AMC 10 · 2007 · #23

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

difference-of-squaresfactorsparitydivisor-count caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: difference-of-squares

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$m \ge n$ 인 양의 정수 순서쌍 $(m,n)$ 중에서, 두 수의 제곱의 차가 $96$ 인 것은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $m \ge n$인 양의 정수 순서쌍 $(m,n)$ 중에서 두 수의 제곱의 차가 $96$인 것, 즉 $m^2 - n^2 = 96$을 만족하는 것이 몇 개인지 세세요.

주어진 것: $m$과 $n$은 양의 정수이다; $m \ge n$; $m^2 - n^2 = 96$; 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $9$, (E) $12$

구하는 것: 조건을 모두 만족하는 순서쌍 $(m,n)$의 개수

이해

문제 재정리: $m \ge n$인 양의 정수 순서쌍 $(m,n)$ 중에서 두 수의 제곱의 차가 $96$인 것, 즉 $m^2 - n^2 = 96$을 만족하는 것이 몇 개인지 세세요.

주어진 것: $m$과 $n$은 양의 정수이다; $m \ge n$; $m^2 - n^2 = 96$; 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $9$, (E) $12$

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

$m^2 - n^2 = 96$을 제곱수를 하나씩 대입해 가며 찾으면 느립니다. 열쇠가 되는 수는 도구 #4(변수 도입하기)입니다. 제곱의 차는 항상 인수분해되어 $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$이 되므로, 조건은 두 정수의 곱이 $96$이라는 말이 됩니다. 이 두 인수에 이름을 붙이면 문제는 '$96$을 두 조각의 곱으로 나누기'로 바뀝니다. 그 다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 인수쌍을 세고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 $m$이나 $n$이 분수가 되어 버리는 쌍을 버립니다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.A.3 단계 1

제곱의 차를 인수분해한다

두 제곱의 차는 항상 곱으로 쪼개집니다: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$.
그래서 조건 $m^2 - n^2 = 96$은 정확히 두 정수 $m-n$과 $m+n$을 곱하면 $96$이 된다는 말입니다.

$$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n) = 96$$

💡 뺄셈을 곱셈으로 바꾸면 제곱수를 뒤지는 대신 $96$의 약수를 이용할 수 있습니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

두 인수에 이름을 붙인다

$a = m - n$, $b = m + n$이라고 합시다.
그러면 $a \cdot b = 96$이고, $n$이 양의 정수이므로 $a < b$입니다(작은 인수가 $m-n$, 큰 인수가 $m+n$).
거꾸로, $a$와 $b$를 알면 $m = \tfrac{a+b}{2}$, $n = \tfrac{b-a}{2}$로 되돌릴 수 있습니다.
따라서 조건에 맞는 인수쌍 $(a,b)$ 하나가 순서쌍 $(m,n)$ 하나를 정확히 만들어 냅니다.

$$a = m-n,\quad b = m+n,\quad a\cdot b = 96,\quad m = \tfrac{a+b}{2},\quad n = \tfrac{b-a}{2}$$

💡 $96$의 인수쌍을 세는 것은 $(m,n)$을 세는 것과 같습니다. 인수쌍 하나가 $(m,n)$ 하나를 되살리기 때문입니다.

#3 가능성 지우기 2.OA.C.3 단계 3

두 인수는 모두 짝수여야 한다

$m = \tfrac{a+b}{2}$가 정수가 되려면 $a + b$가 짝수여야 하고, 따라서 $a$와 $b$는 짝홀이 같아야 합니다(둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수).
그런데 두 수의 곱이 짝수인 $96$이므로 둘 다 홀수일 수는 없습니다.
그러므로 $a$와 $b$는 모두 짝수입니다.
한쪽이 홀수, 한쪽이 짝수인 $96$의 인수쌍은 불가능하므로 버립니다.

$$a+b \text{ 짝수} \Rightarrow a,b \text{ 짝홀 같음};\quad a\cdot b = 96 \text{ 짝수} \Rightarrow \text{둘 다 홀수 불가} \Rightarrow a,b \text{ 모두 짝수}$$

💡 합을 반으로 나누어 정수가 되는 경우는 두 조각이 모두 짝수이거나 모두 홀수일 때뿐입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

짝수 인수쌍을 센다

$a$와 $b$가 모두 짝수이므로 $a = 2p$, $b = 2q$라고 씁니다.
그러면 $(2p)(2q) = 96$에서 $4pq = 96$, 즉 $pq = 24$이고 $p < q$인 양의 정수입니다.
이제 작은 수를 앞에 두고 $24$의 인수쌍을 나열하기만 하면 됩니다: $1 \times 24$, $2 \times 12$, $3 \times 8$, $4 \times 6$.
모두 $4$쌍입니다($24$는 완전제곱수가 아니므로 같은 경우는 없습니다).
각각은 유효한 쌍을 되살립니다: $(25,23),\ (14,10),\ (11,5),\ (10,2)$.
따라서 순서쌍은 $4$개이며, 선택지 (B)입니다.

$$pq = 24,\ p<q:\ (1,24),(2,12),(3,8),(4,6) \Rightarrow 4 \text{ 쌍} \Rightarrow \textbf{(B)}$$

💡 양쪽에서 $2$를 하나씩 빼내고 나면 문제는 $24$의 인수쌍을 세는 것으로 줄어듭니다.

[1] #4 6.EE.A.3 두 제곱의 차는 항상 곱으로 쪼개집니다: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$. 그래서 조건 $m^2 - n^2 = 96$은 정확히 두

[2] #4 6.EE.B.6 $a = m - n$, $b = m + n$이라고 합시다. 그러면 $a \cdot b = 96$이고, $n$이 양의 정수이므로 $a < b$입니

[3] #3 2.OA.C.3 $m = \tfrac{a+b}{2}$가 정수가 되려면 $a + b$가 짝수여야 하고, 따라서 $a$와 $b$는 짝홀이 같아야 합니다(둘 다 짝수

[4] #2 4.OA.B.4 $a$와 $b$가 모두 짝수이므로 $a = 2p$, $b = 2q$라고 씁니다. 그러면 $(2p)(2q) = 96$에서 $4pq = 96$, 즉

검토

합리성 확인: 각 쌍을 직접 확인합니다: $25^2 - 23^2 = 625 - 529 = 96$, $14^2 - 10^2 = 196 - 100 = 96$, $11^2 - 5^2 = 121 - 25 = 96$, $10^2 - 2^2 = 100 - 4 = 96$. 네 쌍이 모두 맞고, $96$의 다른 짝수 인수쌍을 빠뜨리지 않았으므로 $4$라는 개수는 확실합니다. 답이 작게 나오는 것도 자연스럽습니다. $96$을 짝수 곱하기 짝수로 나누는 방법은 몇 가지뿐이기 때문입니다.

대안 접근: $96$의 모든 인수쌍을 먼저 적어 봅니다: $1\times96,\ 2\times48,\ 3\times32,\ 4\times24,\ 6\times16,\ 8\times12$. $m-n$과 $m+n$이 정수가 되려면 두 인수의 짝홀이 같아야 하는데, 홀수 곱하기 짝수인 $1\times96$과 $3\times32$는 탈락합니다. 남은 네 쌍 $2\times48,\ 4\times24,\ 6\times16,\ 8\times12$은 각각 유효한 $(m,n)$을 주므로 답은 $4$입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (제곱의 차 $m^2 - n^2$을 곱 $(m-n)(m+n)$으로 다시 쓴다.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (인수 $a = m-n$, $b = m+n$에 이름을 붙이고 $m = \tfrac{a+b}{2}$, $n = \tfrac{b-a}{2}$로 되돌린다.)
2.OA.C.3 Determine whether a group of objects has an odd or even number ($\tfrac{a+b}{2}$가 정수가 되려면 $a$와 $b$가 모두 짝수여야 함을 논증한다.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (치환 $pq = 24$ 이후 $24$의 인수쌍을 나열해 네 개의 해를 센다.)

⭐ 제곱의 차 $m^2 - n^2$은 $(m-n)(m+n)$과 같으므로, 순서쌍을 세는 일은 $96$을 두 짝수 인수로 나누는 방법을 세는 일이 됩니다.