AMC 10 · 2013 · #25
학년 8 counting답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
흩어진 교차점을 하나씩 쫓는 것은 어렵기 때문에, 도구 #16(관점 바꾸기)로 세는 방식을 바꾼다. 모든 내부 교차점은 대각선 두 개가 만드는데, 그 두 대각선은 정확히 꼭짓점 네 개를 쓰고, 그 네 꼭짓점은 하나의 사각형을 이룬다. 그래서 점을 세는 대신 꼭짓점 4개를 고르는 경우를 세면 깔끔하게 C(8, 4)가 된다. 이 값은 세 대각선이 한 점을 공유하지 않을 때만 정확하므로, 도구 #1(그림 그리기)과 팔각형의 대칭을 이용해 대각선이 겹쳐 지나는 곳을 찾는다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 보정을 중심 한 점과 삼중점 고리 두 부분으로 나누고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 초과로 센 개수를 세어 빼낸다.
교차점을 네 꼭짓점으로 세기
내부에서 만나는 두 대각선은 꼭짓점 4개를 쓰고 그 4개는 사각형 하나를 이룬다. 점 대신 꼭짓점 4개 선택을 세자.
만나는 두 대각선은 늘 네 꼭짓점을 정하므로, 교차점을 세는 일은 네 꼭짓점 묶음을 세는 일과 같다.
엇갈리는 두 대각선은 언제나 네 꼭짓점을 못박으므로, 교차를 세는 것은 네 꼭짓점의 모임을 세는 것이다.
▸ 왜?
네 꼭짓점의 각 모임이 정확히 한 교차를 주므로, 모임과 교차가 짝지어진다.
▸ 왜?
순서를 따지지 않고 꼭짓점을 세면 각 모임이 한 번보다 많이 세어지지 않는다.
꼭짓점 4개 선택 수 계산: 70
C(8, 4) = 1680/24 = 70이므로 처음 세는 값은 교차점 70개. 겹침이 없을 때만 정확하다.
8개 중 4개를 고르는 것은 정해진 계산 값이고, 여기서는 70이 된다.
6.EE.A.2Make A Systematic List대칭 때문에 대각선들이 한 점을 공유함
정팔각형의 대칭은 여분의 대각선을 한 점에 모은다. 대각선 k개가 모인 점은 C(k, 2)번 세어진다.
정다각형의 대칭이 여분의 대각선을 같은 점으로 정렬시켜, 점마다 교차 하나라는 가정을 깨뜨린다.
8.G.A.1Draw A Diagram중심점: 대각선 4개, 5만큼 초과
가장 긴 대각선 4개가 모두 중심을 지나므로 C(4, 2) = 6개가 한 점을 가리킨다. 초과는 5.
중심을 지나는 네 대각선은 여섯 개의 쌍 교차를 만들지만 실제로는 모두 같은 한 점이다.
7.SP.C.8Identify Subproblems삼중점 8개: 16만큼 초과
고리 위 8개 점에는 대각선이 3개씩 모여 3번씩 세어지니, 8 × 2 = 16만큼 초과다.
삼중점은 각각 세 번 세어지니 초과가 둘씩이고, 그런 점이 여덟 개다.
7.SP.C.8Identify Subproblems초과분을 빼서 49 얻기
나머지 교차점은 이미 한 번씩 올바로 세었으니 70 - 5 - 16 = 49개. 답은 (A).
필요한 보정은 이중, 삼중으로 센 것을 빼는 것뿐이고, 남는 값이 참된 점의 총수다.
4.OA.A.3Make A Systematic List각 교차점을 그것을 만드는 네 꼭짓점으로 세면 70이 나오고, 그다음 팔각형의 대칭이 대각선 세 개나 네 개를 같은 점으로 밀어 넣은 곳마다 초과분을 빼면 된다.
- 교차점을 네 꼭짓점으로 세기
- 꼭짓점 4개 선택 수 계산: 70
- 대칭 때문에 대각선들이 한 점을 공유함
- 중심점: 대각선 4개, 5만큼 초과
- 삼중점 8개: 16만큼 초과
- 초과분을 빼서 49 얻기
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
