AMC 10 · 2007 · #16

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split

parityprobability-basiccomplementary-counting casework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정수 $a, b, c, d$ (서로 다를 필요는 없다)를 $0$ 부터 $2007$ 까지의 정수 중에서 각각 독립적으로 무작위로 고른다. $ad-bc$ 가 짝수일 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac 38$

(B)

$\ \frac 7{16}$

(C)

$\ \frac 12$

(D)

$\ \frac 9{16}$

(E)

$\ \frac 58$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 정수 $a$, $b$, $c$, $d$를 각각 $0$부터 $2007$까지의 정수에서 서로 독립적으로 무작위로 고른다. $ad - bc$가 짝수가 될 확률을 구하여라.

주어진 것: $a$, $b$, $c$, $d$는 $0$부터 $2007$까지의 정수에서 서로 독립적으로 균등하게 선택된다; $0$부터 $2007$까지의 정수 $2008$개는 짝수 $1004$개($0,2,\dots,2006$)와 홀수 $1004$개($1,3,\dots,2007$)로 정확히 반씩 나뉜다; 선택지: (A) $\tfrac38$, (B) $\tfrac7{16}$, (C) $\tfrac12$, (D) $\tfrac9{16}$, (E) $\tfrac58$

구하는 것: $ad - bc$가 짝수가 될 확률

이해

문제 재정리: 네 정수 $a$, $b$, $c$, $d$를 각각 $0$부터 $2007$까지의 정수에서 서로 독립적으로 무작위로 고른다. $ad - bc$가 짝수가 될 확률을 구하여라.

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기

$ad-bc$가 짝수인지는 $0$부터 $2007$까지의 실제 값과 무관하고, 각 수가 짝수인지 홀수인지(패리티)만 중요하다. 그래서 Tool #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 $2008$개의 값에 관한 질문을 각 변수가 확률 $\tfrac12$로 '짝수' 또는 '홀수'인 동전 던지기 질문으로 축소한다. 이어서 Tool #16(관점 바꾸기)으로 수 자체가 아니라 두 곱 $ad$와 $bc$의 패리티에 초점을 맞춘다. 곱은 두 인수가 모두 홀수일 때만 홀수이기 때문이다. Tool #7(작은 문제로 쪼개기)은 목표를 두 조각으로 나눈다 — 각 곱이 짝수일 확률, 그리고 두 곱의 패리티가 일치할 확률 — 이 둘을 곱하고 더하면 최종 확률이 나온다.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.5 단계 1

패리티 문제로 줄이기

$ad - bc$가 짝수인지는 $a,b,c,d$ 각각이 짝수인지 홀수인지에만 달려 있고, 실제 값에는 달려 있지 않다.
후보를 세어 보자: $0$부터 $2007$까지는 정수가 $2008$개이고 그중 짝수가 $1004$개, 홀수가 $1004$개이다.
$1004$와 $1004$가 같으므로 각 변수는 확률 $\tfrac{1004}{2008} = \tfrac12$로 짝수, 확률 $\tfrac12$로 홀수이며, 네 번의 선택은 독립이다.
따라서 문제 전체는 사실 공정한 짝수-홀수 동전 네 번 던지기이다.

$$P(\text{짝수}) = \tfrac{1004}{2008} = \tfrac12,\qquad P(\text{홀수}) = \tfrac12$$

💡 $ad-bc$의 짝홀은 각 수의 패리티만 바꾸고, 범위가 정확히 반으로 나뉘므로 모든 변수는 공정한 짝수-홀수 동전이다.

#16 관점 바꾸기 4.OA.B.4 단계 2

각 곱의 패리티

곱 하나, 예를 들어 $ad$를 보자.
두 정수의 곱은 두 인수가 모두 홀수일 때만 홀수이고, 어느 한 인수라도 짝수이면 곱은 짝수이다.
따라서 $ad$가 홀수인 경우는 $a$도 홀수이고 $d$도 홀수일 때뿐이며, 그 확률은 $\tfrac12 \cdot \tfrac12 = \tfrac14$이다.
그러면 $ad$가 짝수일 확률은 $1 - \tfrac14 = \tfrac34$이다.
곱 $bc$도 똑같이 홀수일 확률 $\tfrac14$, 짝수일 확률 $\tfrac34$이다.

$$P(ad\text{ 홀수}) = \tfrac12\cdot\tfrac12 = \tfrac14,\quad P(ad\text{ 짝수}) = \tfrac34;\quad bc\text{도 동일}$$

💡 인수 하나만 짝수여도 곱은 짝수로 끌려가므로, 곱이 홀수인 경우는 두 인수가 모두 홀수인 그 한 경우뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 3

차가 언제 짝수인가

차 $ad - bc$는 $ad$와 $bc$의 패리티가 같을 때 — 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수일 때 — 정확히 짝수이다.
(하나가 짝수이고 다른 하나가 홀수이면 차는 홀수이다.) 그래서 목표 사건은 서로 겹치지 않는 두 하위경우 '두 곱이 모두 짝수'와 '두 곱이 모두 홀수'로 나뉜다.
각각을 앞 단계의 확률로 처리한 뒤, 두 하위경우는 동시에 일어날 수 없으므로 더한다.

$$ad - bc \text{ 짝수} \iff (ad,\,bc)\text{ 둘 다 짝수 또는 둘 다 홀수}$$

💡 두 수를 빼서 짝수가 되는 것은 두 수의 패리티가 같을 때뿐이라, 패리티를 맞추는 것이 문제의 핵심이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

경우를 곱하고 더하기

$ad$와 $bc$의 패리티는 서로 다른 변수($a,d$ 대 $b,c$)를 쓰므로 독립이고, 따라서 각 하위경우 안에서 확률을 곱한다.
둘 다 짝수: $\tfrac34 \cdot \tfrac34 = \tfrac{9}{16}$.
둘 다 홀수: $\tfrac14 \cdot \tfrac14 = \tfrac{1}{16}$.
서로 겹치지 않는 두 하위경우를 더하면 $\tfrac{9}{16} + \tfrac{1}{16} = \tfrac{10}{16} = \tfrac58$이다.
따라서 $ad - bc$가 짝수일 확률은 $\tfrac58$이고, 이는 선택지 (E)이다.

$$\tfrac34\cdot\tfrac34 + \tfrac14\cdot\tfrac14 = \tfrac{9}{16} + \tfrac{1}{16} = \tfrac{10}{16} = \tfrac58 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 독립인 패리티는 각 경우 안에서 곱하고, 겹치지 않는 경우는 더하므로 $\tfrac{9}{16}+\tfrac1{16}$이 차가 짝수가 되는 모든 방법을 모은다.

[1] #9 7.SP.C.5 $ad - bc$가 짝수인지는 $a,b,c,d$ 각각이 짝수인지 홀수인지에만 달려 있고, 실제 값에는 달려 있지 않다. 후보를 세어 보자: $0

[2] #16 4.OA.B.4 곱 하나, 예를 들어 $ad$를 보자. 두 정수의 곱은 두 인수가 모두 홀수일 때만 홀수이고, 어느 한 인수라도 짝수이면 곱은 짝수이다. 따라서

[3] #7 7.SP.C.7 차 $ad - bc$는 $ad$와 $bc$의 패리티가 같을 때 — 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수일 때 — 정확히 짝수이다. (하나가 짝수이고 다

[4] #7 7.SP.C.8 $ad$와 $bc$의 패리티는 서로 다른 변수($a,d$ 대 $b,c$)를 쓰므로 독립이고, 따라서 각 하위경우 안에서 확률을 곱한다. 둘 다

검토

합리성 확인: 답 $\tfrac58 = 0.625$는 유효한 확률($0$과 $1$ 사이)이고 $\tfrac12$보다 살짝 크다. 이는 타당하다: '짝수' 곱이 '홀수' 곱보다 훨씬 흔하므로(각 곱은 $\tfrac34$의 확률로 짝수), 두 곱의 패리티가 일치할 확률은 동전 던지기보다 조금 더 커야 한다. 여사건으로 교차 확인하면: $ad-bc$가 홀수인 경우는 두 곱의 패리티가 다를 때로 확률 $\tfrac34\cdot\tfrac14 + \tfrac14\cdot\tfrac34 = \tfrac{3}{16}+\tfrac{3}{16} = \tfrac{6}{16} = \tfrac38$이고, $\tfrac58 + \tfrac38 = 1$로 반드시 그래야 하는 대로 맞는다. 선택지 (A) $\tfrac38$은 바로 이 여사건('홀수' 확률)으로 자연스러운 함정이며, (C) $\tfrac12$는 곱이 짝수와 홀수로 똑같이 나올 때만 맞지만 실제로는 그렇지 않다.

대안 접근: 대신 여사건을 직접 센다. $ad - bc$가 홀수인 경우는 한 곱이 짝수, 다른 곱이 홀수일 때뿐이다. 이는 대칭인 두 경우이다: $ad$ 짝수·$bc$ 홀수, 또는 $ad$ 홀수·$bc$ 짝수, 각각 확률 $\tfrac34\cdot\tfrac14 = \tfrac{3}{16}$이고 합이 $\tfrac{6}{16} = \tfrac38$이다. $1$에서 빼면 짝수일 확률은 $1 - \tfrac38 = \tfrac58$로 (E)와 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.5 Understand that the probability of a chance event is between 0 and 1 ($0$부터 $2007$까지가 짝수 $1004$개와 홀수 $1004$개로 나뉘므로 각 변수가 정확히 확률 $\tfrac12$로 짝수 또는 홀수임을 보이는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (곱은 두 인수가 모두 홀수일 때만 홀수라는 패리티 규칙으로 $P(ad\text{ 홀수}) = \tfrac14$을 얻는 데 사용.)
7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (목표 사건 '차가 짝수'를 $ad$와 $bc$의 패리티가 일치하는 서로 겹치지 않는 두 하위경우로 모델링하는 데 사용.)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (각 경우 안에서 독립인 패리티 확률을 곱하고 겹치지 않는 경우를 더하기: $\tfrac{9}{16}+\tfrac1{16}=\tfrac58$.)

⭐ 실제 숫자는 잊고 짝수-홀수만 따라가자: 두 곱의 패리티가 일치할 때 차가 짝수가 되고, 곱은 $\tfrac34$의 확률로 짝수이므로 확률이 쌓여 $\tfrac58$이 된다.