AMC 10 · 2007 · #22
학년 6 number-theory세 자리 정수로 이루어진 유한수열이 다음 성질을 가진다. 각 항의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자는 각각 다음 항의 백의 자리 숫자와 십의 자리 숫자이고, 마지막 항의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자는 각각 첫째 항의 백의 자리 숫자와 십의 자리 숫자이다. 예를 들어, 이러한 수열은 247, 475, 756으로 시작하여 824로 끝날 수 있다. S를 수열의 모든 항의 합이라 하자. S를 항상 나누는 가장 큰 소인수는 무엇인가?
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 세 자리 정수들이 고리처럼 이어져 있습니다. 각 수의 십의 자리와 일의 자리 숫자가 그다음 수의 백의 자리와 십의 자리 숫자가 되고, 이 규칙이 고리처럼 닫혀서 마지막 수의 끝 두 숫자가 다시 첫 번째 수로 이어집니다. 고리에 있는 모든 수를 더해 $S$를 만듭니다. 이 규칙을 따르는 모든 고리에 대해 $S$를 반드시 나누는 가장 큰 소수를 구하세요.
주어진 것: 모든 항은 세 자리 정수입니다; 각 항의 십의 자리와 일의 자리 숫자는 순서대로 그다음 항의 백의 자리와 십의 자리 숫자와 같습니다; 규칙은 고리처럼 이어집니다: 마지막 항의 십의 자리와 일의 자리 숫자는 첫 항의 백의 자리와 십의 자리 숫자와 같습니다; 예시 고리: $247,\ 475,\ 756,\ \dots,\ 824$; $S$는 모든 항의 합입니다; 선택지: (A) $3$, (B) $7$, (C) $13$, (D) $37$, (E) $43$
구하는 것: 어떤 규칙에 맞는 고리를 고르더라도 $S$를 나누는 가장 큰 소수
이해
문제 재정리: 세 자리 정수들이 고리처럼 이어져 있습니다. 각 수의 십의 자리와 일의 자리 숫자가 그다음 수의 백의 자리와 십의 자리 숫자가 되고, 이 규칙이 고리처럼 닫혀서 마지막 수의 끝 두 숫자가 다시 첫 번째 수로 이어집니다. 고리에 있는 모든 수를 더해 $S$를 만듭니다. 이 규칙을 따르는 모든 고리에 대해 $S$를 반드시 나누는 가장 큰 소수를 구하세요.
주어진 것: 모든 항은 세 자리 정수입니다; 각 항의 십의 자리와 일의 자리 숫자는 순서대로 그다음 항의 백의 자리와 십의 자리 숫자와 같습니다; 규칙은 고리처럼 이어집니다: 마지막 항의 십의 자리와 일의 자리 숫자는 첫 항의 백의 자리와 십의 자리 숫자와 같습니다; 예시 고리: $247,\ 475,\ 756,\ \dots,\ 824$; $S$는 모든 항의 합입니다; 선택지: (A) $3$, (B) $7$, (C) $13$, (D) $37$, (E) $43$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기
겹치는 규칙 때문에 각 숫자는 연속된 세 항이 함께 쓰므로, 고리는 사실 원을 따라 쓰인 하나의 숫자 고리 $d_1, d_2, \dots, d_n$입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 이 숫자들에 이름을 붙이고 각 항을 $100 d_k + 10 d_{k+1} + d_{k+2}$로 씁니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 고리를 한 칸씩 돌면 모든 숫자가 백의 자리에 한 번, 십의 자리에 한 번, 일의 자리에 한 번씩 온다는 것을 알아챕니다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 항별이 아니라 자릿값 열별로 더하면 합이 숫자 총합의 $111$배로 줄어듭니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 $111$을 인수분해하고 선택지와 아주 작은 고리 하나를 써서 항상 강제되는 가장 큰 소수를 찾아냅니다.
실행 — 정답: D
6.EE.A.2 단계 1 숫자 고리에 이름 붙이기
- 각 항의 끝 두 숫자가 다음 항의 앞 두 숫자이므로 연속된 항들은 숫자를 공유합니다.
- 고리 전체를 한 숫자씩 따라가며 원 위에 놓인 숫자들을 $d_1, d_2, \dots, d_n$이라 부르는데, 여기서 $n$은 항의 개수입니다.
- 그러면 $k$번째 항의 백의 자리는 $d_k$, 십의 자리는 $d_{k+1}$, 일의 자리는 $d_{k+2}$이며, 첨자는 고리처럼 순환합니다($d_{n+1} = d_1$ 등).
- 따라서 각 항은 $100 d_k + 10 d_{k+1} + d_{k+2}$입니다.
💡 두 자리 겹침이 항들을 하나의 원형 숫자 사슬로 붙여 주므로, 숫자마다 문자 하나만 붙이면 고리 전체를 나타낼 수 있습니다.
4.NBT.A.2 단계 2 각 숫자는 모든 자리를 한 번씩 방문한다
- 항을 자릿값으로 펼쳐 씁니다: $247 = 100\cdot 2 + 10\cdot 4 + 1\cdot 7$.
- 이제 숫자 하나 $d_k$를 고리를 따라가며 추적합니다.
- 그것은 $k$번째 항의 백의 자리이고, 바로 앞 항($k-1$번째)의 십의 자리이며, 두 칸 앞 항($k-2$번째)의 일의 자리입니다.
- 고리가 닫혀 있으므로 이는 모든 숫자에 대해 성립합니다.
- 따라서 모든 항을 합할 때 각 숫자 $d_k$는 정확히 한 번은 $100$의 무게로, 한 번은 $10$의 무게로, 한 번은 $1$의 무게로 세어집니다.
💡 고리를 한 칸 돌 때마다 숫자가 백의 자리에서 십의 자리로, 다시 일의 자리로 옮겨 가므로 각 자릿값을 정확히 한 번씩 모읍니다.
6.EE.A.3 단계 3 항별이 아니라 자릿값별로 더하기
- 항 하나씩 더하는 대신 모든 항에 걸쳐 자릿값 열별로 더합니다.
- 모든 숫자가 각 열에 한 번씩 나타나므로, 백의 자리 열은 $100(d_1 + d_2 + \dots + d_n)$을, 십의 자리 열은 $10(d_1 + \dots + d_n)$을, 일의 자리 열은 $1(d_1 + \dots + d_n)$을 기여합니다.
- 모든 숫자의 합을 $T = d_1 + d_2 + \dots + d_n$이라 하면 $S = 100T + 10T + T = 111\,T$입니다.
💡 합을 열별로 다시 묶으면 공통의 숫자 총합 $T$가 앞으로 빠져나오고, 고정된 인수 $100+10+1 = 111$만 남습니다.
4.OA.B.4 단계 4 111을 인수분해하고 가장 큰 강제 소수 찾기
- 규칙에 맞는 모든 고리에서 $S = 111\,T$이므로, $111$을 나누는 것은 무엇이든 항상 $S$를 나눕니다.
- 인수분해하면 $111 = 3 \times 37$이고, $3$과 $37$은 모두 소수입니다.
- 따라서 $3$과 $37$은 매번 $S$를 나누며, 그중 더 큰 것은 $37$입니다.
- 더 큰 소수가 강제될 수 있을까요?
- 아닙니다: 항 하나짜리 고리 $111$(숫자 $1,1,1$)도 규칙에 맞고 $S = 111$을 주는데, 그 소인수는 $3$과 $37$뿐입니다.
- 그러므로 $37$보다 큰 소수는 — 특히 선택지의 $7$, $13$, $43$ 중 어느 것도 — 모든 $S$를 나눌 수 없습니다.
- 항상 $S$를 나누는 가장 큰 소수는 $37$, 즉 선택지 (D)입니다.
💡 모든 고리의 합은 $111 = 3\times 37$의 배수이므로 $37$은 보장되고, 맨 고리 $111$이 더 큰 소수는 보장될 수 없음을 증명합니다.
6.EE.A.2 각 항의 끝 두 숫자가 다음 항의 앞 두 숫자이므로 연속된 항들은 숫자를 공유합니다. 고리 전체를 한 숫자씩 따라가며 원 위에 놓인 숫자들을 $ 4.NBT.A.2 항을 자릿값으로 펼쳐 씁니다: $247 = 100\cdot 2 + 10\cdot 4 + 1\cdot 7$. 이제 숫자 하나 $d_k$를 고리를 6.EE.A.3 항 하나씩 더하는 대신 모든 항에 걸쳐 자릿값 열별로 더합니다. 모든 숫자가 각 열에 한 번씩 나타나므로, 백의 자리 열은 $100(d_1 + 4.OA.B.4 규칙에 맞는 모든 고리에서 $S = 111\,T$이므로, $111$을 나누는 것은 무엇이든 항상 $S$를 나눕니다. 인수분해하면 $111 = 3 검토
합리성 확인: 주어진 예시 숫자로 확인해 봅니다. 고리 $2,4,7,5,6,\dots$은 항 $247, 475, 756, \dots$을 만들며, 전체 고리가 무엇이든 이 주장은 $S$가 숫자 총합의 $111$배여야 한다고 말합니다. 완결된 작은 고리를 직접 확인하면: 고리 $2,4,7,5$가 다시 닫히면서 항 $247, 475, 752, 524$가 나오고, $247+475+752+524 = 1998 = 111 \times 18$, 그리고 $2+4+7+5 = 18$ — $111\,T$ 규칙이 성립합니다. $3$과 $37$ 모두 $1998$을 나눕니다. 함정 선택지는 $37$ 근처의 다른 소수들입니다: $7$, $13$, $43$은 어떤 고리는 나누지만 맨 고리 $111$은 나누지 못하므로 보장되지 않고, $3$은 항상 나누지만 $37$보다 작습니다. 따라서 $37$이 항상 강제되는 가장 큰 소수라는 결론이 일관됩니다.
대안 접근: 일반적인 고리에 이름을 붙이지 않고 역할을 세는 방식으로도 됩니다. 닫힌 고리에서 어디든 나타나는 모든 숫자를 나열합니다. 각 숫자는 정확히 한 항의 백의 자리, 한 항의 십의 자리, 한 항의 일의 자리에 놓입니다. 따라서 그 숫자가 $S$에 기여하는 총량은 그 값의 $100 + 10 + 1 = 111$배입니다. 모든 숫자에 대해 더하면 곧바로 $S = 111 \times (\text{숫자 총합})$이 되고, $111 = 3 \times 37$로 인수분해하면 $37$이 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (숫자 고리 $d_1,\dots,d_n$에 이름을 붙이고 각 항을 $100 d_k + 10 d_{k+1} + d_{k+2}$로 쓰기.)4.NBT.A.2여러 자리 자연수를 십진 숫자와 펼친 식으로 읽고 쓰기 (각 세 자리 항을 $100\cdot(\text{백의 자리}) + 10\cdot(\text{십의 자리}) + 1\cdot(\text{일의 자리})$로 펼쳐 각 숫자의 자리를 추적하기.)6.EE.A.3연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 (합을 자릿값 열별로 다시 묶어 $100T + 10T + T = 111\,T$로 정리하기.)4.OA.B.4자연수의 약수 쌍을 모두 찾고 소수인지 합성수인지 판단하기 ($111 = 3 \times 37$을 인수분해하고 $37$을 항상 $S$를 나누는 가장 큰 소수로 확인하기.)
⭐ 고리 덕분에 모든 숫자가 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에 정확히 한 번씩 오므로, 전체 합은 항상 숫자 총합의 $111 = 3 \times 37$배가 되고, 따라서 $37$이 그 합을 나누는 가장 큰 소수입니다.
⭐ 고리 덕분에 모든 숫자가 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에 정확히 한 번씩 오므로, 전체 합은 항상 숫자 총합의 $111 = 3 \times 37$배가 되고, 따라서 $37$이 그 합을 나누는 가장 큰 소수입니다.
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