AMC 10 · 2013 · #25
학년 8 counting정팔각형에 20개의 대각선을 모두 그린다. 팔각형의 내부(경계 위는 제외)에서
두 개 이상의 대각선이 만나는 서로 다른 점은 몇 개인가?
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AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정팔각형에 $20$개의 대각선을 모두 그린다. 팔각형 내부(경계는 제외)에서 두 개 이상의 대각선이 지나가는 서로 다른 점이 몇 개인지 센다. 여러 대각선이 같은 내부 지점을 지나가면 그 지점은 한 점으로만 센다.
주어진 것: 도형은 정팔각형이다: 변 $8$개와 각 $8$개가 모두 같아서 회전 대칭과 거울 대칭이 강하다; 팔각형의 대각선 $20$개를 모두 그린다; 오직 팔각형 내부의 교차점만 세고, 경계나 꼭짓점 위의 점은 세지 않는다; 세 개 이상의 대각선이 한 내부 점을 지나가면 그 위치는 한 점이다; 선택지: (A) $49$, (B) $65$, (C) $70$, (D) $96$, (E) $128$
구하는 것: 두 개 이상의 대각선이 만나는 서로 다른 내부 점의 개수
이해
문제 재정리: 정팔각형에 $20$개의 대각선을 모두 그린다. 팔각형 내부(경계는 제외)에서 두 개 이상의 대각선이 지나가는 서로 다른 점이 몇 개인지 센다. 여러 대각선이 같은 내부 지점을 지나가면 그 지점은 한 점으로만 센다.
주어진 것: 도형은 정팔각형이다: 변 $8$개와 각 $8$개가 모두 같아서 회전 대칭과 거울 대칭이 강하다; 팔각형의 대각선 $20$개를 모두 그린다; 오직 팔각형 내부의 교차점만 세고, 경계나 꼭짓점 위의 점은 세지 않는다; 세 개 이상의 대각선이 한 내부 점을 지나가면 그 위치는 한 점이다; 선택지: (A) $49$, (B) $65$, (C) $70$, (D) $96$, (E) $128$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기
흩어진 교차점을 하나씩 쫓는 것은 어렵기 때문에, 도구 #16(관점 바꾸기)로 세는 방식을 바꾼다. 모든 내부 교차점은 대각선 두 개가 만드는데, 그 두 대각선은 정확히 꼭짓점 네 개를 쓰고, 그 네 꼭짓점은 하나의 사각형을 이룬다. 그래서 점을 세는 대신 꼭짓점 $4$개를 고르는 경우를 세면 깔끔하게 $\binom{8}{4}$가 된다. 이 값은 세 대각선이 한 점을 공유하지 않을 때만 정확하므로, 도구 #1(그림 그리기)과 팔각형의 대칭을 이용해 대각선이 겹쳐 지나는 곳을 찾는다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 보정을 중심 한 점과 삼중점 고리 두 부분으로 나누고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 초과로 센 개수를 세어 빼낸다.
실행 — 정답: A
7.SP.C.8 단계 1 교차점을 네 꼭짓점으로 세기
- 교차점을 직접 찾는 것은 번거로우니 관점을 바꾼다.
- 내부에서 만나는 두 대각선은 서로 다른 꼭짓점 네 개를 쓰고, 그 네 꼭짓점은 두 대각선이 바로 그 교차쌍이 되는 사각형을 이룬다.
- 거꾸로 보면, $8$개 중 아무 $4$개 꼭짓점을 고르면 그 대각선이 내부에서 정확히 한 번 만나는 사각형 하나가 된다.
- 그래서 꼭짓점 $4$개의 집합마다 교차점이 정확히 하나 생긴다.
- 세 대각선이 한 점을 공유하는 일이 전혀 없다면, 교차점 수는 꼭짓점 $4$개를 고르는 경우의 수와 같아진다.
💡 만나는 두 대각선은 늘 네 꼭짓점을 정하므로, 교차점을 세는 일은 네 꼭짓점 묶음을 세는 일과 같다.
6.EE.A.2 단계 2 꼭짓점 4개 선택 수 계산: 70
- $8$개 꼭짓점 중 $4$개를 고르는 경우의 수를 센다.
- 조합 공식으로 $\binom{8}{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70$.
- 그래서 사각형이 $70$개 있고, 처음 세는 값은 교차점 $70$개다.
- 다만 이는 모든 교차점이 정확히 대각선 한 쌍으로만 만들어질 때만 정확하다.
💡 8개 중 4개를 고르는 것은 정해진 계산 값이고, 여기서는 70이 된다.
8.G.A.1 단계 3 대칭 때문에 대각선들이 한 점을 공유함
- $70$이라는 값은 어떤 내부 점도 대각선 두 개보다 많이 쓰이지 않는다고 가정한다.
- 그러나 정팔각형은 회전하거나 반사해도 대각선이 다른 대각선으로 옮겨간다.
- 이 대칭 때문에 두 곳에서 여러 대각선이 같은 내부 점을 지난다.
- 대각선 $k$개가 한 점에서 만나면, 그 한 점은 그 점을 지나는 대각선 쌍의 수만큼, 즉 한 번이 아니라 $\binom{k}{2}$번 세어진다.
- 그러니 그런 곳을 찾아 초과분을 빼야 한다.
💡 정다각형의 대칭이 여분의 대각선을 같은 점으로 정렬시켜, 점마다 교차 하나라는 가정을 깨뜨린다.
7.SP.C.8 단계 4 중심점: 대각선 4개, 5만큼 초과
- 가장 긴 대각선 네 개는 마주 보는 꼭짓점을 잇고, 넷 모두 중심을 지난다.
- 이 네 대각선 중 $2$개를 고르면 중심에서 만나는 사각형이 되므로, $70$개 사각형 중 $\binom{4}{2} = 6$개가 모두 그 하나의 중심을 가리킨다.
- 중심은 한 번만 세어야 하니, 그곳에서 $6 - 1 = 5$만큼 더 세었다.
💡 중심을 지나는 네 대각선은 여섯 개의 쌍 교차를 만들지만 실제로는 모두 같은 한 점이다.
7.SP.C.8 단계 5 삼중점 8개: 16만큼 초과
- 중심에서 벗어나면, 팔각형의 대칭이 정확히 대각선 $3$개가 한 번에 만나는 특별한 내부 점 $8$개의 고리를 만든다.
- 대칭인 $8$개 부채꼴마다 하나씩이다.
- 그런 점마다 대각선 $3$개가 $\binom{3}{2} = 3$개의 사각형을 만들어 모두 그곳에 떨어지므로, 한 번이 아니라 $3$번 세어진다.
- 즉 점마다 $3 - 1 = 2$만큼 더 센다.
- $8$개 점 전체로는 $8 \times 2 = 16$만큼 초과다.
💡 삼중점은 각각 세 번 세어지니 초과가 둘씩이고, 그런 점이 여덟 개다.
4.OA.A.3 단계 6 초과분을 빼서 49 얻기
- $70$에서 시작해 중심의 초과 $5$와 삼중점 여덟 개의 초과 $16$을 뺀다.
- 나머지 모든 교차점은 정확히 대각선 두 개를 쓰고 이미 한 번씩 올바로 세었다.
- 그래서 서로 다른 내부 교차점의 수는 $70 - 5 - 16 = 49$이다.
- 답은 $\textbf{(A)}\ 49$이다.
💡 필요한 보정은 이중, 삼중으로 센 것을 빼는 것뿐이고, 남는 값이 참된 점의 총수다.
7.SP.C.8 교차점을 직접 찾는 것은 번거로우니 관점을 바꾼다. 내부에서 만나는 두 대각선은 서로 다른 꼭짓점 네 개를 쓰고, 그 네 꼭짓점은 두 대각선이 6.EE.A.2 $8$개 꼭짓점 중 $4$개를 고르는 경우의 수를 센다. 조합 공식으로 $\binom{8}{4} = \frac{8 \times 7 \times 8.G.A.1 $70$이라는 값은 어떤 내부 점도 대각선 두 개보다 많이 쓰이지 않는다고 가정한다. 그러나 정팔각형은 회전하거나 반사해도 대각선이 다른 대각선 7.SP.C.8 가장 긴 대각선 네 개는 마주 보는 꼭짓점을 잇고, 넷 모두 중심을 지난다. 이 네 대각선 중 $2$개를 고르면 중심에서 만나는 사각형이 되므로 7.SP.C.8 중심에서 벗어나면, 팔각형의 대칭이 정확히 대각선 $3$개가 한 번에 만나는 특별한 내부 점 $8$개의 고리를 만든다. 대칭인 $8$개 부채꼴마 4.OA.A.3 $70$에서 시작해 중심의 초과 $5$와 삼중점 여덟 개의 초과 $16$을 뺀다. 나머지 모든 교차점은 정확히 대각선 두 개를 쓰고 이미 한 번 검토
합리성 확인: 그냥 센 값 $70$은 선택지 (C)인데, 이는 대각선이 한 점을 공유할 수 있음을 잊은 사람을 노린 함정이라 우리의 보정 방향이 옳다는 좋은 신호다. 모든 보정은 값을 낮추기만 한다. 겹치는 점은 초과로 세어지지 절대 부족하게 세어지지 않기 때문이다. 따라서 참값은 $70$보다 작아야 하고, (D) $96$과 (E) $128$은 곧바로 배제된다. 초과분 $5 + 16 = 21$을 빼면 $49$, 즉 선택지 (A)에 도달한다. 두 종류의 겹침 — $4$겹 중심 하나와 $3$겹 점 여덟 개 — 은 팔각형의 $8$겹 대칭이 예측하는 그대로라, 보정의 크기도 믿을 만하다.
대안 접근: 전체를 센 뒤 보정하는 대신, 대칭을 이용해 도형의 $8$분의 $1$만 만든다. 팔각형은 똑같은 부채꼴 $8$개로 나뉜다. 부채꼴 하나 안의 대각선을 정성껏 그려 그 안의 내부 교차점을 세고, 중심과 부채꼴 경계에서 공유되는 점을 따로 처리한 뒤 곱해 늘린다. 여덟 부채꼴의 점에 공유되는 중심 한 점을 더하면 같은 총수 $49$가 재구성되어, 조합 계산 없이도 답이 확인된다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
7.SP.C.8복합 사건의 결과를 목록, 표, 나무 그림으로 나타내고 세기 (꼭짓점 4개를 고르는 경우, 그리고 중심과 각 삼중점에서 만나는 대각선 쌍을 빠짐없이 세는 데 사용.)6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산하기 (조합식 C(8,4) = (8x7x6x5)/(4x3x2x1)을 계산해 처음 값 70을 얻는 데 사용.)8.G.A.1회전과 반사(대칭)의 성질을 실험적으로 확인하기 (정팔각형의 회전 대칭과 거울 대칭을 이용해 대각선 3개 또는 4개가 겹치는 곳을 찾는 데 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 이용해 여러 단계 문제 풀기 (초과로 센 값을 빼서(70 빼기 5 빼기 16) 최종 총수 49에 도달하는 데 사용.)
⭐ 각 교차점을 그것을 만드는 네 꼭짓점으로 세면 70이 나오고, 그다음 팔각형의 대칭이 대각선 세 개나 네 개를 같은 점으로 밀어 넣은 곳마다 초과분을 빼면 된다.
⭐ 각 교차점을 그것을 만드는 네 꼭짓점으로 세면 70이 나오고, 그다음 팔각형의 대칭이 대각선 세 개나 네 개를 같은 점으로 밀어 넣은 곳마다 초과분을 빼면 된다.
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