AMC 10 · 2007 · #19

학년 8 geometry-2d
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Geometric Area via Inclusion-Exclusion or Area Balance
area-trianglesisosceles-trianglequadratic-equationssymmetry-argument convert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
정사각형의 두 대각선을 따라 일정한 폭의 붓으로 칠하여 대칭인 X자 무늬를 만든다. 정사각형 넓이의 정확히 절반이 칠해진다. 정사각형의 한 변의 길이와 붓 폭의 비를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$2\sqrt {2} + 1$
(B)
$3\sqrt {2}$
(C)
$2\sqrt {2} + 2$
(D)
$3\sqrt {2} + 1$
(E)
$3\sqrt {2} + 2$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

칠해진 X자 모양은 다루기 까다롭다. 두 띠가 겹치므로 그 넓이를 그냥 더하면 가운데를 두 번 세게 된다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 문제를 뒤집는다. 정사각형의 절반이 칠해졌으니 나머지 절반은 칠해지지 않았고, 그 절반은 깔끔하고 합동인 네 개의 삼각형일 뿐이다. 도구 #1(그림 그리기)에 좌표를 얹으면 띠의 가장자리가 변을 어디서 자르는지 정확히 고정된다. 도구 #4(변수 도입하기)는 한 변을 1로, 붓 폭을 w로 놓아 '넓이의 절반'을 하나의 방정식으로 바꾼다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 흰 삼각형 하나만 떼어내며, w로 나타낸 그 넓이가 필요한 전부다.

1STEP 1

좌표 세우고 흰 삼각형 찾기

한 변을 11, 붓 폭을 ww로 두자. 두 띠가 가운데서 교차하고 각 변마다 합동인 흰 삼각형 넷이 남는다.

변=1, 붓 폭=w
2STEP 2

대신 흰 절반을 세기

칠한 곳이 절반이니 흰 부분도 절반 12\frac{1}{2}이고, 네 삼각형이 똑같으니 하나는 18\frac{1}{8}이다.

흰 삼각형 하나 = 1/4·1/2 = 1/8
3STEP 3

흰 삼각형 하나의 밑변 재기

띠는 변과 45°로 만나 양 끝에서 w22\frac{w\sqrt{2}}{2}씩 칠하므로, 흰 삼각형의 빗변은 1−w21-w\sqrt{2}이다.

밑변 = 1 - 2·w√2/2 = 1 - w√2
4STEP 4

넓이를 w에 대한 방정식으로 바꾸기

빗변이 bb면 넓이는 b24\frac{b^2}{4}이니 (1−w2)2=12(1-w\sqrt{2})^2=\frac{1}{2}이고, 알맞은 근은 w=2−12w=\frac{\sqrt{2}-1}{2}이다.

((1-w√2)²)/4=1/8 → 1-w√2=√2/2 → w=(√2-1)/2
5STEP 5

비 읽어내기

변 대 폭은 1w=22−1\frac{1}{w}=\frac{2}{\sqrt{2}-1}이고, 분모를 유리화하면 22+22\sqrt{2}+2, 곧 보기 (C)이다.

1/w=2/(√2-1)=(2(√2+1))/1=2√2+2 → (C)
정답
2√(2) + 2
크기를 확인하자. √2≈1.414이므로 폭은 w=0.414/2≈0.207이고, 변 대 폭은 약 1/0.207≈4.83이다. 보기 (C)는 2√2+2≈2.83+2=4.83으로 일치한다. 상식 검사도 통과한다: 변의 약 1/5쯤 되는 띠를 대각선을 따라 쓸면 그것만으로 정사각형의 절반에 조금 못 미치게 칠해지고, 교차하는 두 띠가 가운데서 겹치므로 정확히 절반이 칠해지는 것은 그럴듯하다. 틀린 보기들은 각각 뚜렷이 어긋난다: (A) 2√2+1≈3.83과 (B) 3√2≈4.24는 붓을 너무 넓게 만들어(절반보다 많이 칠해짐), (D) ≈5.24와 (E) ≈6.24는 붓을 너무 가늘게 만든다.
💡핵심 정리

칠해진 모양이 스스로 겹칠 때는 대신 남은 흰 부분을 재라. 네 개의 같은 삼각형이 '절반이 칠해짐'을 풀 수 있는 방정식 하나로 바꿔 준다.

  • 좌표 세우고 흰 삼각형 찾기
  • 대신 흰 절반을 세기
  • 흰 삼각형 하나의 밑변 재기
  • 넓이를 w에 대한 방정식으로 바꾸기
  • 비 읽어내기

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