AMC 10 · 2007 · #23
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AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
m² - n² = 96을 제곱수를 하나씩 대입해 가며 찾으면 느립니다. 열쇠가 되는 수는 도구 #4(변수 도입하기)입니다. 제곱의 차는 항상 인수분해되어 m² - n² = (m-n)(m+n)이 되므로, 조건은 두 정수의 곱이 96이라는 말이 됩니다. 이 두 인수에 이름을 붙이면 문제는 '96을 두 조각의 곱으로 나누기'로 바뀝니다. 그 다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 인수쌍을 세고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 m이나 n이 분수가 되어 버리는 쌍을 버립니다.
제곱의 차를 인수분해한다
두 제곱의 차는 항상 곱으로 쪼개집니다: m² - n² = (m-n)(m+n). 즉 m-n과 m+n의 곱이 96입니다.
뺄셈을 곱셈으로 바꾸면 제곱수를 뒤지는 대신 96의 약수를 이용할 수 있습니다.
6.EE.A.3Introduce A Variable두 인수에 이름을 붙인다
a = m-n, b = m+n이면 a·b = 96이고, 거꾸로 m = (a+b)/2, n = (b-a)/2로 하나씩 대응합니다.
96의 인수쌍을 세는 것은 (m,n)을 세는 것과 같습니다. 인수쌍 하나가 (m,n) 하나를 되살리기 때문입니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable두 인수는 모두 짝수여야 한다
m = (a+b)/2가 정수이려면 a와 b의 홀짝이 같아야 하는데, 곱이 짝수 96이니 둘 다 짝수입니다.
합을 반으로 나누어 정수가 되는 경우는 두 조각이 모두 짝수이거나 모두 홀수일 때뿐입니다.
합을 반으로 가를 때 정수가 되는 것은 두 조각의 짝홀이 같을 때뿐이다.
▸ 왜?
짝홀이 같은 두 수의 합은 짝수이며, 짝수만이 깔끔하게 반으로 갈린다.
▸ 왜?
그렇지 않으면 반으로 가를 때 나머지가 남으므로, 정수인 짝이 나올 수 없다.
짝수 인수쌍을 센다
a = 2p, b = 2q이면 pq = 24, p가 q보다 작습니다: 1×24, 2×12, 3×8, 4×6 → 4 쌍, 답은 (B).
양쪽에서 2를 하나씩 빼내고 나면 문제는 24의 인수쌍을 세는 것으로 줄어듭니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List제곱의 차 m² - n²은 (m-n)(m+n)과 같으므로, 순서쌍을 세는 일은 96을 두 짝수 인수로 나누는 방법을 세는 일이 됩니다.
- 제곱의 차를 인수분해한다
- 두 인수에 이름을 붙인다
- 두 인수는 모두 짝수여야 한다
- 짝수 인수쌍을 센다