AMC 10 · 2007 · #5

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

systems-of-equationslinear-equations-two-varidentify-subproblems convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

학교 매점에서는 연필 7자루와 공책 8권을 $\mathdollar 4.15$ 에 판다. 또한 연필 5자루와 공책 3권을 $\mathdollar 1.77$ 에 판다. 연필 16자루와 공책 10권의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\mathdollar 1.76$

(B)

$\mathdollar 5.84$

(C)

$\mathdollar 6.00$

(D)

$\mathdollar 6.16$

(E)

$\mathdollar 6.32$

AMC 10 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어느 학교 매점에서 연필 $7$자루와 공책 $8$권을 합하면 $\mathdollar 4.15$이고, 연필 $5$자루와 공책 $3$권을 합하면 $\mathdollar 1.77$이다. 연필 $16$자루와 공책 $10$권의 총 가격을 구하여라.

주어진 것: 연필 $7$자루와 공책 $8$권은 $\mathdollar 4.15$이다; 연필 $5$자루와 공책 $3$권은 $\mathdollar 1.77$이다; 모든 연필의 가격은 같고, 모든 공책의 가격도 같다; 선택지: (A) $\mathdollar 1.76$, (B) $\mathdollar 5.84$, (C) $\mathdollar 6.00$, (D) $\mathdollar 6.16$, (E) $\mathdollar 6.32$

구하는 것: 연필 $16$자루와 공책 $10$권의 총 가격(달러)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #11 거꾸로 풀기

연필 가격과 공책 가격은 모든 것이 달려 있는 두 숨은 값이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이들을 $p$와 $n$이라 이름 붙인다. 그러면 각 문장이 방정식이 되고, 도구 #13(대수로 바꾸기)이 두 조건을 하나의 연립방정식으로 바꾸어 두 식을 나란히 놓고 한 변수를 소거해 풀 수 있게 한다. 한 가격을 알아내면 도구 #11(거꾸로 풀기)로 그것을 주어진 식에 대입해 다른 가격을 되찾고, 두 가격으로 최종 총액을 구한다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

가격에 이름 붙이고 방정식 세우기

연필 한 자루 가격을 $p$, 공책 한 권 가격을 $n$이라 하자(단위는 달러).
첫 번째 조건 — 연필 $7$자루와 공책 $8$권이 $\mathdollar 4.15$ — 은 $7p+8n=4.15$가 된다.
두 번째 조건 — 연필 $5$자루와 공책 $3$권이 $\mathdollar 1.77$ — 은 $5p+3n=1.77$이 된다.
구하려는 것, 연필 $16$자루와 공책 $10$권의 가격은 $16p+10n$이다.

$$7p+8n=4.15,\qquad 5p+3n=1.77$$

💡 모르는 가격에 문자를 붙이면 각 문장이 다룰 수 있는 방정식으로 바뀐다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 2

공책을 소거해 연필 가격 구하기

공책 항이 서로 같아져서 지워지도록 맞춘다.
첫 번째 식에 $3$을, 두 번째 식에 $8$을 곱하면 둘 다 $24n$을 갖는다: $3(7p+8n)=3(4.15)$에서 $21p+24n=12.45$, $8(5p+3n)=8(1.77)$에서 $40p+24n=14.16$.
뒤 식에서 앞 식을 빼면 $24n$ 항이 지워져 $19p=1.71$이 남고, $p=1.71\div19=0.09$이다.
연필 한 자루는 $\mathdollar 0.09$이다.

$$21p+24n=12.45,\quad 40p+24n=14.16\;\Rightarrow\;19p=1.71\;\Rightarrow\;p=0.09$$

💡 두 식을 같은 공책 개수로 맞추면 뺄셈으로 공책이 지워지고 연필 가격이 드러난다.

#11 거꾸로 풀기 8.EE.C.8 단계 3

대입해서 공책 가격 구하기

$p=0.09$를 더 간단한 두 번째 식 $5p+3n=1.77$에 넣는다.
$5(0.09)=0.45$이므로 $0.45+3n=1.77$이고, 여기서 $3n=1.77-0.45=1.32$, $n=1.32\div3=0.44$이다.
공책 한 권은 $\mathdollar 0.44$이다.

$$5(0.09)+3n=1.77\;\Rightarrow\;3n=1.32\;\Rightarrow\;n=0.44$$

💡 한 가격을 알면 원래 식에는 미지수가 하나만 남으므로 곧바로 풀린다.

#13 대수로 바꾸기 6.NS.B.3 단계 4

연필 16자루와 공책 10권의 가격 계산하기

이제 두 가격을 목표 식에 넣는다: $16p+10n=16(0.09)+10(0.44)$.
이는 $1.44+4.40=5.84$이다.
따라서 연필 $16$자루와 공책 $10$권은 $\mathdollar 5.84$이고, 이는 선택지 (B)이다.
너무 작은 (A) $\mathdollar 1.76$은 이 주문이 주어진 주문들보다 훨씬 크다는 점을 무시한 것이고, (C) $\mathdollar 6.00$, (D) $\mathdollar 6.16$, (E) $\mathdollar 6.32$는 가격 계산의 작은 실수에서 나온다.

$$16(0.09)+10(0.44)=1.44+4.40=5.84\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 두 가격을 알면 총액은 각 가격에 개수를 곱해 더한 것일 뿐이다.

[1] #4 6.EE.B.6 연필 한 자루 가격을 $p$, 공책 한 권 가격을 $n$이라 하자(단위는 달러). 첫 번째 조건 — 연필 $7$자루와 공책 $8$권이 $\mat

[2] #13 8.EE.C.8 공책 항이 서로 같아져서 지워지도록 맞춘다. 첫 번째 식에 $3$을, 두 번째 식에 $8$을 곱하면 둘 다 $24n$을 갖는다: $3(7p+8n

[3] #11 8.EE.C.8 $p=0.09$를 더 간단한 두 번째 식 $5p+3n=1.77$에 넣는다. $5(0.09)=0.45$이므로 $0.45+3n=1.77$이고, 여기

[4] #13 6.NS.B.3 이제 두 가격을 목표 식에 넣는다: $16p+10n=16(0.09)+10(0.44)$. 이는 $1.44+4.40=5.84$이다. 따라서 연필 $

검토

합리성 확인: 두 가격을 주어진 조건에 대입해 확인하자: $7(0.09)+8(0.44)=0.63+3.52=4.15$이고 $5(0.09)+3(0.44)=0.45+1.32=1.77$로 둘 다 정확히 맞는다. 크기도 타당하다: 연필 $16$자루와 공책 $10$권은 주어진 어느 주문보다도 큰 주문이므로 답은 $\mathdollar 4.15$보다 커야 하고, 이는 (A)를 배제한다. 빠른 어림 — $\mathdollar 1.77$짜리 주문을 세 배 하면 연필 $15$자루와 공책 $9$권이 $\mathdollar 5.31$이고, 여기에 연필 한 자루와 공책 한 권만 더하면 된다 — 은 $\mathdollar 5.84$ 바로 아래에 놓여 (B)를 확인해 준다.

대안 접근: 선택지를 이용하면 가격을 아예 구하지 않고도 풀 수 있다(도구 #3, 가능성 지우기). 두 번째 주문을 세 벌 하면 $3\times(5p+3n)=15p+9n$이고 값은 $3\times1.77=\mathdollar 5.31$이다. 목표인 $16p+10n$은 여기서 연필 한 자루와 공책 한 권만 더한 것이므로 $\mathdollar 5.31$보다 조금 커야 한다. 선택지 중 $\mathdollar 5.31$ 바로 위에 있는 것은 (B) $\mathdollar 5.84$뿐이고, 나머지는 훨씬 아래이거나 훨씬 위이므로 $p$와 $n$을 구하지 않아도 (B)로 정해진다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 변수를 사용해 수를 나타내고 식을 세워 문제 해결하기 (연필 가격 $p$와 공책 가격 $n$에 이름을 붙이고 각 구매 문장을 방정식으로 바꾸는 데 사용.)
8.EE.C.8 두 일차방정식으로 이루어진 연립방정식을 분석하고 풀기 ($n$을 소거해 $19p=1.71$(즉 $p=0.09$)을 얻고, 대입하여 $n=0.44$를 구하는 데 사용.)
6.NS.B.3 여러 자리 소수를 능숙하게 더하고 빼고 곱하고 나누기 (최종 총액 $16(0.09)+10(0.44)=1.44+4.40=5.84$과 전 과정의 달러 계산에 사용.)

⭐ 모르는 두 가격에 문자를 붙이고, 두 조건으로 각 가격을 구한 다음, 실제로 원하는 주문에 대입한다.