AMC 10 · 2007 · #19
학년 8 geometry-2d그림과 같이, 정사각형의 두 대각선을 따라 페인트 붓을 쓸어 대칭인 색칠 영역을 만든다. 정사각형 넓이의 절반이 색칠되어 있다. 정사각형의 한 변의 길이와 붓의 폭의 비는 얼마인가?
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정사각형의 두 대각선을 따라 일정한 폭의 붓으로 칠하여 대칭인 X자 무늬를 만든다. 정사각형 넓이의 정확히 절반이 칠해진다. 정사각형의 한 변의 길이와 붓 폭의 비를 구하여라.
주어진 것: 붓은 정사각형의 두 대각선을 따라 각각 쓸어, 교차하는 두 개의 띠를 만든다; 붓의 폭은 일정하며, 붓질 방향에 수직으로 잰다; 정사각형 넓이의 정확히 절반이 칠해진다; 그림은 정사각형의 두 대각선과 두 중선에 대해 대칭이다; 보기: (A) $2\sqrt{2}+1$, (B) $3\sqrt{2}$, (C) $2\sqrt{2}+2$, (D) $3\sqrt{2}+1$, (E) $3\sqrt{2}+2$
구하는 것: 정사각형의 한 변의 길이와 붓 폭의 비
이해
문제 재정리: 정사각형의 두 대각선을 따라 일정한 폭의 붓으로 칠하여 대칭인 X자 무늬를 만든다. 정사각형 넓이의 정확히 절반이 칠해진다. 정사각형의 한 변의 길이와 붓 폭의 비를 구하여라.
주어진 것: 붓은 정사각형의 두 대각선을 따라 각각 쓸어, 교차하는 두 개의 띠를 만든다; 붓의 폭은 일정하며, 붓질 방향에 수직으로 잰다; 정사각형 넓이의 정확히 절반이 칠해진다; 그림은 정사각형의 두 대각선과 두 중선에 대해 대칭이다; 보기: (A) $2\sqrt{2}+1$, (B) $3\sqrt{2}$, (C) $2\sqrt{2}+2$, (D) $3\sqrt{2}+1$, (E) $3\sqrt{2}+2$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기
칠해진 X자 모양은 다루기 까다롭다. 두 띠가 겹치므로 그 넓이를 그냥 더하면 가운데를 두 번 세게 된다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 문제를 뒤집는다. 정사각형의 절반이 칠해졌으니 나머지 절반은 칠해지지 않았고, 그 절반은 깔끔하고 합동인 네 개의 삼각형일 뿐이다. 도구 #1(그림 그리기)에 좌표를 얹으면 띠의 가장자리가 변을 어디서 자르는지 정확히 고정된다. 도구 #4(변수 도입하기)는 한 변을 $1$로, 붓 폭을 $w$로 놓아 '넓이의 절반'을 하나의 방정식으로 바꾼다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 흰 삼각형 하나만 떼어내며, $w$로 나타낸 그 넓이가 필요한 전부다.
실행 — 정답: C
6.G.A.3 단계 1 좌표 세우고 흰 삼각형 찾기
- 정사각형을 꼭짓점이 $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)$인 단위 정사각형으로 두고, 붓 폭을 $w$라 하자.
- 각 붓질은 대각선을 중심으로 하는 폭 $w$의 띠다.
- 두 띠가 가운데서 교차하여 칠해진 X자를 만든다.
- 칠해지지 않고 남는 부분은 각 변의 한가운데에 붙은 네 개의 합동인 삼각형이다.
💡 변을 $1$, 폭을 $w$로 이름 붙이면 그림이 쫓아갈 수 있는 수로 바뀐다.
6.G.A.1 단계 2 대신 흰 절반을 세기
- 두 띠의 넓이를 더하면 겹치는 곳을 두 번 세게 되므로, 대신 다루기 쉬운 남는 부분을 재자.
- 칠해진 부분이 정사각형의 절반이므로 칠해지지 않은 흰 부분은 나머지 절반, 즉 넓이 $\tfrac12$이다.
- 네 겹 대칭에 의해 네 개의 흰 삼각형은 서로 같으므로, 각각의 넓이는 $\tfrac12 \div 4 = \tfrac18$이다.
💡 원하는 모양이 엉켜 있으면 대신 남는 부분을 재라.
8.G.B.8 단계 3 흰 삼각형 하나의 밑변 재기
- 아래쪽 변에 놓인 흰 삼각형을 보자.
- 두 빗변은 두 띠의 안쪽 가장자리를 따라 놓이는데, 이들은 기울기 $+1$과 $-1$로 지나므로 삼각형의 꼭대기에서 직각으로 만난다.
- 즉 직각이등변삼각형이고, 아래 변 위의 밑변이 그 빗변이다.
- 이제 각 띠가 아래 변을 얼마나 칠하는지 구하자.
- $y=x$를 따르는 띠의 가장자리는 아래 변을 $x=\tfrac{w\sqrt2}{2}$에서 자른다.
- 점 $\left(\tfrac{w\sqrt2}{2},\,0\right)$이 그 대각선에서 수직 거리 $\tfrac{w\sqrt2/2}{\sqrt2}=\tfrac{w}{2}$, 곧 띠 폭의 절반만큼 떨어져 있기 때문이다.
- 다른 띠도 오른쪽 모퉁이에서 같은 크기의 조각을 칠하므로, 흰 밑변은 $x=\tfrac{w\sqrt2}{2}$에서 $x=1-\tfrac{w\sqrt2}{2}$까지 이어진다.
💡 $45^\circ$로 변을 가로지르는 띠는 자기 폭의 절반이 정하는 모퉁이 조각을 칠한다.
8.G.B.7 단계 4 넓이를 w에 대한 방정식으로 바꾸기
- 빗변이 $b$인 직각이등변삼각형은 두 변이 $\tfrac{b}{\sqrt2}$이므로 넓이가 $\tfrac12\left(\tfrac{b}{\sqrt2}\right)^2=\tfrac{b^2}{4}$이다.
- 여기서 $b=1-w\sqrt2$이고, 이 넓이는 $\tfrac18$과 같아야 한다.
- 그러면 $(1-w\sqrt2)^2=\tfrac12$이고, 따라서 $1-w\sqrt2=\tfrac{\sqrt2}{2}$이다(양의 근을 택한다.
- 다른 근은 붓을 정사각형보다 넓게 만들어 불가능하다).
- 그러면 $w\sqrt2 = 1-\tfrac{\sqrt2}{2}=\tfrac{2-\sqrt2}{2}$이므로 $w=\tfrac{2-\sqrt2}{2\sqrt2}=\tfrac{\sqrt2-1}{2}$이다.
💡 깔끔한 넓이 방정식 하나가 그림 전체를 $w$의 한 값으로 짜낸다.
8.EE.A.2 단계 5 비 읽어내기
- 변은 $1$이고 붓 폭은 $w=\tfrac{\sqrt2-1}{2}$이므로, 변 대 폭의 비는 $\dfrac{1}{w}=\dfrac{2}{\sqrt2-1}$이다.
- 분모의 근호를 없애기 위해 분자와 분모에 $\sqrt2+1$을 곱하면 $\dfrac{2(\sqrt2+1)}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}=\dfrac{2(\sqrt2+1)}{2-1}=2\sqrt2+2$이다.
- 이는 보기 (C)이다.
💡 폭을 뒤집고 분모의 근호를 없애면 보기와 맞아떨어지는 깔끔한 꼴이 된다.
6.G.A.3 정사각형을 꼭짓점이 $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)$인 단위 정사각형으로 두고, 붓 폭을 $w$라 하자. 각 붓질은 대각선을 중심으 6.G.A.1 두 띠의 넓이를 더하면 겹치는 곳을 두 번 세게 되므로, 대신 다루기 쉬운 남는 부분을 재자. 칠해진 부분이 정사각형의 절반이므로 칠해지지 않은 8.G.B.8 아래쪽 변에 놓인 흰 삼각형을 보자. 두 빗변은 두 띠의 안쪽 가장자리를 따라 놓이는데, 이들은 기울기 $+1$과 $-1$로 지나므로 삼각형의 8.G.B.7 빗변이 $b$인 직각이등변삼각형은 두 변이 $\tfrac{b}{\sqrt2}$이므로 넓이가 $\tfrac12\left(\tfrac{b}{\sqr 8.EE.A.2 변은 $1$이고 붓 폭은 $w=\tfrac{\sqrt2-1}{2}$이므로, 변 대 폭의 비는 $\dfrac{1}{w}=\dfrac{2}{\sqr 검토
합리성 확인: 크기를 확인하자. $\sqrt2\approx1.414$이므로 폭은 $w=\tfrac{0.414}{2}\approx0.207$이고, 변 대 폭은 약 $1/0.207\approx4.83$이다. 보기 (C)는 $2\sqrt2+2\approx2.83+2=4.83$으로 일치한다. 상식 검사도 통과한다: 변의 약 $\tfrac15$쯤 되는 띠를 대각선을 따라 쓸면 그것만으로 정사각형의 절반에 조금 못 미치게 칠해지고, 교차하는 두 띠가 가운데서 겹치므로 정확히 절반이 칠해지는 것은 그럴듯하다. 틀린 보기들은 각각 뚜렷이 어긋난다: (A) $2\sqrt2+1\approx3.83$과 (B) $3\sqrt2\approx4.24$는 붓을 너무 넓게 만들어(절반보다 많이 칠해짐), (D) $\approx5.24$와 (E) $\approx6.24$는 붓을 너무 가늘게 만든다.
대안 접근: 여집합 대신 띠에 포함-배제를 직접 쓰자. 정사각형으로 잘린 각 띠의 넓이는 $1-\left(1-\tfrac{w\sqrt2}{2}\right)^2$이고, 두 띠는 넓이 $w^2$인 가운데 정사각형에서 겹친다. 칠해진 넓이는 $2\left[1-\left(1-\tfrac{w\sqrt2}{2}\right)^2\right]-w^2$이다. 이를 $\tfrac12$과 같다고 놓고 정리하면 $t=\tfrac{w\sqrt2}{2}$일 때 $8t^2-8t+1=0$이 되고, 작은 근은 $t=\tfrac{2-\sqrt2}{4}$이며, 되돌려 넣으면 같은 $w=\tfrac{\sqrt2-1}{2}$와 비 $2\sqrt2+2$가 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.G.A.3Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices (단위 정사각형을 좌표평면에 놓고 각 띠의 가장자리가 변을 어디서 자르는지 읽는 데 사용.)6.G.A.1Find area of triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing (정사각형의 칠해지지 않은 절반을 각각 넓이 $\tfrac18$인 네 개의 같은 삼각형으로 나누는 데 사용.)8.G.B.8Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system (각 띠의 가장자리가 아래 변과 만나는 곳을 찾아 흰 삼각형의 밑변을 $1-w\sqrt2$로 고정하는 데 사용.)8.G.B.7Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (직각이등변삼각형의 빗변 $b$를 넓이 $\tfrac{b^2}{4}$과 연결해 $w$를 푸는 데 사용.)8.EE.A.2Use square root and cube root symbols to represent solutions ($(1-w\sqrt2)^2=\tfrac12$을 풀고 $\tfrac{2}{\sqrt2-1}$을 $2\sqrt2+2$로 유리화하는 데 사용.)
⭐ 칠해진 모양이 스스로 겹칠 때는 대신 남은 흰 부분을 재라. 네 개의 같은 삼각형이 '절반이 칠해짐'을 풀 수 있는 방정식 하나로 바꿔 준다.
⭐ 칠해진 모양이 스스로 겹칠 때는 대신 남은 흰 부분을 재라. 네 개의 같은 삼각형이 '절반이 칠해짐'을 풀 수 있는 방정식 하나로 바꿔 준다.
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