AMC 10 · 2017 · #23
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
좋은 삼각형을 곧장 세는 것은 나쁜 경우가 곳곳에 숨어 있어 어렵습니다. 도구 #16 (관점 바꾸기)으로 뒤집습니다: 25개 점에서 3개를 고르는 모든 방법을 센 뒤, 나쁜 선택 — 세 점이 한 직선 위에 있어 넓이가 0인 경우 — 만 빼냅니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 이 납작한 묶음들을 직선의 종류(가로, 세로, 비스듬한 선)별로 나누고, 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 각 종류를 빠뜨리거나 겹치지 않게 셉니다.
모든 점 세 개 묶음 세기
점 25개에서 순서 없이 3개를 고르니 C(25, 3) = 2300가지 — 하지만 일부는 아직 진짜 삼각형이 아닙니다.
먼저 전체 더미를 세는 편이 낫습니다; 좋은 선택을 하나하나 찾기보다 나쁜 몇 개를 버리는 쪽이 쉽습니다.
7.SP.C.8Count The Complement나쁜 선택 찾기: 공선인 묶음
세 점이 삼각형을 못 이루는 것은 공선일 때뿐 — 넓이 0 — 이니, 2300에서 공선 묶음을 모두 빼면 됩니다.
세 꼭짓점이 같은 기울기를 공유하면 삼각형이 직선으로 납작해지므로, 공선은 곧 넓이 0입니다.
8.EE.B.6Identify Subproblems점 5개를 담은 직선 세기
가로 5, 세로 5, 주대각선 2 — 점 5개짜리 직선 12개 — 마다 C(5, 3) = 10개씩, 모두 120개입니다.
점 5개를 지나는 직선은 C(5, 3)개의 납작한 묶음을 숨기므로, 긴 직선이 넓이 0 선택의 가장 큰 원천입니다.
7.SP.C.8Make A Systematic List더 짧은 대각선 세기 (기울기 ± 1)
짧은 기울기 ± 1 대각선 — 점 4개짜리 4개와 3개짜리 4개 — 은 4·C(4, 3) + 4·C(3, 3) = 20개를 더합니다.
주대각선에서 벗어날수록 비스듬한 직선이 짧아지므로, 담는 점도 적고 납작한 묶음도 적습니다.
8.EE.B.6Make A Systematic List더 가파르고 더 완만한 직선 세기
기울기 2, -2, 1/2, -1/2 직선은 점 3개만, 각 3군데씩 — 4× 3개 직선이 12·C(3, 3) = 12개를 더합니다.
가파른 걸음은 격자를 빨리 써버리므로, 각 비스듬한 기울기는 점 3개짜리 직선을 몇 개밖에 끼워 넣지 못합니다.
8.EE.B.6Make A Systematic List나쁜 선택을 더해 빼기
납작한 묶음을 더하면 120 + 20 + 12 = 152개. 2300에서 빼면 2300 - 152 = 2148, 답은 (B)입니다.
모든 선택은 삼각형이거나 납작한 직선이므로, 삼각형은 전체 더미에서 납작한 것을 뺀 나머지입니다.
4.NBT.B.4Count The Complement점 3개를 고르는 모든 방법을 센 뒤, 한 직선 위에 놓이는 선택을 빼세요 — 남는 것이 진짜 삼각형입니다.
- 모든 점 세 개 묶음 세기
- 나쁜 선택 찾기: 공선인 묶음
- 점 5개를 담은 직선 세기
- 더 짧은 대각선 세기 (기울기 ± 1)
- 더 가파르고 더 완만한 직선 세기
- 나쁜 선택을 더해 빼기
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