AMC 10 · 2007 · #17

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

prime-factorizationexponentsmultiples identify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$m$ 과 $n$ 이 $75m = n^{3}$ 을 만족하는 양의 정수라고 하자. $m + n$ 의 최솟값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

5700

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $75m = n^3$을 만족하는 두 양의 정수 $m$과 $n$을 찾으려 한다. 이는 $75$에 $m$을 곱한 값이 정확히 어떤 완전세제곱수가 된다는 뜻이다. 그러한 모든 쌍 중에서 $m + n$의 최솟값을 구하여라.

주어진 것: $m$과 $n$은 양의 정수이다; $75m = n^3$이므로 $75m$은 완전세제곱수여야 한다; 보기: (A) $15$, (B) $30$, (C) $50$, (D) $60$, (E) $5700$

구하는 것: $m + n$의 최솟값

이해

주어진 것: $m$과 $n$은 양의 정수이다; $75m = n^3$이므로 $75m$은 완전세제곱수여야 한다; 보기: (A) $15$, (B) $30$, (C) $50$, (D) $60$, (E) $5700$

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기

"최솟값"이라는 말은 곧바로 도구 #14(극단의 원리)를 가리킨다. 세제곱 조건이 허용하는 한도까지 $m$과 $n$을 최대한 작게 밀어 내리는 것이다. 그 조건이 정확히 무엇인지 보려면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 쓴다. 먼저 $75$를 소수로 분해하고, 각 소수의 지수를 따로 다루는 것이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 $n = 3^x \cdot 5^y$로 놓으면 세제곱 $n^3$의 지수가 $3x$와 $3y$가 되어 우리가 조절할 수 있다. 이 세 배로 늘어난 지수를 $75$가 이미 제공하는 것과 맞추면 가장 작은 $x$와 $y$가 정해지고, 이로써 가장 작은 $n$, 이어서 가장 작은 $m$, 그리고 그 합이 나온다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

75를 소수로 분해하기

$75m$이 무엇으로 시작하는지 정확히 보기 위해 $75$를 소수 벽돌로 분해한다.
$75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$이다.
그래서 $75$는 인수 $3$ 하나와 인수 $5$ 둘을 지닌다.
세제곱수가 되는지에 대한 모든 것은 이 두 지수 $1$과 $2$로 귀결된다.

$$75 = 3^{1} \cdot 5^{2}$$

💡 소수는 수의 원자이므로 먼저 분해하면 $m$이 아직 채워야 할 조각이 무엇인지 정확히 드러난다.

#4 변수 도입하기 8.EE.A.1 단계 2

세제곱을 소수 꼴로 쓰기

$75m = n^3$이고 $75$는 소수 $3$과 $5$만으로 이루어지므로, 세제곱 $n^3$에는 다른 소수가 들어올 수 없고 따라서 $n$ 자체도 $3$과 $5$만으로 만들어진다.
$n = 3^{x} \cdot 5^{y}$($x, y \ge 0$인 정수)로 쓰자.
세제곱하면 각 지수가 $3$배가 된다: $n^3 = 3^{3x} \cdot 5^{3y}$.
완전세제곱수란 바로 모든 소수 지수가 $3$의 배수인 수이므로, 이것이 $75m$이 맞추어야 할 모양이다.

$$n = 3^{x} \cdot 5^{y} \;\Rightarrow\; n^{3} = 3^{3x} \cdot 5^{3y}$$

💡 세제곱은 모든 지수를 세 배로 만들므로, 세제곱수는 곧 모든 소수 지수가 $3$의 배수인 수일 뿐이다.

#14 극단의 원리 8.EE.A.2 단계 3

지수를 최소로 밀어내리기

세제곱 $n^3 = 3^{3x} \cdot 5^{3y}$은 $75 = 3^{1} \cdot 5^{2}$의 배수여야 하므로, 그 지수는 모자랄 수 없다: $3x \ge 1$과 $3y \ge 2$가 필요하다.
$3x$와 $3y$는 $3$의 배수이므로 허용되는 가장 작은 값은 $3x = 3$(즉 $x = 1$)과 $3y = 3$(즉 $y = 1$)이다.
이로써 가장 작은 $n = 3^{1} \cdot 5^{1} = 15$이고, 그 세제곱은 $n^3 = 3^{3} \cdot 5^{3} = 27 \cdot 125 = 3375$이며, 이는 실제로 완전세제곱수 $15^3$이다.

$$3x \ge 1,\; 3y \ge 2 \;\Rightarrow\; x = y = 1 \;\Rightarrow\; n = 15,\; n^{3} = 15^{3} = 3375$$

💡 각 문턱을 넘기는 가장 작은 $3$의 배수는 $3$ 자신이므로, 두 지수 모두 $1$에서 멈춘다.

#14 극단의 원리 4.NBT.B.6 단계 4

m을 되찾아 더하기

이제 $75m = n^3 = 3375$에서 $m$을 구한다.
나누면 $m = 3375 \div 75 = 45$이다.
$n$을 이미 최대한 작게 만들었고 $m$은 그 선택에 따라 정해지므로, 이것이 가장 작은 합법한 쌍이다.
더하면 $m + n = 45 + 15 = 60$이다.
이는 보기 (D)이다.

$$m = \dfrac{3375}{75} = 45 \;\Rightarrow\; m + n = 45 + 15 = 60 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 세제곱을 가장 작게 고정하고 나면, $m$은 $75$를 나눠 낸 나머지일 뿐이고 합은 곧바로 따라온다.

[1] #7 4.OA.B.4 $75m$이 무엇으로 시작하는지 정확히 보기 위해 $75$를 소수 벽돌로 분해한다. $75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$이다

[2] #4 8.EE.A.1 $75m = n^3$이고 $75$는 소수 $3$과 $5$만으로 이루어지므로, 세제곱 $n^3$에는 다른 소수가 들어올 수 없고 따라서 $n$ 자

[3] #14 8.EE.A.2 세제곱 $n^3 = 3^{3x} \cdot 5^{3y}$은 $75 = 3^{1} \cdot 5^{2}$의 배수여야 하므로, 그 지수는 모자랄 수

[4] #14 4.NBT.B.6 이제 $75m = n^3 = 3375$에서 $m$을 구한다. 나누면 $m = 3375 \div 75 = 45$이다. $n$을 이미 최대한 작게

검토

합리성 확인: 이 쌍이 정말 성립하는지 확인하자: $75 \cdot 45 = 3375$이고 $15^3 = 15 \cdot 15 \cdot 15 = 225 \cdot 15 = 3375$이므로 $75m = n^3$이 정확히 성립한다. 또한 이것은 진짜 최솟값이다: $75$의 더 작은 세제곱 배수가 있으려면 $3$이나 $5$의 지수가 $3$보다 작아야 하는데, 세제곱수는 지수가 $1$이나 $2$일 수 없으므로 $15^3$이 $75$로 나누어떨어지는 첫 세제곱수다. 답 $60$은 보기 가운데 타당하게 놓인다: (A) $15$와 (B) $30$은 너무 작고($n = 15$ 하나만으로 이미 $15$를 다 쓰며 $m$은 $0$이 될 수 없다), (E) $5700$은 지수를 낭비하며 넘겨 짚은 결과다.

대안 접근: 대수를 건너뛰고 $75$의 배수가 되는 세제곱수가 나올 때까지 완전세제곱수를 나열하자: $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375$. $75$로 나누어떨어지는지 시험하면 처음 되는 것이 $3375 = 15^3$으로, $n = 15$, $m = 3375 / 75 = 45$이므로 $m + n = 60$이다. 소인수 논증은 그저 그 탐색이 $15^3$에서 끝나야 함을 미리 알려 줄 뿐이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.OA.B.4 Find all factor pairs for a whole number and recognize prime factorization ($75$를 소인수 $3^{1} \cdot 5^{2}$로 분해해 세제곱 조건을 지수에서 읽어내는 데 사용.)
8.EE.A.1 Know and apply the properties of integer exponents ($n = 3^{x} \cdot 5^{y}$을 세제곱해 $n^{3} = 3^{3x} \cdot 5^{3y}$로 바꿔 세제곱수의 지수가 모두 $3$의 배수임을 보는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use cube root symbols and evaluate cube roots of perfect cubes (지수를 가장 작게 골라 $n = 15$로 정하고 $n^3 = 15^3 = 3375$이 완전세제곱수임을 확인하는 데 사용.)
4.NBT.B.6 Find whole-number quotients using place value and the properties of operations ($3375 \div 75 = 45$로 $m$을 되찾은 뒤 더해 $m + n = 60$을 얻는 데 사용.)

⭐ 어떤 곱을 완전세제곱수로 만들려면 소인수분해한 뒤 각 지수를 가장 가까운 $3$의 배수까지만 올리고 그 이상은 올리지 마라.