AMC 10 · 2007 · #17

학년 8 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
prime-factorizationexponentsmultiples identify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-factorization
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
75m = n³을 만족하는 두 양의 정수 m과 n을 찾으려 한다. 이는 75에 m을 곱한 값이 정확히 어떤 완전세제곱수가 된다는 뜻이다. 그러한 모든 쌍 중에서 m + n의 최솟값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
15
(B)
30
(C)
50
(D)
60
(E)
5700

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 극단의 원리

"최솟값"이라는 말은 곧바로 도구 #14(극단의 원리)를 가리킨다. 세제곱 조건이 허용하는 한도까지 m과 n을 최대한 작게 밀어 내리는 것이다. 그 조건이 정확히 무엇인지 보려면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 쓴다. 먼저 75를 소수로 분해하고, 각 소수의 지수를 따로 다루는 것이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 n = 3^x · 5^y로 놓으면 세제곱 n³의 지수가 3x와 3y가 되어 우리가 조절할 수 있다. 이 세 배로 늘어난 지수를 75가 이미 제공하는 것과 맞추면 가장 작은 x와 y가 정해지고, 이로써 가장 작은 n, 이어서 가장 작은 m, 그리고 그 합이 나온다.

1STEP 1

75를 소수로 분해하기

75를 소인수분해하면 75 = 3 · 25 = 3 · 5²이다. 지수 1과 2, 이 둘이 모든 것을 결정한다.

75 = 3¹ · 5²
2STEP 2

세제곱을 소수 꼴로 쓰기

75가 3과 5뿐이니 n도 그렇다. n = 3^x · 5^y로 두면 n³ = 3³x · 5³y이고 모든 지수가 3의 배수다.

n = 3^x · 5^y → n³ = 3³x · 5³y
3STEP 3

지수를 최소로 밀어내리기

n³이 75의 배수이려면 3x ≥ 1, 3y ≥ 2이므로 x = y = 1, 최소 n은 15이고 n³ = 3375다.

3x ≥ 1, 3y ≥ 2 → x = y = 1 → n = 15, n³ = 15³ = 3375
4STEP 4

m을 되찾아 더하기

그러면 m = 3375 ÷ 75 = 45이고, n이 이미 최소이므로 m + n = 45 + 15 = 60, 보기 (D)다.

m = 3375/75 = 45 → m + n = 45 + 15 = 60 → (D)
정답
60
이 쌍이 정말 성립하는지 확인하자: 75 · 45 = 3375이고 15³ = 15 · 15 · 15 = 225 · 15 = 3375이므로 75m = n³이 정확히 성립한다. 또한 이것은 진짜 최솟값이다: 75의 더 작은 세제곱 배수가 있으려면 3이나 5의 지수가 3보다 작아야 하는데, 세제곱수는 지수가 1이나 2일 수 없으므로 15³이 75로 나누어떨어지는 첫 세제곱수다. 답 60은 보기 가운데 타당하게 놓인다: (A) 15와 (B) 30은 너무 작고(n = 15 하나만으로 이미 15를 다 쓰며 m은 0이 될 수 없다), (E) 5700은 지수를 낭비하며 넘겨 짚은 결과다.
💡핵심 정리

어떤 곱을 완전세제곱수로 만들려면 소인수분해한 뒤 각 지수를 가장 가까운 3의 배수까지만 올리고 그 이상은 올리지 마라.

  • 75를 소수로 분해하기
  • 세제곱을 소수 꼴로 쓰기
  • 지수를 최소로 밀어내리기
  • m을 되찾아 더하기

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