AMC 10 · 2007 · #16

학년 7 probability
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split
parityprobability-basiccomplementary-counting casework ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
네 정수 a, b, c, d를 각각 0부터 2007까지의 정수에서 서로 독립적으로 무작위로 고른다. ad - bc가 짝수가 될 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\ \frac 38$
(B)
$\ \frac 7{16}$
(C)
$\ \frac 12$
(D)
$\ \frac 9{16}$
(E)
$\ \frac 58$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

ad-bc가 짝수인지는 0부터 2007까지의 실제 값과 무관하고, 각 수가 짝수인지 홀수인지(패리티)만 중요하다. 그래서 Tool #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 2008개의 값에 관한 질문을 각 변수가 확률 1/2로 '짝수' 또는 '홀수'인 동전 던지기 질문으로 축소한다. 이어서 Tool #16(관점 바꾸기)으로 수 자체가 아니라 두 곱 ad와 bc의 패리티에 초점을 맞춘다. 곱은 두 인수가 모두 홀수일 때만 홀수이기 때문이다. Tool #7(작은 문제로 쪼개기)은 목표를 두 조각으로 나눈다 — 각 곱이 짝수일 확률, 그리고 두 곱의 패리티가 일치할 확률 — 이 둘을 곱하고 더하면 최종 확률이 나온다.

1STEP 1

패리티 문제로 줄이기

패리티만 중요하다. 0부터 2007까지 짝수 1004개, 홀수 1004개이므로 각 변수는 확률 1/2로 짝수이고 서로 독립이다.

P(짝수) = 1004/2008 = 1/2, P(홀수) = 1/2
2STEP 2

각 곱의 패리티

곱은 두 인수가 모두 홀수일 때만 홀수이므로 ad가 홀수일 확률은 1/4, 짝수일 확률은 3/4이다. bc도 같다.

P(ad 홀수) = 1/2·1/2 = 1/4, P(ad 짝수) = 3/4; bc도 동일
3STEP 3

차가 언제 짝수인가

ad - bc는 ad와 bc의 패리티가 같을 때만 짝수이므로, 두 곱이 모두 짝수인 경우와 모두 홀수인 경우로 나눈다.

ad - bc 짝수 ⇔ (ad, bc) 둘 다 짝수 또는 둘 다 홀수
4STEP 4

경우를 곱하고 더하기

두 곱 다 짝수면 3/4 · 3/4 = 9/16, 다 홀수면 1/16. 더하면 5/8, 곧 (E)이다.

3/4·3/4 + 1/4·1/4 = 9/16 + 1/16 = 10/16 = 5/8 → (E)
정답
5/8
답 5/8 = 0.625는 유효한 확률(0과 1 사이)이고 1/2보다 살짝 크다. 이는 타당하다: '짝수' 곱이 '홀수' 곱보다 훨씬 흔하므로(각 곱은 3/4의 확률로 짝수), 두 곱의 패리티가 일치할 확률은 동전 던지기보다 조금 더 커야 한다. 여사건으로 교차 확인하면: ad-bc가 홀수인 경우는 두 곱의 패리티가 다를 때로 확률 3/4·1/4 + 1/4·3/4 = 3/16+3/16 = 6/16 = 3/8이고, 5/8 + 3/8 = 1로 반드시 그래야 하는 대로 맞는다. 선택지 (A) 3/8은 바로 이 여사건('홀수' 확률)으로 자연스러운 함정이며, (C) 1/2는 곱이 짝수와 홀수로 똑같이 나올 때만 맞지만 실제로는 그렇지 않다.
💡핵심 정리

실제 숫자는 잊고 짝수-홀수만 따라가자: 두 곱의 패리티가 일치할 때 차가 짝수가 되고, 곱은 3/4의 확률로 짝수이므로 확률이 쌓여 5/8이 된다.

  • 패리티 문제로 줄이기
  • 각 곱의 패리티
  • 차가 언제 짝수인가
  • 경우를 곱하고 더하기

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