는 변이다.
반지름이 $3$이므로 지름은 $2\times 3 = 6$이고, 따라서 빗변의 길이는 $6$이다.

$$\text{빗변} = \text{지름} = 2r = 2\cdot 3 = 6$$

💡 직각은 원에서 가장 넓게 벌어진 폭, 즉 지름을 가리킨다.

#4 변수 도입하기 7.G.A.1 단계 3

비를 실제 길이로 늘리기

비의 숫자를 실제 변의 길이로 바꾸는 배율을 $k$라 하면 세 변은 $3k$, $4k$, $5k$이다.
$5k$인 변이 빗변이고, 방금 그것이 $6$임을 알았다.
$5k = 6$을 풀면 $k = \tfrac{6}{5} = 1.2$이다.
그러면 두 직각변은 $3k = 3.6$과 $4k = 4.8$이다.

$$5k = 6 \Rightarrow k = \tfrac{6}{5} = 1.2;\quad 3k = 3.6,\ \ 4k = 4.8$$

💡 실제 길이 하나만 정해지면 미지의 배율 하나가 도형 전체를 다시 늘려 준다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

직각변 곱의 절반 구하기

직각삼각형에서 두 직각변은 서로 수직이므로 밑변과 높이 역할을 한다.
넓이는 그 곱의 절반이다.
직각변 $3.6$과 $4.8$을 쓰면 넓이 $=\tfrac12(3.6)(4.8) = \tfrac12(17.28) = 8.64$이다.
이는 선택지 (A)와 일치한다.

$$\text{넓이} = \tfrac12(3.6)(4.8) = \tfrac12(17.28) = 8.64 \Rightarrow \textbf{(A)}$$

💡 수직인 두 직각변이 이미 밑변과 그에 맞는 높이를 주므로 추가 작업이 필요 없다.

[1] #5 8.G.B.6 세 변은 $3:4:5$의 비이고, $3^2+4^2=9+16=25=5^2$이다. 피타고라스 정리의 역에 의해, 세 변이 이 관계를 만족하는 삼각형

[2] #1 7.G.B.4 직각삼각형을 세 꼭짓점이 모두 원 위에 오도록 그린다. 원 위에 놓인 직각은 언제나 지름을 마주 본다 — 직각과 마주 보는 변은 중심을 지나 곧

[3] #4 7.G.A.1 비의 숫자를 실제 변의 길이로 바꾸는 배율을 $k$라 하면 세 변은 $3k$, $4k$, $5k$이다. $5k$인 변이 빗변이고, 방금 그것이

[4] #7 6.G.A.1 직각삼각형에서 두 직각변은 서로 수직이므로 밑변과 높이 역할을 한다. 넓이는 그 곱의 절반이다. 직각변 $3.6$과 $4.8$을 쓰면 넓이 $=

검토

합리성 확인: 원의 넓이는 $\pi r^2 = 9\pi \approx 28.3$이고 삼각형은 그 안에 들어가므로 넓이는 $28$보다 한참 작아야 하며, $8.64$는 넉넉히 그보다 작다. 더 날카로운 확인: 기본 $3\text{-}4\text{-}5$ 삼각형의 넓이는 $\tfrac12(3)(4)=6$이고, 모든 길이를 $k=1.2$배 하면 넓이는 $k^2=1.44$배가 되어 $6\times 1.44 = 8.64$ — 두 방법이 같은 답을 준다. 함정 답 (D) $17.28$은 정확히 $3.6\times 4.8$, 즉 $\tfrac12$을 빠뜨린 값이다; (C) $5\pi\approx 15.7$은 $\pi$가 나오리라 잘못 기대한 것이다 (삼각형의 넓이에는 $\pi$가 붙지 않는다); (B) $12$와 (E) $18$은 어떤 올바른 단계에서도 나오지 않는다.

대안 접근: 직각변을 하나씩 구하지 말고 넓이를 곧바로 배율로 늘려도 된다. 기본 $3\text{-}4\text{-}5$ 삼각형의 넓이는 $6$이다. 실제 삼각형은 이것과 닮음이고 변의 비가 $\tfrac{6}{5}$이며, 닮은 도형의 넓이는 변의 비의 제곱으로 커진다: $\left(\tfrac{6}{5}\right)^2 = \tfrac{36}{25} = 1.44$. 따라서 넓이는 $6 \times 1.44 = 8.64$로 (A)와 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.6 Explain a proof of the Pythagorean Theorem and its converse (피타고라스 정리의 역을 이용해 세 변이 3:4:5의 비인 삼각형이 직각삼각형이며 5-변이 빗변임을 결론짓는 데 사용.)
7.G.B.4 Know the formulas for the area and circumference of a circle and use them to solve problems (반지름과 지름의 관계(지름 = 2r = 6)를 세우고, 내접 직각삼각형의 빗변을 원의 지름으로 확인하는 데 사용.)
7.G.A.1 Solve problems involving scale drawings of geometric figures, including computing actual lengths from a scale factor (배율 k를 두어 비의 값 3,4,5를 실제 길이로 바꾸고, 5k = 6을 풀어 k = 1.2를 얻고, 직각변 3.6과 4.8을 구하는 데 사용.)
6.G.A.1 Find the area of right triangles, other triangles, and polygons (삼각형의 넓이를 수직인 두 직각변 곱의 절반, 즉 1/2 (3.6)(4.8) = 8.64로 계산하는 데 사용.)

⭐ 3-4-5 삼각형은 직각삼각형이라서 가장 긴 변이 원을 가로질러 지름이 된다; 그에 맞게 전체를 배율로 늘린 뒤 직각변 곱의 절반을 구하면 된다.